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《方程的根与函数的零点》说课稿


《方程的根与函数的零点》说课稿
各位评委老师,各位同事,下午好!我是来自哈师大附中的数学教师于 ,今天我说课 的题目是《方程的根与函数的零点》 。下面我将从教材分析、学情分析、目标分析、过程分析、 教法学法分析、板书设计六个方面来进行阐述。 一【教材分析】
1.1 说内容 本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A 版必修 1 第三章《函数的应用》第一节《函数与 方程》的第一课时,主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理,是 一节概念课. 1.2 说地位 新课标教材新增了二分法,也因而设置了本节课.所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解” 打基础,零点概念与零点存在性定理是二分法的必备知识.本节课还为方程与函数提供了零点这个连接点, 从而揭示了两者之间的本质联系,这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础.从研究方法而言,零点 概念的形成和零点存在性定理的发现,符合从特殊到一般的认识规律,有利于培养学生的概括归纳能力, 也为数形结合思想提供了广阔的平台.

二【学情分析】
高一学生已经学习了函数的概念,对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解.特 别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点,对这块内容已经有了很深的理解,所以对 本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用,但针对高一学生,刚进人高中不久,学生的动手,动脑能力, 以及观察,归纳能力都还没有很全面的基础上,在本节课的学习上还是会遇到较多的困难,所以我在本节 课的教学过程中,从学生已有的经验出发,环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望,将学生置于主 动参与的地位.

三【目标分析】
依据新课标中的内容与要求,以及学生实际情况,我确定本节课的三维目标如下: 3.1 说教学目标 知识与技能目标: 1、 结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程的根 的联系. 2、 理解函数零点存在性定理 3、 会判断函数的零点个数和所在区间 过程与方法目标: 1、经历“类比—归纳—应用”的过程,感悟由具体到抽象的研究方法,培养归纳概括能力. 2、初步体会函数方程思想,能将方程求解问题转化为函数零点问题. 情感、态度和价值观目标: 1、体会函数与方程的“形”与“数” 、 “动”与“静” 、 “整体”与“局部”的内在联系. 2、体验规律发现的快乐. 3.2 说重点难点 教学重点 了解函数零点概念,体会方程的根与函数零点之间的联系,掌握函数零点存在性定理. 教学难点 对零点存在性定理的准确理解.

四【过程分析】
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为了达到突出重点,突破难点的目的,在教学过程上,我设置了如下环节: 4.1 教学结构设计: 创设情境,感知概念 约 10 分钟 零点概念的建构 辨析讨论,明确概念 实例探究,归纳定理 辨析应用,熟悉定理 例题变式,深化拓展 小结反思,提高认识 约 3 分钟 小结 布置作业,独立探究 4.2 教学过程设计: (一)创设情境,感知概念 1、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系. 实例引入 解方程: (1)2-x=4; (2)2-x=x. 说明:比较两个方程,让学生发现有些方程不能通过代数运算求解方程的根,引出课题。 意图:通过纯粹靠代数运算无法解决的方程,引起学生认知冲突,激起探求的热情. 填空: 方程 根 函数 x2-2x-3=0 x1=-1,x2=3 y=x -2x-3
2

约 15 分钟

零点存在性定理 的探究

约 12 分钟

应用与巩固

x2-2x+1=0 x1=x2=1 y=x -2x+1
2

x2-2x+3=0 无实数根 y=x2-2x+3

y 4 2
图象
O

y 4 2 -1 1 2 3 x -2 -4
一个交点:(1,0) O

y 4 2 -1 1 2 3 x -2
没有交点 O

-1 1 2 3 x -2 -4
图象与 x 轴的 交点 两个交点: (-1,0),(3,0)

问题 1:从该表你可以得出什么结论? 问题 2:这个结论对一般的二次函数和方程成立吗? 学生讨论,得出结论:一元二次方程的根就是函数图象与 x 轴交点的横坐标. 说明:通过该表得出结论,再把特殊的二次函数和二次方程转化为一般形式,引导学生进行讨论。 归纳: 判别式Δ 方程 ax +bx+c=0 (a>0) 的根
2

