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浙江省杭州十四中2012-2013学年高二上学期期中考试数学(理)试题

考生须知: 1. 考试时间:2012 年 11 月 20 日 10 时 20 分至 11 时 50 分. 2. 试卷分本卷和附加两部分,其中本卷满分 100 分,附加满分 20 分,共 4 页. 3. 所有答案必须写在答题卷上, 在试卷上答题无效. 4. 本试卷不得使用计算器. 5.参考公式: (1)柱体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高

1 3 1 (3)台体的体积公式:V ? h S1 ? S1S2 ? S2 ,其中 S1 , S2 分别表示台体的上底、下底面 3
(2)锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高

?

?

积, h 表示台体的高 (4)球的表面积公式: S ? 4πR 2 ;球的体积公式: V ?

4 3 πR ,其中 R 表示球的半径. 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分, 共 30 分,在每个小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符 合题目要求的) : 1.( )直线 3x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角为 A.

?

6 2? C. 3
2. ( )双曲线

B.

?

3 5? D. 6
x2 ? y 2 ? 1 的焦点坐标是 3
B. 0, ? 2 D. ? 0, ?2?

A. ? 2,0 C. ? ?2,0?

?

?

?

?

3. )过点 A(?2, 4) ,且在 x 轴上截距是 y 轴上截距的 2 倍的直线方程为 ( A. x ? 2 y ? 6 ? 0 或 2 x ? y ? 8 ? 0 B. x ? 2 y ? 6 ? 0 或 2 x ? y ? 0 C. 2 x ? y ? 0 或 x ? 2 y ? 10 ? 0 D. x ? 2 y ? 10 ? 0 或 2 x ? y ? 8 ? 0 4. )抛物线 x 2 ? 8 y 的准线方程是 (
[来源:Zxxk.Com]

A. y ? ?2 B. x ? ?2 C. y ? ?4 D. x ? ?4 5. )若直线 (m ? 2) x ? my ? 3 ? 0 与 mx ? 4 y ? 1 ? 0 垂直,则实数 m 的值为 ( A. 1 或 2 C.-6 或 2 B. ?2 ? 2 3 或 ?2 ? 2 3 D. 0 或 2

6. )圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是 (

A. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ?

1 2

B. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ?

1 2

[来源:学§科§网]

C. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

D. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

7. )已知两个不同的平面 ? 、 ? ,能判定 ? // ? 的条件是 ( A. ? 、 ? 分别平行于直线 a B. ? 、 ? 分别垂直于直线 a ? C. ? 、 ? 分别垂直于平面 D. ? 内有两条直线分别平行于 ? 8. )如图,正四棱锥 P ? ABCD 的所有棱长相等,E 为 PC 的中点,则异面直线 BE 与 ( PA 所成角的余弦值是

2 2 2 3 C. D. 3 3 9. )球的表面积与它的内接正方体的 表面积之比是 (
A.

1 2

B.

A. ? C.

B. D.

?
2

?
3

?
4

10. )由直线 y ? x ? 2 上的一点向圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 引切线,则切线长的最小值为 ( A. 4 C. 2 2 B. 3 D. 1

二、填空题(本大题有 7 小题,每题 4 分,共 28 分.请将答案填写在答题卷中的横线上) : 11.与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,且经过点 (2, ?3) 的直线方程为 ▲ . ▲ .

12.已知抛物线 C : x 2 ? 2 py( p ? 0) 上一点 A( m, 4) 到其焦点的距离为 5 ,则 m=

1 3.已知 F1 (0, ?2) 、 F2 (0, 2) 为椭圆的两个焦点,过 F2 作椭圆的弦 AB ,若 ?AF1B 的周长为 ▲ . 14.若某几何体的三视图( 单位:cm)如右图所示,则该几何体的体积为

16 ,则该椭圆的 标准方程为



cm2.

