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宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考数学试卷(文科)

宁夏银川一中 2015 届高三上学期第三次月考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)集合 M={x|2 ≤4},N={x|x(1﹣x)>0},则 CMN=() A.(﹣∞,0)∪[1,+∞] B.(﹣∞,0)∪[1,2] C. (﹣∞, 0]∪[1,2] D. (﹣∞,0]∪[1,+∞] 2. (5 分)已知复数 z=1+i+i +i +…+i A.0 B . ﹣1
2 3 2015 x

,则化简得 z=() C. 1

D.1+i

3. (5 分)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a2+a8=6,则 S9=() A. B.27 C.54 D.108

4. (5 分)关于 x 的不等式 x ﹣4ax+3a <0(a>0)的解集为(x1,x2) ,则 最小值是() A. B. C. D.

2

2



5. (5 分)在△ ABC 中,C=90°,且 CA=CB=3,点 M 满足 A.2 B. 3 C. 4 D.6

等于()

6. (5 分)下列说法正确的是() x x A.命题“?x∈R,e >0”的否定是“?x∈R,e >0” B. 命题“已知 x,y∈R,若 x+y≠3,则 x≠2 或 y≠1”是真命题 C. “x +2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立”?“(x +2x)min≥(ax)min 在 x∈[1,2]上恒成立” 2 D.命题“若 a=﹣1,则函数 f(x)=ax +2x﹣1 只有一个零点”的逆命题为真命题
2 2

7. (5 分)已知数列{an},{bn}满足 a1=b1=1, 的前 10 项的和为() A. B. C. D.

,则数列

8. (5 分)关于函数 f(x)=2(sinx﹣cosx)cosx 的四个结论: P1:最大值为 ; P2:最小正周期为 π;

P3:单调递增区间为[kπ﹣

,kπ+ π],k∈Z;

P4:函数 y=f(x)的一条对称轴是 x= 其中正确的有() A.1 个

B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

9. (5 分)下列三个不等式中,恒成立的个数有() ①x+ ≥2(x≠0) ;② < (a>b>c>0) ;③ A.3 B. 2 C. 1 > (a,b,m>0,a<b) . D.0

10. (5 分)已知 x>1,y>1,且 lnx, ,lny 成等比数列,则 xy 的最小值是() A.1 B.
2 2

C. e

D.2

11. (5 分)能够把圆 O:x +y =16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和 谐函数”,下列函数不是圆 O 的“和谐函数”的是() A.f(x)=4x +x
3

B.

C.

D.f(x)=e +e

x

﹣x

12. (5 分)函数

的图象上关于原点对称的点有()对.

A.0

B. 2

C. 3

D.无数个

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为.

14. (5 分)数列{an}中,a1=1,an+1=

, (n∈N+) ,则 a5=.

15. (5 分)已知函数 f(x)=f′(

)cosx+sinx,f′(x)是 f(x)的导函数,则 f(

)=.

16. (5 分)在△ ABC 中,BC=

,AC=2,△ ABC 的面积为 4,则 AB 的长为.

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (12 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3 =9a2a6, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和.
2

18. (12 分)已知函数

(ω>0,

.其图象的最高点与相邻对称中心的距离为 (Ⅰ)求函数 f(x)的达式; (Ⅱ) 在△ ABC 中. a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边, 满足 2a=4asinC﹣csinA,求 c 的值. ,

,且过点



, 角 C 为锐角. 且

19. (12 分)已知数列{an}的首项 a1= ,an+1= (Ⅰ)证明:数列{ (Ⅱ)求数列{ ﹣1}是等比数列;

,n=1,2,….

}的前 n 项和.

20. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣ax ﹣x+2. (a∈R) . (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值; (2)若对 x>0,有 f′(x)≥x﹣ 成立,求实数 a 的取值范围.

3

2

21. (12 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 a,b 的值;

在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+y=2.

(Ⅱ)对函数 f(x)定义域内的任一个实数 x,f(x)< 恒成立,求实数 m 的取值范围.

一、选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,△ ABC 是直角三角形,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E, 点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M. (1)求证:O、B、D、E 四点共圆; 2 (2)求证:2DE =DM?AC+DM?AB.

一、选修 4-4;坐标系与参数方程. 23.选修 4﹣4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 (φ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极

轴建立坐标系,曲线 C2 的坐标系方程是 ρ=2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C, D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取值范围.
2 2 2 2

) .

一、选修 4-5:不等式选讲 24.已知 f(x)=|2x﹣1|+ax﹣5(a 是常数,a∈R) ①当 a=1 时求不等式 f(x)≥0 的解集. ②如果函数 y=f(x)恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围.

