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安徽省滁州中学2017届高三12月半月考数学(文)试题(含答案)


滁州中学 2016—2017 学年度第一学期半月考 高三文科数学试卷
(满分:150分 注意事项: 1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。 2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑,如需改动, .... 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 答第Ⅱ卷时,请在答题卷上 书写,要求认真审题、仔细作答、字体工整、笔迹清晰。 .... 用时:120分钟 命题:高三数学备课组)

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题(本题共有12小题,每小题5分,每小题只有一个选项正确)。

1.已知集合 M ? {x ? 2 ? x ? 2} , N ? {x y ? 1 ? x} ,那么 M ? N ? (A) {x ? 2 ? x ? 1} (B) {x ? 2 ? x ? 1} (C) {x x ? ?2} (D) {x x ? 2} 2.已知 a , b 都是实数,那么“ 0 ? a ? b ”是“ (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

( )

1 1 ? ”的 a b
(B) 必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

( )

3.已知数列 ?an ? 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? a5 ? a7 ?

?
4

,则 sin S9 的值为( )

(A )

1 2 (B) 2 2

(C) ?

1 2

(D) ?

2 2

4. 如下左图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 75°,30°,此时气球的高 是 60m ,则河流的宽度 BC 等于
(A) 240(

( )

3 ?1)m (B) 180( 2 ?1)m (C) 120( 3 ?1)m (D) 30( 3+ 1)m

5.《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功”有如下的问题:“今有刍甍,下广三丈,

袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈。问积几何?”意思为: “今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如 下右图)” , 下底面宽 AD=3 丈, 长 AB=4 丈, 上棱 EF=2 丈,EF ? 平面ABCD . EF 与平面 ABCD 的距离为 1 丈,问它的体积是 ( ) (D)8 立方丈

(A)4 立方丈 (B)5 立方丈(C)6 立方丈

6.已知等差数列 {an } 前 9 项的和为 27, a10 ? 8 ,则 a100 ? (A) 97 (B) 98 (C)99 (D)100

( )

7.已知:函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,且 f '( x) ? 2 f ( x) ,则 (A) ?

1 ? sin 2 x = cos 2 x ? sin 2 x

( )

19 19 11 11 (B) (C) (D) ? 5 3 5 3

8.已知 ?ABC 中, D 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点,连接 AD , E 为线段 AD 的中点,若

??? ? ??? ? ??? ? CE ? mAB ? nAC ,则 m ? n ? ( )
(A) ?

1 1 1 1 (B) ? (C) ? (D) 3 2 4 2

9.已知函数 f ( x) 在 R 上是单调函数,且满足对任意 x ? R ,都有 f [ f ( x) ? 2 x ] ? 3 ,则 f (3) 的值是 ( )

(A)3 (B)7 (C)9 (D)12 10.已知正实数 a , b 满足 a ? b ? 3 ,则

1 4 ? 的最小值为() 1? a 4 ? b

(A) 1 (B)

7 9 (C) (D) 2 8 8

11. 四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的球面上, AB ? 2 , BC ? CD ? 1 ,

?BCD ? 60? , AB ? 平面 BCD ,则球 O 的表面积为
(A) 8? (B)

( )

16 8 2 8 3 ? (C) ? (D) ? 3 3 3

12.已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? a ln x 相切,若 a ? ? n, n ? 1? n ? N (参考数据: ln 2 ? 0.7,ln 3 ? 1.1 ) (A)2 (B)3 (C)4

?

?

? ,则 n ?
(D)5

(

)

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.)

13.已知 cos(

?
6

??) ?

5? 3 ? 2? ) ? . ,则 sin( 6 3

14.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中的曲线是一段半圆弧,则这个几何体的表面积是.

n 15.设数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ? an?1 ? 3 ( n ? N * , n ? 2 ),则 an ? ___________.

?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? 16. 已知实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? x ? y 的取值范围为______. ? y ?1 ? 0 ?
三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.) 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 S?ABC ? 点 D 在 BC 上, CD ? 2,且cos ?ADB ? ? . (Ⅰ)求 B 的值; (Ⅱ)若 c ? 8 ,求 b 的值.
B D C

3 ac cos B , 2

A

1 7

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, PA ? 底面 ABCD , M 是棱 PD 的中点, 且 PA ? AB ? AC ? 2, BC ? 2 2 .

(1)求证: CD ? 平面 PAC ; (2)如果 N 是棱 AB 上一点,且三棱锥 N ? BMC 的体积为 ,求

1 3

AN 的值. NB

19. (本小题满分 12 分)
n ? 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且首项 a1 ? 3, an ?1 ? S n ? 3 n ? N .
n (1)求证: S n ? 3 是等比数列;

?

