精品：数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法

一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n ， a1 ? 2 ，求数列 {an } 的通项公式。

an ?1 an 3 a ?1 an 3 a ? n ? ，则 n ? n ? ，故数列 { n }是 n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a 2 3 ? ? 1 为首项， ? 1 ? (n ? 1) ， 以 1 以 为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式， 得 n n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
解：an?1 ? 2an ? 3? 2n 两边除以 2
n ?1

，得

评注：本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 2n 转化为

an ?1 an 3 ? ? ，说明数列 2n ?1 2n 2 a a 3 ? 1 ? (n ? 1) ，进而求出数列 { n } 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 n n n 2 2 2

{an } 的通项公式。
二、累加法 例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ，a1 ? 1 ，求数列 {an } 的通项公式。 解：由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转化为 an?1 ? an ? 2n ? 1 ，进而求 出 (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ，即得数列 {an } 的通项公式。

例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ，a1 ? 3 ，求数列 {an } 的通项公式。 解 ： 由

an?1 ? an ? 2 ?

n

? 3

得

1

an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1

则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? (2 ? 3
n ?1

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3

? 1) ? (2 ? 3

n?2

? 1) ?

? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ?2

? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3

3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3n ? n ?1. 评注：本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1转化为 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ， 进而求出 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? 项公式。 例4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 ，a1 ? 3 ，求数列 {an } 的通项公式。
n ?1

即得数列 {an } 的通 ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ，

解： an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 则

，得

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ， n ?1 3 3 3 3

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ，故 n ?1 3 3 3 3

an an an ?1 a an ? 2 an ? 2 a n ? 3 ?( n ? ) ? ( n ?1 ? n )?( n ? )? n ?2 3 3 an ?1 an ?1 3 3 ? 2 3n ?3

?(

a2 a1 a1 ? )? 32 31 3

2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? ， ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2

评注：本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 转化为 进而求出 (

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ， n ?1 3 3 3 3

an an ?1 an ?1 an ? 2 an ? 2 an ?3 ? n ?1 ) ? ( n ? n?2 ) ? ( n ? )? n ?1 3 3 3 3 3 ? 2 3n ?3

?(

a2 a1 a1 ? an ? ? 1 ) ? ，即得数列 ? n ? 2 3 3 3 ?3 ?

的通项公式，最后再求数列 {an } 的通项公式。 三、累乘法 例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an，a1 ? 3 ，求数列 {an } 的通项公式。

解：因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an，a1 ? 3 ，所以 an ? 0 ，则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ，故 an

an ?

an an ?1 ? ? an ?1 an ? 2

?

a3 a2 ? ? a1 a2 a1 ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3
? 2 ?1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ? ? 2n ?1[n(n ? 1) ? ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ? ? n!

?3

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2n?1 ? 5

n ( n ?1) 2

? n!.
an ?1 进而求 ? 2(n ? 1)5n ， an

评注： 本题解题的关键是把递推关系 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an 转化为

出

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a3 a2 ? ? a1 ，即得数列 {an } 的通项公式。 a2 a1

例 6 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列 {an } 满足

a1 ? 1 ，an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?
解：因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ?1)an?1 (n ? 2) ，求 {an } 的通项公式。 ? (n ?1)an?1 (n ? 2)
② ①

? (n ?1)an?1 ? nan

用②式－①式得 an?1 ? an ? nan . 则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2)

故

an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an an an?1 ? ? an?1 an?2 ? a3 ? a2 ? [n(n ? 1) ? a2 ? 4 ? 3]a2 ? n! a2 . 2

所以 an ?

