当前位置:首页 >> 数学 >>

湖北省黄冈中学2011年春季高一数学期中考试理科数学


湖 北 省 黄 冈 中 学 2011 年 春 季 高 一 期 中 考 试
数 学 试 题(理)
命题:徐永杰 审稿:王宪生 校对:谭志 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知等差数列 {an } 中 a1 ? 1, d ? 2 ,则 a12 的值是( A.21 B. 22 ) B. {x | x ? 5或x ? } C. 23 ) D. 24

2.不等式 (3x ? 1)(5 ? x) ? 0 的解集为(

1 ? x ? 5} 3 1 C. {x | ? x ? 5} 3
A. {x |

1 3 1 D. {x | x ? 5或x ? } 3


3.对于任意实数 a, b, c, d , 给定下列命题正确的是( A.若 a ? b, c ? 0 ,则 ac ? bc
2 2 C.若 ac ? bc , 则 a ? b

2 2 B.若 a ? b ,则 ac ? bc

D.若 a ? b , 则 )

4.已知

1 ? tan A ? ? 5 ,则 tan( ? A) ? ( 1 ? tan A 4
B.

1 1 ? a b

A. ? 5

5

C. ?

5 5


D.

5 5

5.在 ?ABC 中,如果 ? a ? b ? c ??b ? c ? a ? ? 3bc ,那么 A 等于( A. 30
0

B. 60

0

C. 120

0

D. 150 ) D. 30 )高考资源网

0

6.在 ?ABC 中,若 a ? 5, b ? 4, cos C ? ? A.

4 ,则其面积等于( 5

18 B. 6 C. 12 5 7.在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 的形状是(
A.等腰三角形 C.等腰直角三角形
2

B.直角三角形 D.等腰或直角三角形 )

8.在等比数列 ?an ? 中, a1 和 a10 是方程 2 x ? 5x ? 1 ? 0 的两个根,则 a4 ? a7 ? ( A. ?

5 2

B.

2 2

C. ?

1 2

D.

1 2

第 1 页,共 16 页

9.已知 x ? 1 ,则函数 f ( x) ? x ? A.1 B.2

1 的最小值为( x ?1
C.3

) D.4

10. 2007 到 2011 期间, 从 甲每年 6 月 1 日都到银行存入 a 元的一年定期储蓄。 若年利率为 q 保 持不变,且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄,到 2011 年 6 月 1 日,甲去 银行不再存款,而是将所有存款的本息全部取回,则取回的金额是( ) A. a(1 ? q)4 元 B. a(1 ? q)5 元

C.

a[(1 ? q)4 ? (1 ? q)] 元 q

D.

a[(1 ? q)5 ? (1 ? q)] 元 q

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. cos174 cos156 ? sin174 sin156 的值为_________.
? ? ? ?

12.已知点 P (?1,0), P (0, 3) ,则直线 PP 的倾斜角为_________. 1 2 1 2 13.等差数列 ?an ? 中 a1 ? a9 ? a2 ? a8 ? 20 ,则 a3 ? a7 ? _________. 14.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?
2

1 1 , ) ,则 a ? b 的值等于_________. 2 3
*

15.定义:在数列 ?an ? 中,若 an 2 ? an?12 ? p , n ? 2 ,n ? N , p 为常数) ( ,则称 ?an ? 为“等 方差数列” .下列是对“等方差数列”的有关判断: ①若 ?an ? 是“等方差数列” ,则数列 ?
n ② (?2) 是“等方差数列” ;

?1? ? 是等差数列; ? an ?

?

?

③若 ?an ? 是“等方差数列” ,则数列 ?akn ? ( k ? N , k 为常数)也是“等方差数列” ;
*

④若 ?an ? 既是“等方差数列” ,又是等差数列,则该数列是常数数列. 其中正确的命题为 . (写出所有正确命题的序号)

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知 ?an ? 是公比为 q ? 1 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设 ?bn ? 是以 2 为首项, q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn ,求使 Sn ? 0 成立的 最大的 n 的值.