?

?

?

(2)若 ?an ? 为递增数列,求 a1 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分) 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC 1//平面 CDB1; (2)在棱 CC1 上是否存在点 E,使 AE ? A1B ?若存在,求出 EC 的长度;若不存在,说明理由.
C1 A1 B1

21. (本小题满分 12 分) 某工厂每日生产某种产品 x( x ? 1) 吨,当日生产的产品当日销售完毕,产品价格随产品产量而变化, 当 1 ? x ? 20 时,每日的销售额 y (单位:万元)与当日的产量 x 满足 y ? a ln x ? b ,当日产量超过

20 吨时,销售额只能保持日产量 20 吨时的状况.已知日产量为 2 吨时销售额为 4.5 万元,日产量为

4 吨时销售额为 8 万元.
(1)把每日销售额 y 表示为日产量 x 的函数; (2)若每日的生产成本 c ? x ? ?

1 x ? 1(单位:万元),当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到 2

最大?并求出最大值.(注:计算时取 ln 2 ? 0.7,ln 5 ? 1.6 )

22. (本小题满分 12 分)

[:.]

已知函数 f ( x) ? ln x ?

( x ? 1) 2 . 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时,恒有

f ? x ? ? k ? x ?1? .

滁州中学 2017 届高三数学(文科)半月考
1-12:BABCB
13. ?

BABCC

DB

1 3

14.S=12+π

) 15. (3 ? 1
n

3 2

16. ? ?1, ? 2

? ?

7? ?

17. (本小题满分 10 分)
在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 S?ABC ? 点 D 在 BC 上, CD ? 2,且cos ?ADB ? ? . (Ⅰ)求 B 的值; (Ⅱ)若 C ? 8 ,求 b 的值.
B D C

3 ac cos B , 2

A

1 7

18. (本小题满分 12 分)
如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, PA ? 底面 ABCD , M 是棱 PD 的中点, 且 PA ? AB ? AC ? 2, BC ? 2 2 .

(1)求证: CD ? 平面 PAC ; (2)如果 N 是棱 AB 上一点,且三棱锥 N ? BMC 的体积为 ,求

1 3

AN 的值. NB

18.解:(1)

连结 AC , 因为在 ?ABC 中, AB ? AC ? 2, BC ? 2 2 ,所以 BC 2 ? AB2 ? AC 2 , 所以 AB ? AC .因为 AB / / CD ,所以 AC ? CD . 又因为 PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? CD ,因为 AC ? PA ? A , 所以 CD ? 平面 PAC ........................5 分 (2)设

BN ? x ,因为 PA ? 底面 ABCD , M 是棱 PD 的中点, AB x x VM ? ABCD ? VP ? ABCD , 2 4

所以 VN ? BMC ? VM ? BNC ? xVM ? ABC ?

∴ VN ? BMC ?

x 1 1 ? ? 2 2? 2 ?2 ? , 4 3 3

?

?

解得 x ?

1 AN ? 1 ....................12 分 ,所以 2 NB

19. (本小题满分 12 分)
n ? 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且首项 a1 ? 3, an ?1 ? S n ? 3 n ? N .
n (1)求证: S n ? 3 是等比数列;

?

?

?

?

(2)若 ?an ? 为递增数列,求 a1 的取值范围.
n ? n n ?1 n 解:(1)? an ?1 ? S n ? 3 n ? N ,? S n +1 =2 S n ? 3 ? S n +1 ? 3 =2 S n ? 3

?

?

?

?

? a1 ? 3 ,? 数列 Sn ? 3n 是公比为 2,首项为 a1 ? 3 的等比数列;
(2)由(1)得 Sn ? 3 ? ? a1 ? 3? ? 2
n n?1

, Sn ? ? a1 ? 3? ? 2

n?1

? 3n

n ?2 n?1 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ? a1 ? 3? ? 2 ? 2 ? 3

??an ? 为递增数列,? n ? 2 时, ? a1 ? 3? ? 2n?1 ? 2 ? 3n ? ? a1 ? 3? ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1
? n ? 2 时, 2
n?2 n?2 ? ? ?3? ?12 ? ? ? ? a1 ? 3? ? 0 ?2? ? ? ? ?

? a1 ? ?9,? a2 ? a1 ? 3 ? a1 ,? a1 的取值范围是 ? ?9, ?? ? .
20. (本小题满分 12 分) 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC 1//平面 CDB1; (2)在棱 CC1 上是否存在点 E,使 AE ? A1B ?若存在,求出 EC 的长度;若不存在,说明理由.
C1 A1 B1

C
D

B

20. (1)证明:连接 C1B 与 B1C 交于点 O,连接 OD ∵ O,D 分别为 C1B 与 AB 的中点 ∴OD∥AC1,又 OD ? 平面 CDB1,AC 1 ? 平面 CDB1

A

∴AC 1//平面 CDB1 (2)解:假设存在点 E 使 AE ? A1B ,连接 A1C,交 AE 于 F,易证 AE ? AC 1 由 ?CFE : ?AC 1 1C 求得 CE ?