③

由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ?1)an?1 (n ? 2) ，取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ，则 a2 ? a1 ，又知
?n ? n! 。 2

a1 ? 1 ，则 a2 ? 1 ，代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?
所以， {an } 的通项公式为 an ?

n! . 2

评注：本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

an ?1 ? n ? 1(n ? 2) ， an

进而求出

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a3 从而可得当 n ? 2时，an 的表达式， 最后再求出数列 {an } 的 ? a2 ， a2

通项公式。 四、待定系数法 例 7 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n，a1 ? 6 ，求数列 ?an ? 的通项公式。 解：设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n ) ④

n 将 an?1 ? 2an ? 3? 5n 代入④式，得 2an ? 3? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 ，等式两边消去 an ? 2 x? 5
n n x? 5 ， 两 边 除 以 5 ， 得 3 ? 5x ? 2x 则 代入④式得 , x ? ? 1, 2an ， 得 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2

an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n )
1

⑤

an?1 ? 5n?1 由 a1 ? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5 ? 0 ，则 ? 2 ，则数列 {an ? 5n } 是以 n an ? 5
n

a1 ? 51 ? 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 an ? 5n ? 2n?1 ，故 an ? 2n?1 ? 5n 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 5n 转化为 an?1 ? 5
n?1

? 2(an ? 5n ) ，

从而可知数列 {an ? 5n }是等比数列，进而求出数列 {an ? 5n } 的通项公式，最后再求出数列

{an } 的通项公式。
例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4，a1 ? 1，求数列 {an } 的通项公式。 解：设 an?1 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y) 将 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 代入⑥式，得 ⑥

3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)
整理得 (5 ? 2 x) ? 2n ? 4 ? y ? 3x ? 2n ? 3 y 。

令?

?5 ? 2 x ? 3x ?x ? 5 ，则 ? ，代入⑥式得 ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2
⑦

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)
由 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式，

得 an ? 5 ? 2n ? 2 ? 0 ，则

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3， an ? 5 ? 2n ? 2

故数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是以 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项，以 3 为公比的等比数列， 因此 an ? 5 ? 2n ? 2 ? 13? 3n?1 ，则 an ? 13? 3n?1 ? 5 ? 2n ? 2 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 转化为

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ，从而可知数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列，进而求
出数列 {an ? 5 ? 2 ? 2} 的通项公式，最后再求数列 {an } 的通项公式。
n

例 9 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5，a1 ? 1，求数列 {an } 的通项公式。
2

解：设 an?1 ? x(n ? 1) ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn ? yn ? z)
2 2

⑧

将 an?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5 代入⑧式，得
2

2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ? x(n ?1)2 ? y(n ?1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) ，则 2an ? (3 ? x)n2 ? (2x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z
等式两边消去 2an ，得 (3 ? x)n2 ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z ，

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ，则 ? y ? 10 ，代入⑧式，得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ⑨
由 a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式，得 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 0

则

an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ，故数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 为以 2 an ? 3n ? 10n ? 18

a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项，以 2 为公比的等比数列，因此 an ? 3n2 ?10n ?18 ? 32 ? 2n?1 ，则 an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 转化为

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ，从而可知数列
进而求出数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 的通项公式， 最后再 {an ? 3n2 ?10n ?18} 是等比数列， 求出数列 {an } 的通项公式。 五、对数变换法
5 例 10 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an ， a1 ? 7 ，求数列 {an } 的通项公式。

5 解：因为 an?1 ? 2 ? 3 ? an，a1 ? 7 ，所以 an ? 0，an?1 ? 0 。在 an?1 ? 2 ? 3n ? an 式两边取 n 5

常用对数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg3 ? lg 2 设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y)

⑩

11 ○

将⑩式代入○ 11 式 ， 得 5 lgan ? n lg 3 ? lg ? 2 x n( ?

? 1)y ?

两边消去 5(lg an ? xn ? y ， )

5 lgan 并整理，得 (lg3 ? x)n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5 y ，则
lg 3 ? x? ? lg 3 ? x ? 5 x ? ? 4 ，故 ? ? ? x ? y ? lg 2 ? 5 y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
代入○ 11 式，得 lg an ?1 ? 由 lg a1 ? 得 lg an ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) 4 16 4 4 16 4

12 ○

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○ 12 式， 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ? 0， 4 16 4

lg an ?1 ?
则

lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ?5， lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? n? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 为首项，以 5 为公比的等 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ，因此 比数列，则 lg an ? 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg an ?