第 2 页,共 16 页

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x ? 4cos x . (Ⅰ)求 f ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值.

a 18. (本小题满分 12 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , ? 2b sin A .
(Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中 a1 ? 0 , an?1 ? an ? 2n(n ? 1, 2,3,?) . (Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)已知数列 ?bn ? 满足 bn ? (

an ? 1) ? 2n (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. n

第 3 页,共 16 页

20. (本小题满分 13 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H (单位: m ) ,如示意图,垂直放 置的标杆 BC 的高度 h ? 4 m ,仰角 ?ABE ? ? , ?ADE ? ? . (Ⅰ)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,满足 tan ? ? 1.24 , tan ? ? 1.20 ,请据此算出 H 的值; (Ⅱ) 该小组分析若干测得的数据后, 认为适当调整 标杆到电视塔的距离 d(单位:m ) 使 ? 与 ? , 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的

? 实际高度为 125m , 试问 d 为多少时, ? ? 最
大?

21 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 Sn 为 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 且 Sn ? 2an ? n2 ? 3n ? 2 , (

n ? 1, 2,3,? ,
(Ⅰ)求证:数列 ?an ? 2n? 为等比数列; (Ⅱ)设 bn ? an ? (?1)n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 P ; n (Ⅲ)设 cn ?

37 1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 44 an ? n

第 4 页,共 16 页

湖 北 省 黄 冈 中 学 2011 年 春 季 高 一 期 中 考 试
数 学 试 题(理)
命题:徐永杰 审稿:王宪生 校对:谭志 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知等差数列 {an } 中 a1 ? 1, d ? 2 ,则 a12 的值是( A.21 B. 22 C. 23 ) D. 24

提示:? 数列 ?an ? 为等差数列,? a12 ? a1 ? 11d ? 1 ? 11? 2 ? 23 ,选 C. 2.不等式 (3x ? 1)(5 ? x) ? 0 的解集为( ) B. {x | x ? 5或x ? }

1 ? x ? 5} 3 1 C. {x | ? x ? 5} 3
A. {x |

1 3 1 D. {x | x ? 5或x ? } 3 1 提示: 由已知可得 (3x ? 1)( x ? 5) ? 0 ,所以 ? x ? 5 ,所以原不等式解集为 3 1 {x | ? x ? 5} ,选 A. 3
3.对于任意实数 a, b, c, d , 给定下列命题正确的是( A.若 a ? b, c ? 0 ,则 ac ? bc
2 2 C.若 ac ? bc , 则 a ? b



2 2 B.若 a ? b ,则 ac ? bc

D.若 a ? b , 则
2

1 1 ? a b
2

提示:A.若 c ? 0 ,则有 ac ? bc ; D.只有 a , b 同号才能成立,选 C. 4.已知

B.若 c ? 0 ,则有 ac ? bc ;

1 ? tan A ? ? 5 ,则 tan( ? A) ? ( 1 ? tan A 4
B.



A. ? 5

5

C. ?

5 5

D.

5 5

提示: tan(

?
4

? A) ?

1 ? tan A 5 ? ,选 D 1 ? tan A 5


5.在 ?ABC 中,如果 ? a ? b ? c ??b ? c ? a ? ? 3bc ,那么 A 等于(

第 5 页,共 16 页

A. 30

0

B. 60

0

C. 120

0

D. 150
2 2

0

提示:由 ? a ? b ? c ??b ? c ? a ? ? 3bc 得 (b ? c)2 ? a2 ? 3bc ,所以 b ? c ? a ? bc ,所
2

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,所以 A ? 60? ,选 B. 以 cos A ? 2bc 2
6.在 ?ABC 中,若 a ? 5, b ? 4, cos C ? ? A.

4 ,则其面积等于( 5
C. 12

) D. 30

18 5

B. 6

提示:由 cos C ? ?

4 3 1 3 2 知 sin C ? 1 ? cos C ? ,所以 ?ABC 面积为 ? 5 ? 4 ? ? 6 , 5 5 2 5

选 B. 7.在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 的形状是( )高考资源网 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 提 示 : 由 正 弦 定 理 知 sin A cos A ? sin B cos B 所 以 有

1 1 sin 2 A ? sin 2 B , 所 以 2 2

sin 2 A ? sin 2 B ,所以 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? ,即有 A ? B 或 A ? B ?
为等腰或直角三角形,所以选 D.

?

2

, 所以 ?ABC

8.在等比数列 ?an ? 中, a1 和 a10 是方程 2 x ? 5x ? 1 ? 0 的两个根,则 a4 ? a7 ? (
2

)

A. ?

5 2

B.

