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山西省山大附中2014-2015学年高一数学上学期期中试题


山西省山大附中 2014-2015 学年高一数学上学期期中试题
考试时间:90 分钟 满分:100 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)
* 1.设全集 U ? x ? N | x ? 6 ,集合 A ? ?1,3? , B ? ?3,5? ,则 CU ? A

?

?

B? ? (

) C . ?1, 4?

A . ?2,4? D. ?2,5?

B . ?1,5?

2. 函数 f ( x) ? 1 ? x ? lg( x ? 2) 的定义域为( A. (?2,1) B. [?2,1)
?1

)

C. (?2,1]

D. ?? 2, 1? )

3.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,下列四组函数中表示相等函数的是( A. y ? log a x 与 y ? (log x a) C. y ? a
log a x

B. y ? 2 x 与 y ? loga a2 x D. y ? loga x2 与 y ? 2loga x ) D. ?

与y?x

2x ? 1 4.已知函数 f ( x) ? x ,若 f (a) ? b , 则 f (?a) ? ( 2 ?1 1 A. b B. ?b C. b 5.下列函数中值域为 ? 0, ? ?? 的是( )

1 b
1 ? x ? 1? x

?1? ? 3? 6.已知幂函数 y ? f ( x) 的图像过点 3, 3 ,则 log4 f (2) 的值为(
A.y ? 5 2? x B.y ? x ?

1

1 ? x ? 0? x

1? x

C.y ? ? ?

D.y ? x ? )

?

?

1 C. 2 4 x 7.在下列区间中,函数 f ( x) ? e ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为( ) ? 1 ? ? 1? ?1 1? ?1 3? A. ? ? , 0 ? B. ? 0, ? C. ? , ? D. ? , ? ? 4 ? ? 4? ?4 2? ?2 4?
A. B. ? 8.三个数 0.993.3 ,log3 ? ,log2 0.8 的大小关系为( A. log3 ? ? 0.99
3.3

1 4

D. ?2

)

? log2 0.8
2

B. log2 0.8 ? log3 ? ? 0.993.3 D. log2 0.8 ? 0.993.3 ? log3 ?

C. 0.993.3 ? log2 0.8l ? og3 ? 9.当 x ? (1, 2) ,不等式 ( x ? 1) A. (1, 2) B. (1, 2]

? log a x 恒成立,则实数 a 的取值范围是(
C.



?2, ???

D. (2, ??)

10.若函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,且在 ? 0, ??? 为增函数,又 f (2) ? 0 ,则不等式

?1? ln ? ? ? ? x ? f ( x)? ? 0 的解集为( ?e? A. ? ?2,0? ? 2, ???
C. ? ?2,0?

) B. ? ??, ?2?

?0,2?

?0,2? D. ? ??, ?2? ? 2, ???


二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.函数 y ? loga ? x ?1? ? 2 (a ? 0且a ? 1) 恒过定点,其坐标为

-1-

12.设 f ( x) ? ?

?2e x ?1 , x ? 2 ? ,则 f ( f (2)) 的值为 2 ? ?log 3 ( x ? 1), x ? 2
x



13.已知函数 f ( x) ? e ? x ,若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的取 值范围是 . 14.已知函数 f ( x) 满足: f ( p ? q) ? f ( p) ? f (q) , f (1) ? 2 ,则:

f (2) f (4) f (6) f (8) f (2014 ) = ? ? ? ?? ? f (1) f (3) f (5) f (7) f (2013 )
15. 给出下列四个命题: ①函数 y ?