宁夏银川一中 2015 届高三上学期第三次月考数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)集合 M={x|2 ≤4},N={x|x(1﹣x)>0},则 CMN=() A.(﹣∞,0)∪[1,+∞] B.(﹣∞,0)∪[1,2] C. (﹣∞, 0]∪[1,2] D. (﹣∞,0]∪[1,+∞] 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 与 N 中不等式的解集确定出 M 与 N,根据全集 M 求出 N 的补集即可. x 2 解答: 解:由 M 中不等式变形得:2 ≤4=2 ,即 x≤2, ∴M=(﹣∞,2],
x

由 B 中不等式变形得:x(x﹣1)<0, 解得:0<x<1,即 N=(0,1) , 则?MN=(﹣∞,0]∪[1,2]. 故选:C. 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知复数 z=1+i+i +i +…+i A.0 B . ﹣1
2 3 2015

,则化简得 z=() C. 1

D.1+i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的周期性、等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解:∵i =1, ∴复数 z=1+i+i +i +…+i
2 3 2015 4

=

=

=0.

故选:A. 点评: 本题考查了复数的周期性、等比数列的前 n 项和公式,属于基础题. 3. (5 分)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a2+a8=6,则 S9=() A. B.27 C.54 D.108

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据所给的项 a2,a8 的下标特点,和所求和的下标特点,可以根据等差数列性质, 利用 a2+a8=2a5,求出 a5,而 S9=9a5,问题获解. 解答: 解:根据等差数列性质,可得 a2+a8=2a5=6,∴a5=3, 根据等差数列和的性质可得,S9=9a5=27. 故选:B. 点评: 本题考查等差数列通项公式,求和计算.合理利用性质求解,应是本题的立意所在. 4. (5 分)关于 x 的不等式 x ﹣4ax+3a <0(a>0)的解集为(x1,x2) ,则 最小值是() A. B. C. D.
2 2



考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 分析: 由不等式 x ﹣4ax+3a <0 (a>0) 的解集为 (x1, x2) , 利用根与系数的关系可得 x1+x2, x1x2,再利用基本不等式即可得出. 2 2 解答: 解:∵关于 x 的不等式 x ﹣4ax+3a <0(a>0)的解集为(x1,x2) , 2 2 2 ∴△=16a ﹣12a =4a >0,又 a>0,可得 a>0.

∴x1+x2=4a, ∴ =4a+



=

=

,当且仅当 a=

时取等号.



的最小值是



故选:C. 点评: 本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数 的关系、基本不等式的性质,属于基础题. 5. (5 分)在△ ABC 中,C=90°,且 CA=CB=3,点 M 满足 A.2 B. 3 C. 4 D.6

等于()

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 由 ? =( ? )? 的值. ,△ ABC 是等腰直角三角形, + =0+ | |?| |cos45°= ×3 ×3× =3, ,再利用向量 和 的夹角等于 45°,两个向量的数

量积的定义,求出

解答: 解:由题意得 AB=3 ? =( )? =

故选 B. 点评: 本题考查两个向量的数量积的定义,注意向量 用. 6. (5 分)下列说法正确的是() x x A.命题“?x∈R,e >0”的否定是“?x∈R,e >0” B. 命题“已知 x,y∈R,若 x+y≠3,则 x≠2 或 y≠1”是真命题 2 2 C. “x +2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立”?“(x +2x)min≥(ax)min 在 x∈[1,2]上恒成立” 2 D.命题“若 a=﹣1,则函数 f(x)=ax +2x﹣1 只有一个零点”的逆命题为真命题 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. x 分析: A,写出命题“?x∈R,e >0”的否定,判断即可; B,写出原命题的逆否命题,利用原命题与其逆否命题的等价性判断即可; 2 2 C,利用函数恒成立问题,可知“x +2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立”?“(x +2x)min≥(ax)max 在 x∈[1,2]上恒成立”,从而可判断 C; 2 D,写出命题“若 a=﹣1,则函数 f(x)=ax +2x﹣1 只有一个零点”的逆命题,再判断即可. x x 解答: 解:A,命题“?x∈R,e >0”的否定是“?x∈R,e ≤0”,故 A 错误; 和 的夹角等于 45°这一条件的运

B,命题“已知 x,y∈R,若 x+y≠3,则 x≠2 或 y≠1”的逆否命题为“若 x=2 且 y=1,则 x+y=3”为 真命题,由二者的等价性知,原命题是真命题,即 B 正确; C,“x +2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立”?“(x +2x)min≥(ax)max 在 x∈[1,2]上恒成立”,故 C 错误; 2 2 D,命题“若 a=﹣1,则函数 f(x)=ax +2x﹣1 只有一个零点”的逆命题为“若函数 f(x)=ax +2x ﹣1 只有一个零点,则 a=0 或 a=﹣1”,故 D 错误. 故选:B. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查全称命题与特称命题的关系、四种命题 之间的关系及真假判断,考查函数恒成立问题,属于中档题.
2 2

7. (5 分)已知数列{an},{bn}满足 a1=b1=1, 的前 10 项的和为() A. B. C. D.