2 2

C. ?

1 2

D.

1 2

1 1 ,由等比数列性质知 a4 ? a7 ? a1 ? a10 ? ,选 D. 2 2 1 9.已知 x ? 1 ,则函数 f ( x) ? x ? 的最小值为( ) x ?1
提示:由韦达定理知 a1 ? a10 ? A.1 B.2 C.3 D.4

1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ,所以选 C. x ?1 10. 2008 到 2011 期间, 从 甲每年 6 月 1 日都到银行存入 a 元的一年定期储蓄。 若年利率为 q 保
提示: x ? 1 知 f ( x) ? x ? 1 ? 持不变,且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄,到 2011 年 6 月 1 日,甲去银行 不再存款,而是将所有存款的本息全部取回,则取回的金额是( ) A. a(1 ? q) 元
4

B. a(1 ? q) 元
5

C.

a[(1 ? q)4 ? (1 ? q)] 元 q

D.

a[(1 ? q)5 ? (1 ? q)] 元 q
3

提示:2008 年的 a 元到了 2011 年本息和为 a(1 ? q) ,2009 年的 a 元到了 2011 年本息和为

第 6 页,共 16 页

a(1 ? q)2 , 2010 年 的 a 元 到 了 2011 年 本 息 和 为 a(1 ? q) , 所 有 金 额 为
a(1 ? q)(1 ? (1 ? q)3 ) a(1 ? q) ? a(1 ? q) ? a(1 ? q) 即所有金额为 1 ? (1 ? q)
2 3

a[(1 ? q)4 ? (1 ? q)] ,选 ? q

C. 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. cos174 cos156 ? sin174 sin156 的值为_________.
? ? ? ?

[答案]

3 2
? ? ? ?

? ? ? ? 提示: cos174 cos156 ? sin174 sin156 ? cos(174 ? 156 ) ? cos330 ? cos30 ?

3 . 2

12.已知点 P (?1,0), P (0, 3) ,则直线 PP 的倾斜角为_________. 1 2 1 2 [答案]

? 3

提示:直线 PP 的斜率为 3 ,所以此直线的倾斜角为 1 2

? . 3

13.等差数列 ?an ? 中 a1 ? a9 ? a2 ? a8 ? 20 ,则 a3 ? a7 ? _________. [答案]10 提示:由等差数列性质知 a1 ? a9 ? a2 ? a8 ,所以 a2 ? a8 ? a3 ? a7 ? 10 . 14.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?
2

1 1 , ) ,则 a ? b 的值等于_________. 2 3 1 1 1 1 , ) 知, 和 为方程 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的两根, ? 2 3 2 3

[答案] ?10 提示: 由不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?
2

所以

1 1 1 1 a ? b ? 2 ? 0 且 a ? b ? 2 ? 0 ,所以 a ? ?12, b ? ?2 所以 a ? b ? ?10 . 4 2 9 3
*

15.定义:在数列 ?an ? 中,若 an 2 ? an?12 ? p , n ? 2 ,n ? N , p 为常数) ( ,则称 ?an ? 为“等 方差数列” .下列是对“等方差数列”的有关判断: ①若 ?an ? 是“等方差数列” ,则数列 ?
n ② (?2) 是“等方差数列” ;

?1? ? 是等差数列; ? an ?

?

?

③若 ?an ? 是“等方差数列” ,则数列 ?akn ? ( k ? N , k 为常数)也是“等方差数列” ;
*

第 7 页,共 16 页

④若 ?an ? 既是“等方差数列” ,又是等差数列,则该数列是常数数列. 其中正确的命题为 [答案] ③④ 提示:①:可以举反例。如 an ? 0 时数列 ? . (写出所有正确命题的序号)

?1? ? 不存在,所以①错误 ? an ?

n 2 2 ②:对数列 (?2) 有 an ? an?1 ? [(?2)n ]2 ? [(?2)n?1 ]2 ? 4n ? 4n?1 不是常数,所以②错误 2 2 2 2 2 2 2 2 ③:对数列 ?akn ? 有 akn ? ak ( n ?1) ? akn ? akn ?1 ? akn ?1 ? akn ? 2 ? ? ? akn ? k ?1 ? akn ? k ? kp ,而

?

