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【创新设计-课堂讲义】2019学年高中数学(新人教A版必修1)配套课件:第一章 集合与函数概念 1.3.2_图文

第一章 §1.3 函数的基本性质 学习 目标 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.掌握判断函数奇偶性的方法,了解奇偶性与函数图象对称性之间 的关系. 3.会利用函数的奇偶性解决简单问题. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 函数奇偶性的定义 , 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x) 有 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数. 那么函数f(x)就叫做偶函数;如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 如果函数f(x)是奇函数或偶函数,我们就说函数f(x)具有 奇偶性 . 答案 思考 答 为什么奇、偶函数的定义域一定要关于原点对称? 由函数奇偶性的定义知,若x是定义域中的一个数值,则-x也必然 在定义域中,因此函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件 是定义域在x轴上所表示的区间关于原点对称 .换言之,所给函数的定义 域若不关于原点对称,则这个函数必不具有奇偶性,例如函数y=x2在区 间(-∞,+∞)上是偶函数,但在区间[-1,2]上却无奇偶性可言了. 答案 知识点二 奇函数、偶函数的图象特征 (1)若一个函数是奇函数,则它的图象是以坐标原点为对称中心的对称图 形;反之,若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形, 则这个函数是奇函数. (2)若一个函数是偶函数,则它的图象是以 y轴为对称轴的轴对称图形; 反之,若一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数. 知识点三 奇偶性应用中常用结论 (1)若函数f(x)是奇函数,且0在定义域内,则必有f(0)=0. (2)奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同,偶函数在关于原点 对称的两个区间上单调性相反. (3)一次函数f(x)=kx+b(k≠0)为奇函数?b=0;二次函数f(x)=ax2+bx+ c(a≠0)为偶函数?b=0;常数函数f(x)=c(c为常数)为偶函数. 思考 存在既是奇函数又是偶函数的函数吗? 答 存在,如f(x)=0既是奇函数又是偶函数,且这样的函数有无穷多个, 实际上,函数f(x)=0,x∈D,只要定义域D关于原点对称,则f(x)既是奇 函数又是偶函数. 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=2-|x|; 解 ∵函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x), ∴f(x)为偶函数. 解析答案 (2)f(x)= x -1+ 1-x ; 2 2 解 ∵函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0, 又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. x (3)f(x)= ; x-1 解 ∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. 解析答案 ? ?x+1,x>0, (4)f(x)=? ? ?-x+1,x<0. 解 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当x>0时,-x<0, f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x); 当x<0时,-x>0, f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x). 综上可知,对于 x∈(-∞,0)∪(0,+∞) ,都有 f(-x)=f(x),f(x) 为偶函 数. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 A.y=|x| 1 C.y=x3 (1)下列函数为奇函数的是( C ) B.y=3-x D.y=-x2+14 解析 A、D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C 项中函数为奇函数. 解析答案 (2)若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是( A ) A.奇函数 C.非奇非偶函数 解析 B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 ∵f(x)=ax2+bx+c是偶函数, ∴f(-x)=f(x),得b=0.∴g(x)=ax3+cx. ∴g(-x)=a(-x) 3+c(-x)=-g(x), ∴g(x)为奇函数. 解析答案 题型二 解 利用函数的奇偶性求值 f(d)=ad5+bd3+cd-8,① 例2 已知f(x)=ax5+bx3+cx-8,且f(d)=10,求f(-d). 方法一 f(-d)=a· (-d)5+b(-d)3+c· (-d)-8=-ad5-bd3-cd-8,② ①+②得f(d)+f(-d)=-16, ∵f(d)=10,∴f(-d)=-16-10=-26. 方法二 设g(x)=ax5+bx3+cx,则g(x)为奇函数, 由题意可得f(d)=g(d)-8=10,∴g(d)=18. 又f(-d)=g(-d)-8,且g(x)为奇函数, ∴g(-d)=-g(d),∴f(-d)=-g(d)-8=-18-8=-26. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 解析 函数f(x)=x5+ax3+bx+2,且f(-3)=1,则f(3)=____. 3 令g(x)=x5+ax3+bx,易知g(x)为奇函数,从而g(3)=-g(-3). 又因为f(x)=g(x)+2,f(-3)=1, 所以g(-3)=-1,所以g(3)=1,所以f(3)=g(3)+2=1+2=3. 解析答案 题型三 利用奇偶性求函数解析式 例3 已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数,且当 x >0 时, f(x) =2x- 1,求函数 f(x) 的 解析式. 解 当x<0,-x>0, ∴f(-x)=2(-x)-1=-2x-1. 又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=2x+1.又f(x)(x∈R)是奇函数, ∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0. ?2x-1,x>0