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1

? (lg 7 ? lg 3 4 ? lg 3 6 ? lg 2 4 )5n ?1 ? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? lg(7
则 an ? 7
5n?1
5 n ?1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 n 1 1

?3 ?3

5n?1 ? n 4

?3

5n?1 ?1 16 5
n?1

?2
?1

5n?1 ?1 4

)

5 n ?1

5 n ? 4 n ?1 16

?2

4

)

?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4

。

5 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an?1 ? 2 ? 3n ? an 转化为

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ，从而可知数列 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 {lg an ? n? ? } 是等比数列，进而求出数列 {lg an ? n? ? } 的通项 4 16 4 4 16 4 lg an ?1 ?
公式，最后再求出数列 {an } 的通项公式。 六、迭代法
3( n ?1)2 例 11 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ，a1 ? 5 ，求数列 {an } 的通项公式。
n

3( n ?1)2 3n?2 解：因为 an?1 ? an ，所以 an ? an ?1

n

n?1

3( n ?1)?2 ? [an ]3n?2 ?2

n? 2

n?1

3 ( n ?1)?n?2 ? an ?2

2

( n?2)?( n?1)

3( n ? 2)?2 ? [an ]3 ( n ?1)?n?2 ?3 3 ( n ? 2)( n ?1) n?2 ? an ?3
3

n?3

2

( n?2)?( n?1)

( n?3)?( n?2)?( n?1)

? ? a13 ?a
n?1

?2?3

( n ? 2)?( n ?1)?n?21?2?
n ( n?1) 2

?( n?3)?( n?2)?( n?1)

3n?1 ?n!?2 1

又 a1 ? 5 ，所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n?1) 2

。
n

3( n ?1)2 评注： 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 即先将等式 an?1 ? an

两边取常用对数得 lg an?1 ? 3(n ? 1) ? 2n ? lg an ， 即

lg an?1 ? 3(n ? 1)2n ，再由累乘法可推知 lg an
n ( n?1) 2

lg an ?

lg an lg an?1 ? ? lg an?1 lg an?2

?

n?1 lg a3 lg a2 ? ? lg a1 ? lg 53 ?n!?2 lg a2 lg a1

，从而 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n ?1) 2

。

七、数学归纳法 例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ，a1 ? ， 求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解：由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ，得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ，往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ，所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ，则当 n ? k ? 1 时， (2k ? 1)2

（1）当 n ? 1 时， a1 ?

（2）假设当 n ? k 时等式成立，即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ? ? ? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知，当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据（1） ， （2）可知，等式对任何 n ? N 都成立。
*

评注： 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项， 进而猜出数列的通项 公式，最后再用数学归纳法加以证明。 九、不动点法

例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ，a1 ? 4 ，求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解：令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 24 ? 0 ，则 x1 ? 2，x2 ? 3 是函数 f ( x) ? ，得 4 x ?20 x ? 的 4x ?1 4x ?1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1
? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项，以 为公比的等比数列，故 n ? 2( )n?1 ， ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?
则 an ?

1 13 2( )n?1 ? 1 9

? 3。

评注：本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ? 个根 x1 ? 2，x2 ? 3 ，进而可推出

21x ? 24 21x ? 24 的不动点，即方程 x ? 的两 4x ?1 4x ?1

?a ? 2? an?1 ? 2 13 an ? 2 ，从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比数 an?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

列，再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式，最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 3 ?

九、不动点法 例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ，a1 ? 4 ，求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解：令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 24 ? 0 ，则 x1 ? 2，x2 ? 3 是函数 f ( x) ? ，得 4 x ?20 x ? 的 4x ?1 4x ?1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 21 a ? 24 an ?1 ? 3 21 a ? 24 ? 3(4 a ? 1) 9 a ? 27 9 a ? 3 n n n n n ?3 4an ? 1
? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项，以 为公比的等比数列，故 n ? 2( )n?1 ， ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?