?

?

? ?

?

?

?

,所以③正确 k , p 均为常数,所以数列 ?akn ? 也是“等方差数列”
2 ④: 设数列 ?an ? 首项 a1 , 公差为 d 则有 a2 ? a1 ? d ,a3 ? a1 ? 2d , 所以有 (a1 ? d )2 ? a1 ? p ,

且 (a1 ? 2d )2 ? (a1 ? d )2 ? p ,所以得 d 2 ? 2a1d ? p ,

3d 2 ? 2a1d ? p ,上两式相减得 d ? 0 ,所以此数列为常数数列,所以④正确.
三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知 ?an ? 是公比为 q ? 1 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设 ?bn ? 是以 2 为首项, q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn ,求使 Sn ? 0 成立的 最大的 n 的值. 解: (Ⅰ) a1 , a3 , a2 成等差数列知 2a3 ? a1 ? a2 , 2aq 2 ? 1 ? 1 , 由 即 1 所以 2q ? q ? 1 ? 0 a aq
2

所以 q ? 1 或 q ? ? (Ⅱ) 由已知得 Sn ? 2n ?

1 1 而 q ? 1 ,所以 q ? ? . 2 2

n(n ? 1) 1 ?n2 ? n ? 8n ?n 2 ? 9n 2 ? (? ) ? ? , 所以 ?n ? 9n ? 0 , 2 2 4 4

可得 0 ? n ? 9 ,所以满足条件的 n ? 8 . 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x .
2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值. 解: (I) f ( ) ? 2 cos ? ? sin

?

3

2 3

2

?
3

? 4 cos

?
3

? ?1 ?

3 1 9 ? 4? ? ? 4 2 4

第 8 页,共 16 页

(II) f ( x) ? 2(2cos2 x ?1) ? (1 ? cos2 x) ? 4cos x = 3cos x ? 4cos x ? 1
2

= 3(cos x ? ) ?
2

2 3

7 ,x?R 3

因为 cos x ? [?1,1] , 所以,当 cos x ? ?1 时, f ( x ) 取最大值 6;当 cos x ?

2 7 时, f ( x ) 取最小值 ? . 3 3

a 18. (本小题满分 12 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , ? 2b sin A .
(Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围. 解: )由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? (Ⅰ 为锐角三角形得 B ?

1 ,由 △ ABC 2

π . 6

(Ⅱ cos A ? sin C ? cos A ? sin(? ? )

?
6

? A)

? cos A ? sin( ? A) 6

?

? 3 3 ? cos A ? sin A ? 3 sin( A ? ) 3 2 2
由 ?ABC 为锐角三角形知,

?
6

? A?

?
2

,A?

?

2 ? 5 ,? ? ? A ? ? ? 2 3 3 6

所以

1 ? 3 ? sin( A ? ) ? . 2 3 2 3 ? 3 3 ? 3 sin( A ? ) ? ? 3? , 2 3 2 2
? 3 3? ? 2 , 2 ?. ? ? ?

由此有

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?

19. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中 a1 ? 0 , an?1 ? an ? 2n(n ? 1, 2,3,?) . (Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式;

第 9 页,共 16 页

(Ⅲ)已知数列 ?bn ? 满足 bn ? ( 解: (Ⅰ)由已知得 a2 ? a1 ? 2 ? 2,

an ? 1) ? 2n (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. n

a3 ? a2 ? 4 ? 6,

a4 ? a3 ? 6 ? 12 .

(Ⅱ)由已知得 an?1 ? an ? 2n .所以 an ? ? an ? an ?1 ? ? ?an ?1 ? an ?2 ? ? ??a2 ? a1 ? ? a1

? 2 ? n ? 1 ? 2n ? ? ?? ? 2 2 ? ?

? ? 2 ? 2? n ? 1? ? n ? n
2

2

?n

(Ⅲ) bn ? n ? 2n ,则数列 ?bn ? 前 n 项和 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n 则 2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? ? n ?1? ? 2n ? n ? 2n?1 ,??Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?2n ? n ? 2n?1

?? Sn ?