1? x2 为奇函数; x?2 ?2
1

②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点; ③函数 y ? 2 x 的值域是 ? 0, ? ?? ; ④若函数 f (2 x) 的定义域为 [1, 2] ,则函数 f (2 x ) 的定义域为 [1, 2] ; ⑤函数 y ? lg ? x 2 ? 2 x 的单调递增区间是 ? 0, 1? . 其中正确命题的序号是 16. (本小题满分 8 分)
?2 ? 25 ? ? 27 ? 3 0 计算: (Ⅰ) ? ? ? ? ? ? ? 0.1? ? 100 ? ? ; 9 64 ? ? ? ? 2ln 2 1 5 (Ⅱ) lg ? lg ? lg12.5 ? log8 9 ? log 27 8 + e . 2 8 0.5 ? 2

?

?

. (填上所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 8 分)

2 2 已知集合 A ? x | x ? 2ax ? 8a ? 0 .

?

?

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求集合 CR A ; (Ⅱ)若 a ? 0 ,且 (?1,1) ? A ,求实数 a 的取值范围.

-2-

18. (本小题满分 8 分)

已知二次函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2ax ? a 在区间 ?0,1? 上有最大值 2 ,求实数 a 的值.

19. (本小题满分 8 分)

x 是定义在 ?? 1,1?上的函数. 1 ? x2 (Ⅰ)用定义法证明函数 f ?x ? 在 ?? 1,1?上是增函数; (Ⅱ)解不等式 f ?x ? 1? ? f ?x ? ? 0 .
已知函数 f ? x ? ?

-3-

20. (本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ? 1) ? kx(k ? R) 是偶函数. (Ⅰ)求 k 的值;
x (Ⅱ) 设 g ( x) ? log 4 ( a ? 2 ?

4 a) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点, 求实数 a 3

的取值范围.

山西大学附中 2014~2015 学年高一第一学期期中考试(总第二次) 数学答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B B C A C D 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.

9 B

10 D

? 0, 2?

12. 2 . 15.①④⑤

13. ?1, ?? ?

14.2014 16. (本小题满分 8 分) 计算:

三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)

? 25 ? (Ⅰ) ? ? ? 9 ?

0.5

? 27 ? ?? ? ? 64 ?

?

2 3

? ? 0.1? ? 100 ? ? 0 ;
?2

-4-

2ln 2 1 5 ? lg ? lg12.5 ? log8 9 ? log 27 8 + e . 2 8 31 解: (Ⅰ) ;……………………4 分 9 13 (Ⅱ) ……………………8 分 3

(Ⅱ) lg

17. (本小题满分 8 分)

2 2 已知集合 A ? x | x ? 2ax ? 8a ? 0 .

?

?

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求集合 CR A ; (Ⅱ)若 a ? 0 ,且 (?1,1) ? A ,求实数 a 的取值范围. 解:(Ⅰ)当 a ? 1 时,解不等式 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,得 ? 2 ? x ? 4 ∴ CR A ? x | x ? 4或x ? ?2
2 2

?

?

…………………2 分

………………………………………3 分 ∴ A ? ? ?2a,4a?

(Ⅱ)∵ x ? 2ax ? 8a ? 0 ,∴ ( x ? 4a)(x ? 2a) ? 0 又∵ a ? 0 ∴ ?2a ? x ? 4a ∴? ……………………5 分

又∵ ? ?1,1? ? A 解得 a ?

??1 ? ?2a ?1 ? 4a

…………………………………………7 分 …………………………………8 分

1 1 ,故实数 a 的取值范围是 [ , ??) 2 2
2

18. (本小题满分 8 分)

已知二次函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? a 在区间 ?0,1? 上有最大值 2 ,求实数 a 的值 解析:由 f ( x) ? ?( x ? a) 2 ? a 2 ? a ,得函数 f ( x) 的对称轴为: x ? a ,……1 分 ①当 a ? 0 时, f ( x ) 在 [0,1] 上递减, ? f (0) ? 2 ,即

? a ? 2,? a ? ?2 ; ……………………3 分 a ? 1 ②当 时,f ( x ) 在 [0,1] 上递增, ? f (1) ? 2 , 即a ? 3;
分 ③当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [0, a ] 递增,在 [a,1] 上递减,

……………………5

? f (a) ? 2 ,即 a 2 ? a ? 2 ,解得: a ? 2或 ? 1 与 0 ? a ? 1 矛盾;……………7 分 综上: a ? ?2 或 a ? 3 ……………………8 分

19. (本小题满分 8 分)已知函数 f ? x ? ? (Ⅱ)解不等式 f ?x ? 1? ? f ?x ? ? 0 .