则 an ?

1 13 2( )n?1 ? 1 9

? 3。

评注：本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ? 个根 x1 ? 2，x2 ? 3 ，进而可推出

21x ? 24 21x ? 24 的不动点，即方程 x ? 的两 4x ?1 4x ?1

?a ? 2? an?1 ? 2 13 an ? 2 ，从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比数 an?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

列，再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式，最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 3 ?

例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ，a1 ? 2 ，求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

解：令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 2 ，得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ，则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ，所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3

十一、基本量法
1、在等比数列{an}中，a1=2，a4=16， 1）求数列{an}的通项公式． 2）求数列{an}的前 n 项和 Sn． 3）令 bn= 1 log2an?log2an+2 n∈N*，求数列 bn 的前 n 项和 Tn．

2．设{an}是公比大于 1 的等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和．已知 S3=7，且 a1+3，3a2，a3+4 构成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式． （2）令 bn=lna3n+1，n=1，2，…，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．

解： （1）由已知得 设数列{an}的公比为 q， 由 a2=2，可得 ．

解得 a2=2．

又 S3=7，可知

，

即 2q2﹣5q+2=0，解得 由题意得 q＞1， ∴q=2∴a1=1． 故数列{an}的通项为 an=2n﹣1． （2）由于 bn=lna3n+1，n=1，2，…， 由（1）得 a3n+1=23n ∴bn=ln23n=3nln2 又 bn+1﹣bn=3ln2n ∴{bn}是等差数列．

∴Tn=b1+b2+…+bn= = = ．

故

．

3 数列{an}是公差不为 0 的等差数列， Sn 为其前 n 项和， 数列{bn}为等比数列， 且 a1=b1=2， S2=5b2，S4=25b3． （I）求数列{an}和{bn}的通项公式 an 及 bn；

（II）设数列{cn}满足 cn=bnSn，问当 n 为何值时，cn 取得最大值？ 解： （I）设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q， 则 S2=2a1+d=4+d，S4=4a1+6d=8+6d，b2=b1q=2q，b3=2q2， 根据题意可得：S2=5b2，S4=25b3，因为 a1=b1=2，数列{an}是等差数列，数列{bn}为等 比数列， 所以 an=4n-2，bn=2?( ?

?4? ? ?5?

n ?1

假设 Cn 最大，因为 C1=4，C2=

64 5

，所以 C1＜C2，所以 n≥2．由 Cn 最大，Cn ? cn ?1 ，Cn ? cn ?1 ，即当 n=9 时，C9 最大

4．已知等差数列{an}的公差不为零，若 S1，S2，S4 成等比数列．
（1）求 S1，S2，S4 的公比； （2）若 S2=4，令 bn=

1 ，求{bn}的前 n 项和 Sn． an an ?1

（1）设数列{an}的公差为 d，由题意，得 S22=S1?S4 所以（2a1+d）2=a1（4a1+6d） 因为 d≠0，所以 d=2a1 故 S1，S2，S4 的公比为 4 an=2n-1， sn =

n 2n ? 1

二．已知 Sn 1、数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1，数列{bn}中，bn=(3n-2)·an， （1）求数列{an}的通项 an； （2）求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 解：（1）∵Sn=2an-1， ① Sn-1=2an-1-1(n≥2)， ②

①-②，得 an=2an-2an-1， ∴an=2an-1， ∵a1=S1=2a1-1， ∴a1=1，所以，{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列， ∴an=2n-1。 （2）∵bn=(3n-2)·2n-1， ∵Tn=1+4·2+7·22+…+（3n-2）·2n-1， ③ 2Tn=1·2+4·22+…+（3n-2）·2n， ④

③-④，得-Tn=1+3(2+22+…+2n-1)-(3n-2)·2n=-5-(3n-5)·2n， ∴Tn=(3n-5)·2n+5。