2 ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ?Sn ? 2 ? ? n ?1? ? 2n?1 1? 2

20. (本小题满分 13 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H (单位: m ) ,如示意图,垂直放 置的标杆 BC 的高度 h ? 4 m ,仰角 ?ABE ? ? , ?ADE ? ? . (Ⅰ)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,满足 tan ? ? 1.24 , tan ? ? 1.20 ,请据此算出 H 的值; (Ⅱ) 该小组分析若干测得的数据后, 认为适当调整 标杆到电视塔的距离 d(单位:m ) 使 ? 与 ? , 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的

? 实际高度为 125m , 试问 d 为多少时, ? ? 最
大? 解:本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用. (Ⅰ)

H H H h ? tan ? ? AD ? ,同理: AB ? , BD ? . tan ? AD tan ? tan ?

AD ? AB ? DB , 故得

H H h h tan ? 4 ?1.24 ? ? ? ? 124 . , 解得:H ? tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m . (Ⅱ)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , tan ? ? ? ? , d AD DB d

第 10 页,共 16 页

H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d d tan ?? ? ? ? ? ? ? 2 ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d H ( H ? h) d? ? 2 H ( H ? h) , (当且仅当 d ? H (H ? h) ? 55 5 时,取等号) d
故当 d ? 55 5 时, tan ?? ? ? ? 最大. 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 55 5 时, ? ? ? 最大.故所求的 d 是

55 5m .
21 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 Sn 为 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 且 Sn ? 2an ? n2 ? 3n ? 2 , (

n ? 1, 2,3,? ,
(Ⅰ)求证:数列 ?an ? 2n? 为等比数列; (Ⅱ)设 bn ? an ? (?1)n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 P ; n (Ⅲ)设 cn ?

37 1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 44 an ? n
2

解: (Ⅰ)? Sn ? 2an ? n2 ? 3n ? 2 ,? S n ?1 ? 2an ?1 ? ? n ? 1? ? 3 ? n ? 1? ? 2

?an?1 ? 2an ? 2n ? 2,?an?1 ? 2 ? n ?1? ? 2 ? an ? 2n?

??an ? 2n? 是以 2 为公比的等比数列.
(Ⅱ) a1 ? S1 ? 2a1 ? 4,?a1 ? 4,?a1 ? 2 ?1 ? 4 ? 2 ? 2?an ? 2n ? 2n ,.

? an ? 2n ? 2n .
当 n 为偶数时, P ? b1 ? b2 ? b3 ? ?bn ? ?b1 ? b3 ? ?? bn?1 ? ? ?b2 ? b4 ? ?? bn ? n

? ? ? 2 ? 2 ?1? ? ? 23 ? 2 ? 3? ? ? ? ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 1? ? ? ? 22 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 4 ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? 2 n ? 2 ? n ? ? ?

2 ? n ? ? ? 2n ? 1? ? n . 1? 2 1? 2 3 当 n 为奇数时, P ? P ?1 ? an n n ?
2

4 ?1 ? 2n ?

?

2 ?1 ? 2n ?
2

?

2 n?1 2n?1 ? 2 2 ? 1? ? n ? 1 ? 2n ? 2n ? ? ? ? n ? 1? . ? 3 3

5 ? 1 n ?1 ?? 3 ? 2 ? n ? 3 , ? n为奇数 ? ? 综上, Pn ? ? ? 2 ? ? 2n ? 1? ? n, ? n为偶数 ? ?3 ? 1 1 (Ⅲ) cn ? . ? n an ? n 2 ? n
第 11 页,共 16 页

当 n ? 1 时, T1 ?

1 37 ? 3 44 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ??? n ? ? 2 ? 3 ??? n 当 n ? 2 时, Tn ? 1 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 ?n 3 2 2 2 1? 1 ? ?1 ? n?1 ? 1 1 1 5 1 5 37 1 4 2 ? ? ? ? ? ? ? n ? ? n? ? 1 3 3 2 2 6 2 6 44 1? 2 37 综上可知:任意 n ? N , Tn ? . 44

湖 北 省 黄 冈 中 学 2011 年 春 季 高 一 期 中 考 试
数 学 试 题(理)参考答案
1.提示:? 数列 ?an ? 为等差数列,? a12 ? a1 ? 11d ? 1 ? 11? 2 ? 23 ,选 C. 2. 提示: 由已知可得 (3x ? 1)( x ? 5) ? 0 , 所以 选 A. 3.提示:A.若 c ? 0 ,则有 ac ? bc ; D.只有 a , b 同号才能成立,选 C. B.若 c ? 0 ,则有 ac ? bc ;
2 2

1 1 ? x ? 5, 所以原不等式解集为 {x | ? x ? 5} , 3 3

4.提示: tan(

?
4

? A) ?

