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精品:数列通项公式的十种求法


数列通项公式的十种求法

一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

an ?1 an 3 a ?1 an 3 a ? n ? ,则 n ? n ? ,故数列 { n }是 n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a 2 3 ? ? 1 为首项, ? 1 ? (n ? 1) , 以 1 以 为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式, 得 n n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
解:an?1 ? 2an ? 3? 2n 两边除以 2
n ?1

,得

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 2n 转化为

an ?1 an 3 ? ? ,说明数列 2n ?1 2n 2 a a 3 ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n n n 2 2 2

{an } 的通项公式。
二、累加法 例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转化为 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,进而求 出 (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。

例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解 : 由

an?1 ? an ? 2 ?

n

? 3



1

an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1



an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? (2 ? 3
n ?1

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3

? 1) ? (2 ? 3

n?2

? 1) ?

? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ?2

? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3

3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3n ? n ?1. 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1转化为 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 , 进而求出 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? 项公式。 例4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n ?1

即得数列 {an } 的通 ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,

解: an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 则

,得

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,故 n ?1 3 3 3 3

an an an ?1 a an ? 2 an ? 2 a n ? 3 ?( n ? ) ? ( n ?1 ? n )?( n ? )? n ?2 3 3 an ?1 an ?1 3 3 ? 2 3n ?3

?(

a2 a1 a1 ? )? 32 31 3

2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 转化为 进而求出 (

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

an an ?1 an ?1 an ? 2 an ? 2 an ?3 ? n ?1 ) ? ( n ? n?2 ) ? ( n ? )? n ?1 3 3 3 3 3 ? 2 3n ?3

?(

a2 a1 a1 ? an ? ? 1 ) ? ,即得数列 ? n ? 2 3 3 3 ?3 ?

的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。 三、累乘法 例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 ? ? an ?1 an ? 2

?

a3 a2 ? ? a1 a2 a1 ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3
? 2 ?1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ? ? 2n ?1[n(n ? 1) ? ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ? ? n!

?3

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2n?1 ? 5

n ( n ?1) 2

? n!.
an ?1 进而求 ? 2(n ? 1)5n , an

评注: 本题解题的关键是把递推关系 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an 转化为



an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a3 a2 ? ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 a2 a1

例 6 (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?
解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。 ? (n ?1)an?1 (n ? 2)
② ①

? (n ?1)an?1 ? nan

用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . 则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2)



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an an an?1 ? ? an?1 an?2 ? a3 ? a2 ? [n(n ? 1) ? a2 ? 4 ? 3]a2 ? n! a2 . 2

所以 an ?



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知
?n ? n! 。 2

a1 ? 1 ,则 a2 ? 1 ,代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?
所以, {an } 的通项公式为 an ?

n! . 2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

an ?1 ? n ? 1(n ? 2) , an

进而求出

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a3 从而可得当 n ? 2时,an 的表达式, 最后再求出数列 {an } 的 ? a2 , a2

通项公式。 四、待定系数法 例 7 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n ) ④

n 将 an?1 ? 2an ? 3? 5n 代入④式,得 2an ? 3? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 ,等式两边消去 an ? 2 x? 5
n n x? 5 , 两 边 除 以 5 , 得 3 ? 5x ? 2x 则 代入④式得 , x ? ? 1, 2an , 得 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2

an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n )
1



an?1 ? 5n?1 由 a1 ? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5 ? 0 ,则 ? 2 ,则数列 {an ? 5n } 是以 n an ? 5
n

a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 5n 转化为 an?1 ? 5
n?1

? 2(an ? 5n ) ,

从而可知数列 {an ? 5n }是等比数列,进而求出数列 {an ? 5n } 的通项公式,最后再求出数列

{an } 的通项公式。
例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y) 将 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 代入⑥式,得 ⑥

3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)
整理得 (5 ? 2 x) ? 2n ? 4 ? y ? 3x ? 2n ? 3 y 。

令?