(Ⅰ)用定义法证明函数 f ?x ? 在 ?? 1,1?上是增函数;

x 是定义在 ?? 1,1?上的函数. 1 ? x2

解: (Ⅰ)证明:对于任意的 x1 , x2 ? ?? 1,1? ,且 x1 ? x 2 ,则

f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? ?
2 1

?x1 ? x2 ? ? x1 x2 ?x2 ? x1 ? ?x1 ? x2 ??1 ? x1 x2 ?

2 x1 x2 x1 1 ? x 2 ? x 2 1 ? x12 ? ? 2 2 1 ? x12 1 ? x 2 1 ? x12 1 ? x 2

?

?

?

??

?

?

?

?1 ? x ??1 ? x ?
2 2

? ?1 ? x1 ? x2 ? 1 , ? x1

?1 ? x ??1 ? x ? ? x ? 0, ?1 ? x ??1 ? x ? ? 0 ,
2 1 2 2

?

2

2 1

2 2

-5-

? x1 x2 ? 1,?1 ? x1 x2 ? 0 . ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,即 f ?x1 ? ? f ?x2 ? . x ∴函数 f ? x ? ? 在 ?? 1,1?上是增函数.…………………… 4 分 1 ? x2 (Ⅱ)由已知及(Ⅰ)知, f ? x ? 是奇函数且在 ?? 1,1?上递增,
f ?x ? 1? ? f ? x ? ? 0 ? f ?x ? 1? ? ? f ?x ? ? f ? x ? 1? ? f ?? x ? ? ? ?? 1 ? x ? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 2 1 ? ? ? ? ? 1 ? x ? 1 ? ?? 1 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 2 ? x ?1 ? ?x ? x?1 ? ? 2 ? ? ? 1? ∴不等式的解集为 ? 0, ? .…… 8 分. ? 2? 20. (本小题满分 8 分)已知函数 f ( x) ? log4 (4x ? 1) ? kx(k ? R) 是偶函数. (Ⅰ)求 k 的值; 4 x (Ⅱ) 设 g ( x) ? log 4 ( a ? 2 ? a) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点, 求实数 a 3
的取值范围. 解: (Ⅰ)由函数 f ( x ) 是偶函数,可知 f ( x) ? f (? x).

? log4 (4 x ? 1) ? kx ? log4 (4 ? x ? 1) ? kx ,
4x ?1 ? ?2kx , log4 4 x ? ?2kx, ? x ? ?2kx 对一切 x ? R 恒成立 ?x 4 ?1 1 ? k ? ? ……………3 分 2 (Ⅱ)函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点, 1 4 x x 即方程 log 4 (4 ? 1) ? x ? log 4 (a ? 2 ? a) 有且只有一个实根, 2 3 1 4 x x 化简得: 方程 2 ? x ? a ? 2 ? a 有且只有一个实根 ……………………4 分 2 3 4 2 x 令 t ? 2 ? 0 ,则方程 ( a ? 1)t ? at ? 1 ? 0 有且只有一个正根, 3 3 ① a ? 1 ? t ? ? ,不合题意; ……………………5 分 4 3 3 1 ②若 ? ? 0 ? a ? 或 ?3 ;若 a ? , 则t ? ?2 ,不合题意;若 a ? ?3 ? t ? ,符合题意 4 4 2 ?1 ? 0 ? a ? 1 ……………………7 分 ③若方程一个正根与一个负根,即 a ?1 综上:实数 a 的取值范围是 ??3? ? (1, ??) ……………………8 分 即log4

-6-


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