1 ? tan A 5 ,选 D ? 1 ? tan A 5
2 2 2

5.提示:由 ? a ? b ? c ??b ? c ? a ? ? 3bc 得 (b ? c)2 ? a2 ? 3bc ,所以 b ? c ? a ? bc ,所以

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,所以 A ? 60? ,选 B. 2bc 2
4 3 1 3 2 知 sin C ? 1 ? cos C ? ,所以 ?ABC 面积为 ? 5 ? 4 ? ? 6 ,选 5 5 2 5
s Bn i c 所s以 有 B o

6.提示:由 cos C ? ? B.

A s 7 . 提 示 : 由 正 弦 定 理 知 s i n c oA? sin A? 2

1 1 sin 2 A ? sin 2 B , 所 以 2 2

s i B ,所以 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? ,即有 A ? B 或 A ? B ? n2

?

2

,所以 ?ABC 为

等腰或直角三角形,所以选 D. 8.提示:由韦达定理知 a1 ? a10 ?

1 1 ,由等比数列性质知 a4 ? a7 ? a1 ? a10 ? ,选 D. 2 2

第 12 页,共 16 页

9.提示: x ? 1 知 f ( x) ? x ? 1 ?

1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ,所以选 C. x ?1

10.提示:2008 年的 a 元到了 2011 年本息和为 a(1 ? q) 3 ,2009 年的 a 元到了 2011 年本息和为

a(1 ? q)2 ,2010 年的 a 元到了 2011 年本息和为 a(1 ? q) ,所有金额为 a(1 ? q) ? a(1 ? q) 2 ? a(1 ? q)3 即所有金额为
3 2

a(1 ? q)(1 ? (1 ? q)3 ) 1 ? (1 ? q)

?

a[(1 ? q)4 ? (1 ? q)] ,选 C. q

11.[答案]

3 ? ? ? ? ? ? ? ? 提示: cos174 cos156 ? sin174 sin156 ? cos(174 ? 156 ) ? cos 330 ? cos 30 ? . 2

12.[答案]

? 3

提示:直线 PP 的斜率为 3 ,所以此直线的倾斜角为 1 2 13.[答案]10

? . 3

提示:由等差数列性质知 a1 ? a9 ? a2 ? a8 ,所以 a2 ? a8 ? a3 ? a7 ? 10 . 14.答案] ?10 提示: 由不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?
2

1 1 1 1 , ) 知,? 和 为方程 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的 2 3 2 3

两根,所以

1 1 1 1 a ? b ? 2 ? 0 且 a ? b ? 2 ? 0 ,所以 a ? ?12, b ? ?2 所以 a ? b ? ?10 . 4 2 9 3
?1? ? 不存在,所以①错误 ? an ?

15.[答案] ③④ 提示:①:可以举反例。如 an ? 0 时数列 ?

n 2 2 ②:对数列 (?2) 有 an ? an?1 ? [(?2)n ]2 ? [(?2)n?1 ]2 ? 4n ? 4n?1 不是常数,所以②错误 2 2 2 2 2 2 2 2 ③:对数列 ?akn ? 有 akn ? ak ( n ?1) ? akn ? akn ?1 ? akn ?1 ? akn ? 2 ? ? ? akn ? k ?1 ? akn ? k ? kp ,而

?

?

?

? ?

?

?

?

k , p 均为常数,所以数列 ?akn ? 也是“等方差数列” ,所以③正确
2 ④: 设数列 ?an ? 首项 a1 , 公差为 d 则有 a2 ? a1 ? d ,a3 ? a1 ? 2d , 所以有 (a1 ? d )2 ? a1 ? p ,

且 (a1 ? 2d )2 ? (a1 ? d )2 ? p ,所以得 d ? 2a1d ? p ,
2

3d 2 ? 2a1d ? p ,上两式相减得 d ? 0 ,所以此数列为常数数列,所以④正确.

第 13 页,共 16 页

16. (Ⅰ) a1 , a3 , a2 成等差数列知 2a3 ? a1 ? a2 , 2aq 解: 由 即 1 所以 q ? 1 或 q ? ?