C1 A1

B1 D B A (第 16 题)

C

x2 y2 ? ? 1 有相同渐近线方程的双曲线的标准方程为 ▲ . 4 2 16.如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AB ? 2,D 在棱 BB1 上,且 BD ? 2 ,若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ? ,则 ? 为 ▲ .
15.过点 P(3, 2) 且与双曲线

17.给出下列命题: ①如果 a , b 是两条直线,且 a // b ,那么 a 平行于经过 b 的任何平面; ②如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? ; ③若直线 a , b 是异面直线,直线 b , c 是异面直线,则直线 a , c 也是异面直线; ④已知平面 ? ⊥平面 ? ,且 ? ∩ ? = b ,若 a ⊥ b ,则 a ⊥平面 ? ; ⑤已知直线 a ⊥平面 ? ,直线 b 在平面 ? 内, a // b ,则 ? ⊥ ? . 其中正确命题的序号是 ▲ . 三、解答题(本大题有 4 小题, 共 42 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) : 18.(本题满分 10 分) 若直线 l 过点(0,3)且与抛物线 y2=2x 只有一个公共点,求该直线方程. 19.(本题满分 10 分)
2 2 2 2 求圆心在直线 x ? y +1 ? 0 上,且经过圆 x ? y ? 6x ? 4 ? 0 与圆 x ? y ? 6 y ? 28 ? 0 的交

点的圆方程.

20.(本题满分 10 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 900 , PA ? 底面 ABCD ,且

PA ? AD ? DC ?

1 AB . 2
(第 20 题)

(Ⅰ)证明 : DC ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求二面角 P ? BC ? A 的余弦值的大小.

21.(本题满分 12 分) 已知椭圆的中心在原点 O ,焦点在坐标轴上,直线 y ? 2 x ? 1 与该椭圆相交于 P 和 Q ,且

OP ? OQ , | PQ |?

10 ,求椭圆的方程. 11

四、附加题 22.填空题(本大题有 2 小题,每题 5 分,共 10 分.请将答案填写在答题卷中的横线上) : (Ⅰ)函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 13 ? x2 ? 12x ? 37 的最小值为 (Ⅱ)若点 P 在曲线 C1 : ▲ .

x2 y2 ? ? 1 上,点 Q 在曲线 C2 : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上,点 R 在曲线 16 9
▲ .

C3 : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上,则 | PQ | ? | PR | 的最大值是

23.解答题(本题共 10 分.请写出文字说明, 证明过程或演算步骤) : 已 知 A(1,1)是 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 一 点 , F1 , F2 是 椭 圆 的 两 焦 点 , 且 满 足 a 2 b2

| AF1 | ? | AF2 |? 4 (Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设 C 、 D 是椭圆上任两点,且直线 AC 、 AD 的斜率分别为 k 1 、 k 2 ,若存在常 数 ? 使 k2 ? ? k1 ,求直线 CD 的斜率.

数学(理科)评分细则高二 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分, 共 30 分) : 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 A
网 ZXXK]

5 D
[来源:学科

6 D
科_网 Z_X_X_K]
[ 来 源 : 学_

7 B

8 D

9 B

10 A

二、填空题(本大 题有 7 小题,每题 4 分,共 28 分) :

15. x 2 ?

y2 ?1 1 2

16. 30 0 17.②⑤ 三、解答题(本大题有 4 小题, 共 42 分) : 18 . 解 析 : 若 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 , 则 直 线 l 的 方 程 为 x = 0 , 满 足 条 件…………………………………2 分; 当 直 线 l 的 斜 率 存 在 , 不 妨 设 l : y=kx+3 , 代 入 y2 =2x , 得 : k2x2 +(6k-2)x+9=0……………4 分; 有 条 件 知 , 当 k=0 时 , 即 : 直 线 y=3 与 抛 物 线 有 一 个 交 点………………………………………6 分; 当 k ≠ 0 时 , 由 △ = (6k-2)2 -4 × 9 × k2=0 , 解 得 : k=