Δ>0 两个不相等的实数根 x1、x2

Δ=0 有两个相等的 实数根 x1 = x2

Δ<0 没有实数根

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y 函数 y=ax2+bx+c (a>0) 的图象

y

y

O x1

x2

O x

x1

x

O

x 无交点

函数的图象与 x 轴的交 点

两个交点: (x1,0),(x2,0)

一个交点: (x1,0)

意图:通过回顾二次函数图象与 x 轴的交点和相应方程的根的关系,为一般函数及相应方程关系作准备. 2、一般函数的图象与方程根的关系. 问题 3:其他的函数与方程之间也有类似的关系吗?请举例! 师生互动,在学生提议的基础上,老师加以改善,现场在几何画板下展示类似如下函数的图象:y=2x -4,y=2x-8,y=ln(x-2),y=(x-1)(x+2)(x-3).比较函数图象与 x 轴的交点和相应方程的根的关系, 从而得出一般的结论: 方程 f(x)=0 有几个根,y=f(x)的图象与 x 轴就有几个交点,且方程的根就是交点的横坐标. 说明:从问题 1、2 到问题 3,由特殊到一般,由浅入深、循序渐进,给不同层次的学生提供了思考、创造、 表现和成功的舞台.教学过程中,教师利用几何画板动态演示,让学生从动态的角度体会方程的根 与函数的零点之间的关系,引出函数零点的定义.同时也能培养学生的归纳概括能力. 意图:通过多种函数,将结论推广到一般函数,为零点概念做好铺垫. (二)辨析讨论,明确概念. 3、函数零点概念及其与对应方程根的关系 概念:对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 即兴练习:函数 f(x)=x(x2-16)的零点为( D ) A.(0,0),(4,0) B.0,4 C.(–4,0),(0,0),(4,0) D.–4,0,4 意图:通过实例及时矫正“零点是交点”这一误解,澄清零点是指自变量的取值. 说明:此环节的设置,是因为我在以前的教学过程中发现,学生经常将零点写成坐标点的形式,通过学生 对这一环节的解决,加上老师及时进行点评和纠正,让学生从错误中加深对零点定义的理解.通过 此环节,可以突出本课的重点, 问题 4:函数的零点与方程的根有什么共同点和区别? (1)联系:①数值上相等:求函数的零点可以转化成求对应方程的根; ②存在性一致: 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (2)区别:零点对于函数而言,根对于方程而言. 说明:函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些方程问题可以转化为函 数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础. 意图:巩固由特例归纳的胜利果实,丰富零点概念. (三)实例探究,归纳定理. y 4、零点存在性定理的探索. 问题 5:在怎样的条件下,函数 y=f(x)在区间[a,b]上存在零点? 说明:教师给出问题 5,让学生探究。由于入手较难,说以教师先给出 2 特殊函数让学生探究,进而发现一般的函数图象的特点,发现规律。 2 1 探究: (1)观察二次函数 f(x)=x -2x-3 的图象: 在区间[-2,1]上有零点______; f(-2)=_______,f(1)=_______,f(-2)· f(1)_____0(“<”或“>”) . 在区间(2,4)上有零点______;f(2)· f(4)____0(“<”或“>”) . (2)观察函数的图象:
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-2 -1 O -2 -3 -4

1 2 3 4 x -1

① 在区间(a,b)上___(有/无)零点;f(a)· f(b) ___ 0(“<”或“>”) . y ② 在区间(b,c)上___(有/无)零点;f(b)· f(c) ___ 0(“<”或“>”) . ③ 在区间(c,d)上___(有/无)零点;f(c)· f(d) ___ 0(“<”或“>”) . a c 意图:通过观察,归纳判定方法,描述零点存在性定理. O b d x 零点存在性定理: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数 y=f(x) 在区间(a,b)内有零点.即存在 c∈ (a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 即兴练习:下列函数在相应区间内是否存在零点? (1)f(x)=log2x,x∈[ 1 ,2];
2

(2)f(x)=ex-1+4x-4,x∈[0,1].