2

? 1 aq a ?1

, 所以 2q 2 ? q ? 1 ? 0

1 1 而 q ? 1 ,所以 q ? ? . 2 2

n(n ? 1) 1 ?n2 ? n ? 8n ?n 2 ? 9n 2 ? (? ) ? ? (Ⅱ) 由已知得 Sn ? 2n ? , 所以 ?n ? 9n ? 0 , 2 2 4 4
可得 0 ? n ? 9 ,所以满足条件的 n ? 8 . 17.解: (I) f ( ) ? 2 cos ? ? sin

?

3

2 3

2

?
3

? 4 cos

?
3

? ?1 ?

3 1 9 ? 4? ? ? 4 2 4

(II) f ( x) ? 2(2cos2 x ?1) ? (1 ? cos2 x) ? 4cos x = 3cos x ? 4cos x ? 1
2

= 3(cos x ? ) ?
2

2 3

7 ,x?R 3

因为 cos x ? [?1,1] ,

2 7 时, f ( x ) 取最小值 ? . 3 3 1 bs i 18. (Ⅰ 由 a ? 2 n A , 解: ) 根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A , 所以 sin B ? , △ ABC 由 2 π 为锐角三角形得 B ? . 6
所以,当 cos x ? ?1 时, f ( x ) 取最大值 6;当 cos x ? (Ⅱ cos A ? sin C ? cos A ? sin(? ? )

?

6

? A)

? ? 3 3 ? cos A ? sin( ? A) ? cos A ? sin A ? 3 sin( A ? ) 6 3 2 2
由 ?ABC 为锐角三角形知,

?
6

? A?

?
2

,A?

?

2 ? 5 ,? ? ? A ? ? ? 2 3 3 6

所以

1 ? 3 3 ? 3 3 ? sin( A ? ) ? ? 3 sin( A ? ) ? ? 3? , .由此有 2 3 2 2 3 2 2
? 3 3? ? 2 , 2 ?. ? ? ?

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?

19.解: (Ⅰ)由已知得 a2 ? a1 ? 2 ? 2,

a3 ? a2 ? 4 ? 6,

a4 ? a3 ? 6 ? 12 .

(Ⅱ)由已知得 an?1 ? an ? 2n .所以 an ? ? an ? an ?1 ? ? ?an ?1 ? an ?2 ? ? ??a2 ? a1 ? ? a1

? 2 ? n ? 1 ? 2n ? ? ?? ? 2 2 ? ?

? ? 2 ? 2? n ? 1? ? n ? n
2

2

?n

第 14 页,共 16 页

(Ⅲ) bn ? n ? 2n ,则数列 ?bn ? 前 n 项和 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n 则 2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? ? n ?1? ? 2n ? n ? 2n?1 ,??Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?2n ? n ? 2n?1

2 ? 2n?1 ?? Sn ? ? n ? 2n?1 ?Sn ? 2 ? ? n ?1? ? 2n?1 1? 2
20.解:本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用. (Ⅰ)

H H H h ,同理: AB ? , BD ? . ? tan ? ? AD ? tan ? AD tan ? tan ?

AD ? AB ? DB , 故得

H H h h tan ? 4 ?1.24 , 解得:H ? ? ? ? ? 124 . tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m . (Ⅱ)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?
H tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ? d ?

H H h H ?h , tan ? ? ? ? , d AD DB d

H ?h

hd h d ? ? 2 H H ? h d ? H ( H ? h) H ( H ? h) 1? ? d? d d d

d?

H ( H ? h) (当且仅当 d ? ? 2 H ( H ? h) , d

H (H ? h) ? 55 5 时,取等号)

故 当 d ? 55 5 时 , tan?? ? ? ? 最 大 . 因 为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当

d ? 55 5 时, ? ? ? 最大.故所求的 d 是 55 5m .
21.解: (Ⅰ)? Sn ? 2an ? n2 ? 3n ? 2 ,? S n ?1 ? 2an ?1 ? ? n ? 1? ? 3 ? n ? 1? ? 2
2

?an?1 ? 2an ? 2n ? 2,?an?1 ? 2 ? n ?1? ? 2 ? an ? 2n?
??an ? 2n? 是以 2 为公比的等比数列.
? an ? 2n ? 2n .
当 n 为偶数时, P ? b1 ? b2 ? b3 ? ?bn ? ?b1 ? b3 ? ?? bn?1 ? ? ?b2 ? b4 ? ?? bn ? n (Ⅱ) a1 ? S1 ? 2a1 ? 4,?a1 ? 4,?a1 ? 2 ?1 ? 4 ? 2 ? 2?an ? 2n ? 2n ,.