9 4

21. (本小题满分 12 分)
某工厂每日生产某种产品 x( x ? 1) 吨,当日生产的产品当日销售完毕,产品价格随产品产量而变化, 当 1 ? x ? 20 时,每日的销售额 y (单位:万元)与当日的产量 x 满足 y ? a ln x ? b ,当日产量超过

20 吨时,销售额只能保持日产量 20 吨时的状况.已知日产量为 2 吨时销售额为 4.5 万元,日产量为

4 吨时销售额为 8 万元.
(1)把每日销售额 y 表示为日产量 x 的函数; (2)若每日的生产成本 c ? x ? ?

1 x ? 1(单位:万元),当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到 2

最大?并求出最大值.(注:计算时取 ln 2 ? 0.7,ln 5 ? 1.6 ) 21. 解:(1)因为 x ? 2 时, y ? 4.5 ,所以 0.7 a ? b ? 4.5 ①, 当 x ? 4 时, y ? 8 ,所以 1.4a ? b ? 8 ②, 由①②解得 a ? 5 , b ? 1 ,所以当 1 ? x ? 20 时, y ? 5ln x ? 1.??4 分 当 x ? 20 时, y ? ln 20 ?1 ? 5 ? ? 2ln 2 ? ln5? ?1 ? 5 ? (1.4 ?1.6) ?1 ? 16 . 所以 y ? ?

?5ln x ? 1,1 ? x ? 20 .??6 分 ?16, x ? 20

1 ? 5ln x ? x,1 ? x ? 20 ? ? 2 (2)当日产量为 x 吨时,每日利润为 l ? x ? ,则 l ? x ? ? y ? c ? x ? ? ? .??8 分 ?15 ? 1 x, x ? 20 ? ? 2
①若 1 ? x ? 20 ,则 l ? x ? ?
'

5 1 10 ? x ? ? , x 2 2x

当 1 ? x ? 10 时 l ? x ? ? 0 ;当 10 ? x ? 20 时, l ? x ? ? 0 ,
' '

故 x ? 10 是函数在 ?1, 20? 内唯一的极大值点,也是最大值点, 所以 l ? x ?max ? l (10) ? 5ln10 ? ②若 x ? 20 ,则 l ? x ? ? 15 ?

1 ?10 ? 6.5 万元.??11 分 2

1 1 x ,显然 l ? x ? ? 15 ? x 单调递减,故 l ? x ? ? 5 . 2 2

结合①②可知,当日产量为 10 吨时,每日的利润可达到最大,最大利润为 6.5 万元.??12 分

22. (本小题满分 12 分)

( x ? 1) 2 已知函数 f ( x) ? ln x ? . 2
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时,恒有

f ? x ? ? k ? x ?1? .
21.(I) f ? ? x ? ? 由 f ? ? x? ? 0 得 ?

1 ? x2 ? x ? 1 , x ? ? 0, ?? ? . ? x ?1 ? x x
解得 0 ? x ?

?x ? 0 ?? x ? x ? 1 ? 0
2

1? 5 . 2

故 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ? 0,

? 1? 5 ? ? .-------------------3 分 2 ? ? ?

(II)令 F ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1? , x ? ? 0, ?? ? .则有 F? ? x ? ?

1 ? x2 . x

当 x ? ?1, ?? ? 时, F? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 故当 x ? 1 时, F ? x ? ? F ?1? ? 0 ,即当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1---------6 分

(III)由(II)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意.-----7 分 当 k ? 1 时,对于 x ? 1 ,有 f ? x ? ? x ?1 ? k ? x ?1? ,则 f ?x ? ?k ?x ?1? ,从而不存在 x0 ? 1 满足题 意.-------8 分 当 k ? 1 时,令 G ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ?1? , x ? ? 0, ?? ? , 则有 G? ? x ? ?

? x 2 ? ?1 ? k ? x ? 1 1 . ? x ?1? k ? x x
2

由 G? ? x ? ? 0 得, ? x ? ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 . 解得 x ? 1

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 0 , x2 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 1.

当 x ? ?1, x2 ? 时, G? ? x ? ? 0 ,故 G ? x ? 在 ?1, x2 ? 内单调递增. 从而当 x ? ?1, x2 ? 时, G ? x ? ? G ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? k ? x ?1? , 综上, k 的取值范围是 ? ??,1? .---------12 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


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