意图:通过简单的练习适应定理的使用. (四)辨析应用,熟悉定理. 5.存在性定理的辨析与运用 说明:让学生同桌两人一组,一人拿出笔,把笔的两端作为区间[a,b]的两个端点,拿线绳在桌面上摆出各种 形状,把笔放在线绳上,让另外一名学生说明笔和绳的交点情况,对零点存在性定理形成初步的了 解,教师巡视,选出两组在展台上演示。 例 1 判断下列结论是否正确,若不正确,请使用函数图象举出反例: (1)已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)· f(b)<0,则 f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. ( × ) (2)已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)· f(b)≥0,则 f(x)在区间(a,b)内没有零点. ( × ) (3)已知函数 y=f(x)在区间[a,b]满足 f(a)· f(b)<0,则 f(x)在区间(a,b)内存在零点. ( × ) 请一位学生板书反例,其他学生补充评析,例如: y y y

a O b x O a b x O

a b x

归纳:定理不能确定零点的个数;不满足定理条件时依然可能有零点。定理中的“连续不断”是必不 可少的条件; . 说明:在思考设置这一环节时,我注意到了教材是利用二次函数进行的探究,但结合以往的教学经验,课 本上的探究只能达到揭示定理的目的,对于“定理的充分非必要性即函数在区间上有零点但不一定 有端点函数值异号”这一难点却无法进行突破。因此我改为让学生动手实验和讨论,学生在动手实 验过程中,可能出现有零点也可能无零点,零点的个数可能是 1 个,也可能多个的现象,教师选择 有代表性的探究结果进行展示和点评,引导学生归纳总结函数存在零点的条件,以及分析出现上述 多种可能结果的原因,达到完成本节课的知识与技能目标的目的,同时也突出了重点,突破了难点. 意图:直面易产生的误解,在第一时间加以纠正,从而促进对定理的准确理解. 9、练习: (1)已知函数 f (x)的图象是连续不断的,有如下的 x,f(x)对应值表: x f(x) 1 23 2 9 3 -7 4 11 5 -5 D.2 个 ( D.(1,2) ) 6 -12 7 -26 ( C )

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有 A.5 个 B .4 个 C .3 个 3 (2)方程– x – 3x + 5=0 的零点所在的大致区间为 A.(– 2,0) B.(0,1) C.(0,1)
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说明:三个反馈练习,使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题,加深对函数在 某一区间上存在零点的判定定理的理解,再次突出了本节课“函数零点存在性的判断”的重点. 意图:一方面通过选择题促进学生对定理的活用,另一方面为突破后面的例题铺设台阶. (五)例题变式,深化拓展. 6、例题讲解 例 2:求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数,并确定零点所在的区间[n,n+1](n∈Z). 解法 1(借助计算工具):用计算器或计算机作出 x、f(x)的对应值表和图象. x f(x) 1 -4.0 2 -1.3 3 1.1 4 3.4 5 5.6 6 7.8 7 9.9 8 12.1 9 14.2

由表或图象可知,f (2)<0,f (3)>0,则 f (2) f (3)<0,这说明函数 f(x)在区间(2,3)内有零点. 问题 6:如何说明零点的唯一性? 又由于函数 f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以它仅有一个零点. 解法 2(估算):估计 f(x)在各整数处的函数值的正负,可得如下表格: x f(x) 1 - 2 - 3 + 4 +
y 6

结合函数的单调性,f(x)在区间(2,3)内有唯一的零点. 解法 3 由学生的接受情况进行选讲(函数交点法) :将方程 lnx+2x-6=0 化为 lnx=6-2x,分别画出 g(x)=lnx 与 h(x)=6-2x 的草图,从而确定零点个数为 1.继而 比较 g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小,确定交点所在的区间,即零点的区间.由 图可知 f(x)在区间(2,3)内有唯一的零点. 说明:1。归纳:由于函数与方程的特殊关系,所以讨论函数零点个数问题常用的 方法是: (1)解方程; (2)画图象; (3)利用 f ? a ? ? f ?b ? ? 0 及函数 的单调性.同时这些方法又是有机联系的.

g(x) h(x)