? ? ? 2 ? 2 ?1? ? ? 23 ? 2 ? 3? ? ?? ?2n?1 ? 2 ? n ? 1?? ? ? 22 ? 2 ? 2? ? ? 24 ? 2 ? 4? ? ?? ?2n ? 2 ? n? ? ?
? 4 ?1 ? 2n ? 1? 2
2

?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2
2

?n?

2 ? ? 2n ? 1? ? n . 3

2 n?1 2n?1 ? 2 n ? ? n ? 1? . 当 n 为奇数时, P ? P ?1 ? an ? ? 2 ? 1? ? n ? 1 ? 2 ? 2n ? ? n n 3 3

第 15 页,共 16 页

5 ? 1 n ?1 ?? 3 ? 2 ? n ? 3 , ? n为奇数 ? ? 综上, Pn ? ? ? 2 ? ? 2n ? 1? ? n, ? n为偶数 ? ?3 ?

(Ⅲ) cn ?

1 1 . ? n an ? n 2 ? n
1

当 n ? 1 时, T1 ?

1 37 ? 3 44

当 n ? 2 时, Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ??? n ? ? 2 ? 3 ??? n 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 ?n 3 2 2 2 1? 1 ? 1? 1 4 ? 2n ?1 ? 1 1 1 5 1 5 37 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 3 2 2n 6 2n 6 44 1? 2

综上可知:任意 n ? N , Tn ?

37 . 44

第 16 页,共 16 页


赞助商链接
相关文章:
湖北省黄冈市黄冈中学学高一数学下学期期中试题理解析
湖北省黄冈市黄冈中学学高一数学下学期期中试题理解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省黄冈中学 2016 年春季期中联考高一数学试题(理)考试时间:4 月 27 日上午 8...
湖北省黄冈中学2010年春季高一数学期末考试
湖北省黄冈中学2010年春季高一数学期末考试 - 湖北省黄冈中学 2010 年春季高一数学期末考试试题(文) 命题:胡华川 校对:董明秀 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷...
湖北省黄冈中学2017届高三上学期期中考试(数学理)(含答...
湖北省黄冈中学2017届高三上学期期中考试(数学理)(含答案)word版 - 湖北省黄冈中学 2017 年秋季高三年级期中考试 数学试题(理) 一、选择题:(本大题共 10 小...
2015-2016学年湖北省黄冈中学高一(下)期中数学试卷(理科)
2015-2016 学年湖北省黄冈中学高一 (下) 期中数学试卷 (理科)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有...
湖北省黄冈市黄冈中学2017届高三上学期期中考试数学(理...
湖北省黄冈市黄冈中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。湖北省黄冈市黄冈中学2017届高三上学期期中考试数学(理...
湖北省黄冈中学2014-2015学年上学期高一期中数学试题
湖北省黄冈中学 2014 年高一秋季期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题)一、选择...
2018届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试理科数学试题...
2018届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试理科数学试题及答案 精品 - 黄冈中学 2018 年秋季高三年级 1 月月考数 学(理科) 一.选择题(本大题共 10 小题,每小...
湖北省黄冈中学2011年 春季高二数学期中考试试题(理科)
湖北省黄冈中学2011年 春季高二数学期中考试试题(理科)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。湖北省黄冈中学2011年 春季高二数学期中考试试题 ...
黄冈中学2009年春季高一数学期中考试试卷理
黄冈中学2009年春季高一数学期中考试试卷理_数学_高中教育_教育专区。湖北省黄冈中学 2009 年春季高一数学期中考试试题(理)考试时间:2009 年 4 月 23 日 命题人:...
2015-2016学年湖北省黄冈中学高一(下)期中考试数学试题...
2015-2016学年湖北省黄冈中学高一(下)期中考试数学试题(解析版)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省黄冈中学高一(下)期中考试数学试题一、...
更多相关标签: