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方程的根与函数的零点(公开课)


引例1:判断下列方程是否有跟,有几个实数根?
(1 ) x
2

? 2x ?1 ? 0 2 (3 ) x ? 2 x ? 3 ? 0
(2 ) x
2

? 2x ? 3 ? 0

知识探究(一):方程的根与函数的零点
方程
函数 函 数 的 图 象
2 x -2x+3=0 x -2x+1=0 y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3

x2-2x-3=0

2

y

y

.
. -1

y
2 1

.
-1

.
x
-1

2 1

. . . .
2

.
3 2 1

5

.

4

0

1

2

.

.
1

.
2

.

3

-3 -4

-2

0

1

x

-1

0

3

x

.

方程的实数根 x =-1,x =3 1 2 函数的图象 与x轴交点

x1=x2=1

无实数根

(-1,0)、(3,0)

(1,0)

无交点

函数零点的定义:
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x

叫做函数y=f(x)的零点。
零点是一个点吗?

注意:零点指的是一个实数

等价关系

函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.

2 f ( x ) ? x ( x ?16)的零点。 例1:求函数

求函数零点的步骤:
(1)令f(x)=0;

(2)解方程f(x)=0;
(3)写出零点

课堂练习1

练习1.求下列函数的零点:

(1)y ? 2 x ? 1 ;(2)y ? 2 ? log 3 x .
练习2.已知函数 f ( x)的定义域为R的奇函 数,且 f ( x) 在 (0, ??)有一个零点,则 f ( x) 的零点个数为_____

思考
?

方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 是否有实根? 有几个实根?

知识探究(二):函数零点存在性原理
问题探究 观察函数的图象

有 有/无)零点; ①在区间(a,b)上______( 有 有/无)零点; ② 在区间(b,c)上______(
f(a).f(b)_____0 < (<或>).

无 有/无)零点; ③ 在区间(c,d)上______(
f(c).f(d) _____ < 0(<或>).

f(b).f(c) _____ < 0(<或>).

零点存在定理:
?

如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区

?

?

间(a, b)内有零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也
就是方程f(x) = 0的根.

?

思考:定理开始时在闭区间[a, b]上 连续,结果推出在开区间(a,b)上存在 零点,你是如何理解的?

概念反思
问题1:函数f(x)在区间(a,b)上有f(a)f(b)<0,那么函数f(x)
在区间(a,b)上是否一定存在零点,请举例说明。

问题2:函数f(x)在区间(a,b)上有f(a)f(b)<0,且有零点,那么一
定只有一个吗?请举例说明。

问题3:函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点,一定有f(a)·f(b)<0吗?

零点的存在性定理

f ( x )在 ?a , b?上连续

f ( x )在 ?a , b?上单调
f (a ) ? f (b) ? 0

?

f ( x )在?a , b ? 有 唯一 零点

例2. 已知函数f ( x)的图像是连续不断的,有 如下表所对应值:
X f(x) 1 23 2 9 3 -7 4 11 5 -5 6 -12 7 -26

那么函数 f ( x) 在区间 ?1,7? 上的零点至少有 _____ 3 个。

例3 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。 解:分别列出部分x、f(x)的对应值表如下:

f ( x) ? 4 ln 2 ? 2 ln 3 ln 4 ? 2 ln 5 ? 4
即f(2)· f(3)<0, 由上表可知 f(2)<0,f(3)>0, 且f(x)在(0,+∞)单调递增。 说明这个函数在区间(2,3)内有零点。 又因为函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数, 所以它仅有一个零点。

x

1

2

3

4

5

课堂练习3
1.函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 5的零点所在的大致区间为( )

A. (-2,0)

B. (1,2)

C. (0,1)

D. (0,0.5)

小结
函数的零点定义:

对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点 函数y=f(x)有零点

函数零点存在性原理
如果函数 y ? f ( x) 在区间? a , b ? 上的图象是连续不断的一条曲线,

并且有 f (a) ? f (b) ? 0 , 那么, 函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

?

如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续的,并 且在闭区间的两个端点上的函数值互异即 f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么这个函数在 (a,b)内必有惟一的一个零点。


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