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【步步高】2014届高考数学一轮复习 2.3.3 等比数列的前n项和(二)备考练习 苏教版


2.3.3
一、基础过关

等比数列的前 n 项和(二)

1. 在各项都为正数的等比数列{an}中, 首项 a1=3, 3 项和为 21, a3+a4+a5=________. 前 则 2.等比数列{an}共 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则公比 q= ________. 3.银行一年定期储蓄存款年息为 r,三年定期储蓄存款年息为 q,银行为吸收长期资金,鼓 励储户存三年定期的存款,那么 q 的值应略大于________. 4.等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,S3=2,S6=6,则 a10+a11+a12=________. 5.一弹性球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第 10 次着地时所经过的路程和是________米(结果保留到个位). 1 6.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列{ }的前 5 项

an

和为______. 7.一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它 在前一分钟里上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能超过 125 m 吗? 8.在等比数列{an}中,已知 S30=13S10,S10+S30=140,求 S20 的值. 二、能力提升 9. 数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, n+1=3Sn(n≥1), 若 a 则数列{an}的通项公式为________. 10.某企业在今年年初贷款 a 万元,年利率为 γ ,从今年年末开始每年偿还一定金额,预计 五年内还清,则每年应偿还________万元. 11.某工厂月生产总值的平均增长率为 q,则该工厂的年平均增长率为________. 12.利用等比数列前 n 项和公式证明 an+1-bn+1 * an+an-1b+an-2b2+…+bn= ,其中 n∈N ,a,b 是不为 0 的常数,且 a≠b. a-b 三、探究与拓展 13.已知{an}是以 a 为首项,q 为公比的等比数列,Sn 为它的前 n 项和. (1)当 S1,S3,S4 成等差数列时,求 q 的值; (2)当 Sm,Sn,Sl 成等差数列时,求证:对任意自然数 k,am+k,an+k,al+k 也成等差数列. 答案 1.84 2.2 1 31 3 3. [(1+r) -1] 4.16 5.300 6. 3 16

4 7.解 用 an 表示热气球在第 n 分钟上升的高度,由题意,得 an+1= an, 5 4 因此,数列{an}是首项 a1=25,公比 q= 的等比数列. 5 热气球在前 n 分钟内上升的总高度为 a1? 1-qn? Sn=a1+a2+…+an= 1-q

-1-

? ?4?n? 25×?1-? ? ? ? ?5? ? = 4 1- 5 ? ?4?n? =125×?1-? ? ?<125. ? ?5? ?
故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m. 8.解 ∵S30≠3S10,∴q≠1. ? ? ?S30=13S10 ?S10=10 由? ,∴? ?S10+S30=140 ?S30=130 ? ?



? ? ∴? a? ? ?
1 20

a1? 1-q10? =10 1-q
1-q ? =130 1-q
10 10 30



∴q +q -12=0.∴q =3, a1? 1-q20? 10 ∴S20= =S10(1+q ) 1-q =10×(1+3)=40. ?1? n=1? ? 9.an=? n-2 ? ?3×4 ? n≥2? aγ ? 1+γ ? 5 12 10. 11.(1+q) -1 5 ? 1+γ ? -1 12.证明 ∵a≠0,b≠0,a≠b,∴ ≠1.

b a

b+an-2b2+…+bn b ?b?2 ?b?n? n? =a ?1+ +? ? +…+? ? ? ?a? ? ? a ?a? ? ?b? ? an?1-? ?n+1? ? ?a? ? = b 1- a ? ? b? ? an+1?1-? ?n+1? ? ? a? ? = a-b n+1 a -bn+1 = =右端. a-b an+1-bn+1 n n-1 n-2 2 n ∴a +a b+a b +…+b = . a-b
∴左端=a +a 13.(1)解 由已知,得 an=aq
2

n

n-1

n-1

,因此

S1=a,S3=a(1+q+q ),S4=a(1+q+q2+q3).
当 S1,S3,S4 成等差数列时,S4-S3=S3-S1, 可得 aq =aq+aq , 化简得 q -q-1=0.
2 3 2

-2-

1± 5 解得 q= . 2 (2)证明 若 q=1,则{an}的各项均为 a,此时 am+k,an+k,al+k 显然成等差数列. 若 q≠1,由 Sm,Sn,Sl 成等差数列可得 Sm+Sl=2Sn, n a? qm-1? a? ql-1? 2a? q -1? m l n 即 + = ,整理得 q +q =2q . q-1 q-1 q-1 因此,am+k+al+k=aq
k-1

(q +q )=2aq

m

l

n+k-1

=2an+k.

所以 am+k,an+k,al+k 成等差数列.

-3-


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