?5 ? 2 x ? 3x ?x ? 5 ,则 ? ,代入⑥式得 ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2


an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)
由 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式,

得 an ? 5 ? 2n ? 2 ? 0 ,则

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3, an ? 5 ? 2n ? 2

故数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是以 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项,以 3 为公比的等比数列, 因此 an ? 5 ? 2n ? 2 ? 13? 3n?1 ,则 an ? 13? 3n?1 ? 5 ? 2n ? 2 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 转化为

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ,从而可知数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列,进而求
出数列 {an ? 5 ? 2 ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。
n

例 9 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。
2

解:设 an?1 ? x(n ? 1) ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn ? yn ? z)
2 2



将 an?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5 代入⑧式,得
2

2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ? x(n ?1)2 ? y(n ?1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) ,则 2an ? (3 ? x)n2 ? (2x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z
等式两边消去 2an ,得 (3 ? x)n2 ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z ,

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ⑨
由 a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 0



an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 为以 2 an ? 3n ? 10n ? 18

a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ?10n ?18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 转化为

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ,从而可知数列
进而求出数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 的通项公式, 最后再 {an ? 3n2 ?10n ?18} 是等比数列, 求出数列 {an } 的通项公式。 五、对数变换法
5 例 10 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

5 解:因为 an?1 ? 2 ? 3 ? an,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。在 an?1 ? 2 ? 3n ? an 式两边取 n 5

常用对数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg3 ? lg 2 设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y)



11 ○

将⑩式代入○ 11 式 , 得 5 lgan ? n lg 3 ? lg ? 2 x n( ?

? 1)y ?

两边消去 5(lg an ? xn ? y , )

5 lgan 并整理,得 (lg3 ? x)n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5 y ,则
lg 3 ? x? ? lg 3 ? x ? 5 x ? ? 4 ,故 ? ? ? x ? y ? lg 2 ? 5 y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
代入○ 11 式,得 lg an ?1 ? 由 lg a1 ? 得 lg an ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) 4 16 4 4 16 4

12 ○

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○ 12 式, 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ? 0, 4 16 4

lg an ?1 ?


lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ?5, lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? n? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 为首项,以 5 为公比的等 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 比数列,则 lg an ? 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg an ?

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1

? (lg 7 ? lg 3 4 ? lg 3 6 ? lg 2 4 )5n ?1 ? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? lg(7
则 an ? 7
5n?1
5 n ?1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 n 1 1

?3 ?3

5n?1 ? n 4

?3

5n?1 ?1 16 5
n?1

?2
?1

5n?1 ?1 4

)

5 n ?1

5 n ? 4 n ?1 16

?2

4

)

?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4



5 评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an?1 ? 2 ? 3n ? an 转化为

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ,从而可知数列 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 {lg an ? n? ? } 是等比数列,进而求出数列 {lg an ? n? ? } 的通项 4 16 4 4 16 4 lg an ?1 ?
公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 六、迭代法
3( n ?1)2 例 11 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

3( n ?1)2 3n?2 解:因为 an?1 ? an ,所以 an ? an ?1

n

n?1

3( n ?1)?2 ? [an ]3n?2 ?2

n? 2

n?1

3 ( n ?1)?n?2 ? an ?2

2

( n?2)?( n?1)

3( n ? 2)?2 ? [an ]3 ( n ?1)?n?2 ?3 3 ( n ? 2)( n ?1) n?2 ? an ?3
3

n?3

2

( n?2)?( n?1)

( n?3)?( n?2)?( n?1)

? ? a13 ?a
n?1

?2?3

( n ? 2)?( n ?1)?n?21?2?
n ( n?1) 2

?( n?3)?( n?2)?( n?1)

3n?1 ?n!?2 1

又 a1 ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n?1) 2


n

3( n ?1)2 评注: 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 即先将等式 an?1 ? an

两边取常用对数得 lg an?1 ? 3(n ? 1) ? 2n ? lg an , 即

lg an?1 ? 3(n ? 1)2n ,再由累乘法可推知 lg an
n ( n?1) 2

lg an ?

lg an lg an?1 ? ? lg an?1 lg an?2

?

n?1 lg a3 lg a2 ? ? lg a1 ? lg 53 ?n!?2 lg a2 lg a1

,从而 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n ?1) 2



七、数学归纳法 例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? , 求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ? ? ? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

评注: 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项, 进而猜出数列的通项 公式,最后再用数学归纳法加以证明。 九、不动点法

例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? ,得 4 x ?20 x ? 的 4x ?1 4x ?1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1
? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( )n?1 , ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?
则 an ?