1 ,则直线方程为 6

1 y ? x ? 3 …………9 分; 6

? x2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0 ? x ? ?1 ? x ? ?6 ………………………………………… ?? 或? ? 2 2 ? x ? y ? 6 y ? 28 ? 0 ? y ? 3 ? y ? -2
……4 分; 所以 A(-1,3) 、B(-6,-2) 因 此 直 线 AB 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 : x+y+3=0…………….……………………………………6 分; x ? y +1 ? 0 与 x+y+3=0 联立 , 解得: x=-2, y=-1, 所求圆心 C 为 即: (- 2, -1) ………

8 分; 半径 r=AC= 17 . 故 所 求 圆 C 的 方 程 为 : (x+2)2 + ( y+1 ) 2 =1 7 … … … … … … … … … ………………………4 分; zxxk 20 . 解 析 : ( I )

? ABCD是直角梯形 ? ? ? AD ? DC ? 0 ?DAB ? 90 ? ? ? PA ? 平面ABCD ? PA ? DC ? ? DC ? 平面PAD ………………………………4 分; ? AD ? PA ? DC ? ? ?
( II )

? ? AD ? DC ? 2 AB ? ? ? ? AC ? 2 DC ? ? AD ? DC ? 2 ? AC ? BC ? ? BC ? PC ? ? ? ? BC ? 平面PAC ? ? ? ? ?CAB ? ? BC ? AC ? ? 4 ? ? ? PA ? 平面ABCD ? PA ? BC ?
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …………………………………………8 分;. 故 ?ACP 为 所 求 二 面 角 的 平 面 角 ,

cos ?ACP ?

AC 6 ? ………………………10 分. PC 3













(m ? 4n) x2 ? 4nx ? n ? 1 ? 0 ………………………………………………2 分;
所 以 :

x1 ? x2 ? ?

4n m ? 4n



x1 x2 ?

n ?1 m ? 4n


①………………………………3 分; 由

OP

OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? x1 x2 ? (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ? 0 ? 5 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 [ 来

源:Zxxk.Com]

n ?1 ?4n ? 5? ? 2? ?1 ? 0 ? m ? n ? 5 m ? 4n m ? 4n
……………………6 分;

②… ………

又由 四、附加题(本大题有 2 小题, 共 20 分) : 22.(I) 4 2 ; (II)10. 23. 解析: (I)2a ? 4,

x2 3 1 1 4 ? 2 ? 1, b2 ? , 所求椭圆方程 ? y 2 ? 1 ……… ….………3 分; 4 4 a2 b 3

同理 D(

2 2 3k2 ? 6k2 ? 1 ?3k2 ? 2k2 ? 1 , ) ……………………………………………..6 分; 2 2 1 ? 3k2 1 ? 3k2

?2k1 ? 2 K CD ? ( y1 ? 1) ? ( y2 ? 1) ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ?
2 1

3k ? 1 3k22 ? 1 (3k22 ? 1)(1 ? k1 ) ? (3k12 ? 1)(1 ? k2 ) ? 6k ? 2 6k2 ? 2 (1 ? 3k12 )(1 ? 3k2 ) ? (1 ? 3k22 )(1 ? 3k1 ) ? 12 ? 3k1 ? ! 3k22 ? 1

?

?2k2 ? 2

?

1 3(k1 ? k2 ) ? 3k1k2 ? 1 1 3(1 ? ? )k1 ? 3? k12 ? 1 ? …………………………8 分; 3 1 ? (k1 ? k2 ) ? 3k1k2 3 1 ? (1 ? ? )k1 ? 3? k12

要使 ?
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

2 1 3(1 ? ? )k `1 ? 3? k1 ? 1 ? kCD 为常数, 3(kCD ? 1)? k12 ? (1 ? ? )(3 ? kCD )k1 +(1- kCD )=0, 2 3 1 ? (1 ? ? )k1 ? 3? k1

得 kCD ?

1 …………………………………………………………..……10 分. 3


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