O

1234

x

2.本题是根据我校学生的特点,将课本的例 1 进行改编而来,降低了难度,但是更加符合我校的生 源特点。教学过程中,我将利用几何画板作出函数 f ? x ? ? ln x ? 2x ? 6 的图象,让学生通过数形 结合,确定函数零点所在区间,学生得出的不同答案,可以使学生意识到零点的区间是不唯一的, 也为下一节二分法求方程的近似解奠定基础. 意图:通过例题分析,能根据零点存在性定理,使用多种方法确定零点所在的区间,并且结合函数性质, 判断零点个数.解法 3 作为选讲内容,视学生基础而定. 练习 求方程 2-x =x 的解的个数,并确定解所在的区间[n,n+1](n∈Z). 意图:一方面与引例相呼应,又作为例题方法的巩固,也为下一节课作铺垫. (六)小结反思,提高认识.
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问题 7:你通过本节课的学习有什么收获? (1)一个关系:函数零点与方程根的关系: 函数 方程

数 零点

值 根

存在性 个 数

(2)两种思想:函数方程思想;数形结合思想. (3)三种题型:求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间. 问题 8:对于本节课学习的内容你还有什么疑问? 说明:在学生谈收获,谈体验的过程中,教师将本节课的内容概括一个关系,两种思想,三种题型.进一 步优化学生的认知结构,把课堂所学的知识与方法较快转化为学生的素质,也更进一步培养学生的 归纳概括能力. (七)布置作业,独立探究. 必做题 1.函数 f(x)=(x+4)(x-4)(x+2)在区间[-5,6]上是否存在零点?若存在,有几个? 必做题 2.利用函数图象判断下列方程有几个根: - (1)2x(x-2)=-3;(2)ex 1+4=4x. 必做题 3.结合上课给出的图象,写出并证明下列函数零点所在的大致区间: (1)f(x)=2xln(x-2)-3;(2)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x. 选做题:方程 2-x =x 在区间______内有解,如何求出这个解的近似值?请预习下一节. 说明:围绕课堂的重点,分层布置作业,帮助学生进一步理解相关的知识与方法,利于拓展学生的自主发 展的空间. 意图:为 “用二分法求方程的近似解”的学习做准备.

五【教法学法分析】
在教法上,本次课采用以学生为主体的探究式教学方法,采用“设问——探索——归纳——定论”层 层递进的方式来突破本课的重难点。 在学法上,精心设置一个个问题链,并以此为主线,由浅入深、循序渐进,以培养学生探究精神为出 发点,着眼于知识的形成和发展,注重学生的学习体验,给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功 的舞台. 在教学手段上,我一是采取多媒体课件、多媒体投影仪、几何画板相结合,它既便于学生直观,节约 时间,又能利用情境营造课堂氛围,引发学生的兴趣.二是配以我校特色的学案,它能带动学生激活思维, 又能有效提升从“已知”到“未知”的能力迁移,还能记录学生整堂课的思维过程. 新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式,本节课在概念的形成和深化、定理的概括和应用方面, 都给予自主探究、辨析实践、动手画图及交流讨论的机会.教师主要起引导作用,充分信任学生、依靠学 生. 只有充分激活了学生的思维, 这节课的各环节才能顺利推进, 内容才会丰富充实, 方法才会异彩纷呈. 所 以这节课总的设计理念是以学生为主体. 新课标注重提高学生的数学思维能力,本节课让学生直观感知概念,观察发现规律,归纳概括定理, 对思维能力有一定的要求,也提供了充足的媒介. 概念与定理的建立是一个感知、探究的过程,不仅关注知识的掌握,也关注学生的学习过程,把体验、 尝试、发现的机会交给学生. 教法与学法归纳为:
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紧扣教材、重组教材;信任学生、依靠学生; 学生主体、教师主导;注重思维、注重过程.

六【板书设计】

y O

方程的根与函数的零点 1、零点概念: 练习: ………………………… ………………………… 2 、方程的根与函数零点的关 ………………………… 系 y y ………………………… 3 、函数零点存在性定理的条 例 2: O x x O x 件 ………………………… ………………………… 例 1 反例: …………………………

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