1 13 2( )n?1 ? 1 9

? 3。

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ? 个根 x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的两 4x ?1 4x ?1

?a ? 2? an?1 ? 2 13 an ? 2 ,从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比数 an?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 3 ?

九、不动点法 例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? ,得 4 x ?20 x ? 的 4x ?1 4x ?1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 21 a ? 24 an ?1 ? 3 21 a ? 24 ? 3(4 a ? 1) 9 a ? 27 9 a ? 3 n n n n n ?3 4an ? 1
? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( )n?1 , ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?

则 an ?

1 13 2( )n?1 ? 1 9

? 3。

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ? 个根 x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的两 4x ?1 4x ?1

?a ? 2? an?1 ? 2 13 an ? 2 ,从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比数 an?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 3 ?

例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3

十一、基本量法
1、在等比数列{an}中,a1=2,a4=16, 1)求数列{an}的通项公式. 2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 3)令 bn= 1 log2an?log2an+2 n∈N*,求数列 bn 的前 n 项和 Tn.

2.设{an}是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 S3=7,且 a1+3,3a2,a3+4 构成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)令 bn=lna3n+1,n=1,2,…,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

解: (1)由已知得 设数列{an}的公比为 q, 由 a2=2,可得 .

解得 a2=2.

又 S3=7,可知



即 2q2﹣5q+2=0,解得 由题意得 q>1, ∴q=2∴a1=1. 故数列{an}的通项为 an=2n﹣1. (2)由于 bn=lna3n+1,n=1,2,…, 由(1)得 a3n+1=23n ∴bn=ln23n=3nln2 又 bn+1﹣bn=3ln2n ∴{bn}是等差数列.

∴Tn=b1+b2+…+bn= = = .





3 数列{an}是公差不为 0 的等差数列, Sn 为其前 n 项和, 数列{bn}为等比数列, 且 a1=b1=2, S2=5b2,S4=25b3. (I)求数列{an}和{bn}的通项公式 an 及 bn;

(II)设数列{cn}满足 cn=bnSn,问当 n 为何值时,cn 取得最大值? 解: (I)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q, 则 S2=2a1+d=4+d,S4=4a1+6d=8+6d,b2=b1q=2q,b3=2q2, 根据题意可得:S2=5b2,S4=25b3,因为 a1=b1=2,数列{an}是等差数列,数列{bn}为等 比数列, 所以 an=4n-2,bn=2?( ?

?4? ? ?5?

n ?1

假设 Cn 最大,因为 C1=4,C2=

64 5

,所以 C1<C2,所以 n≥2.由 Cn 最大,Cn ? cn ?1 ,Cn ? cn ?1 ,即当 n=9 时,C9 最大

4.已知等差数列{an}的公差不为零,若 S1,S2,S4 成等比数列.
(1)求 S1,S2,S4 的公比; (2)若 S2=4,令 bn=

1 ,求{bn}的前 n 项和 Sn. an an ?1

(1)设数列{an}的公差为 d,由题意,得 S22=S1?S4 所以(2a1+d)2=a1(4a1+6d) 因为 d≠0,所以 d=2a1 故 S1,S2,S4 的公比为 4 an=2n-1, sn =

n 2n ? 1

二.已知 Sn 1、数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1,数列{bn}中,bn=(3n-2)·an, (1)求数列{an}的通项 an; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 解:(1)∵Sn=2an-1, ① Sn-1=2an-1-1(n≥2), ②

①-②,得 an=2an-2an-1, ∴an=2an-1, ∵a1=S1=2a1-1, ∴a1=1,所以,{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, ∴an=2n-1。 (2)∵bn=(3n-2)·2n-1, ∵Tn=1+4·2+7·22+…+(3n-2)·2n-1, ③ 2Tn=1·2+4·22+…+(3n-2)·2n, ④

③-④,得-Tn=1+3(2+22+…+2n-1)-(3n-2)·2n=-5-(3n-5)·2n, ∴Tn=(3n-5)·2n+5。


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