,则数列

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{an}与{bn}的通项公式,进 而表达出 的通项公式并且可以证明此数列为等比数列,再利用等比数列前 n 项和的公

式计算出答案即可. 解答: 解:由题意可得 ,

所以数列{an}是等差数列,且公差是 2,{bn}是等比数列,且公比是 2. 又因为 a1=1,所以 an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1. 所以 设 cn= =b1?2 ,所以 cn=2
2n﹣2

=2

2n﹣2



2n﹣2



所以

,所以数列{cn}是等比数列,且公比为 4,首项为 1.

由等比数列的前 n 项和的公式得:其前 10 项的和为



故选 D. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义,以及它们的通项公式 与前 n 项和的表示式. 8. (5 分)关于函数 f(x)=2(sinx﹣cosx)cosx 的四个结论: P1:最大值为 ; P2:最小正周期为 π;

P3:单调递增区间为[kπ﹣

,kπ+ π],k∈Z;

P4:函数 y=f(x)的一条对称轴是 x= 其中正确的有() A.1 个

B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 原式可化简为 f(x)= sin(2x﹣ )﹣1,由三角函数的图象与性质即可逐一判

断. 解答: 解:f(x)=2(sinx﹣cosx)cosx =sin2x﹣(1+cos2x) = sin(2x﹣ )﹣1

关于函数 f(x)=2(sinx﹣cosx)cosx 的四个结论: P1:最大值为 ﹣1,故命题不正确; = =π,故命题正确; ∈[2kπ﹣ , 2kπ+ ]?x∈[kπ﹣ , kπ+ π], k∈Z, P2:最小正周期为

P3 : 由正弦函数的图象和性质可知, 2x﹣ 故命题正确;

P4:由正弦函数的图象和性质可知函数 y=f(x)的对称轴是 2x﹣ 时,x= ,故命题正确;

=

+kπ,k∈Z,当 k=1

故选:C. 点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的图象与性质,属于中档题. 9. (5 分)下列三个不等式中,恒成立的个数有() ①x+ ≥2(x≠0) ;② < (a>b>c>0) ;③ A.3 B. 2 C. 1 > (a,b,m>0,a<b) . D.0

考点: 基本不等式. 专题: 应用题. 分析: ①当 x<0 时,x+ ≥2 不成立 ②由 a>b>0 可知, ③由 = ,由 c>0 结合不等式的 性质可得 ,结合已知即可判断

解答: 解:①当 x<0 时,x+ ≥2 不成立 ②由 a>b>0 可知, ,由 c>0 结合不等式的 性质可得, < 恒成立 = >0 可知 > 恒成立

③由 a,b,m>0,a<b 可知,

正确的命题有②③ 故选 B 点评: 本题主要考查了基本不等式的成立条件的判断及不等式的性质等知识的简单应用, 属于基础试题

10. (5 分)已知 x>1,y>1,且 lnx, ,lny 成等比数列,则 xy 的最小值是() A.1 B. C. e D.2

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 依题意, lnx?lny= 即可求出 xy 的最小值. 解答: 解:依题意, lnx?lny= ∴lnx?lny= ∴lnxy=lnx+lny≥2 ∴xy≥e =1 ,可得 lnx?lny= ,再利用对数的运算法则结合基本不等式,

∴xy 的最小值是 e, 故选:C. 点评: 本题考查等比数列的性质,考查基本不等式的运用,比较基础. 11. (5 分)能够把圆 O:x +y =16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和 谐函数”,下列函数不是圆 O 的“和谐函数”的是() A.f(x)=4x +x
3 2 2

B.

C.

D.f(x)=e +e

x

﹣x

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 由“和谐函数”的定义及选项知, 该函数若为“和谐函数”, 其函数须为过原点的奇函数, 由此逐项判断即可得到答案. 解答: 解:由“和谐函数”的定义知,若函数为“和谐函数”,则该函数为过原点的奇函数. 3 A 中,f(0)=0,且 f(x)为奇函数,故 f(x)=4x +x 为“和谐函数”;

B 中,f(0)=ln 以 f(x)为奇函数, 所以 f(x)=ln

=ln1=0,且 f(﹣x)=ln

=ln

=﹣ln

=﹣f(x) ,所

为“和谐函数”; =﹣tan =﹣f(x) ,所以 f(x)为奇函数,

C 中,f(0)=tan0=0,且 f(﹣x)=tan 故 f(x)=tan 为“和谐函数”;

D 中,f(0)=e +e =2,所以 f(x)=e +e 的图象不过原点,故 f(x) )=e +e 不为“和谐 函数”; 故选 D. 点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性,考查学生对新问题的分析理解能力及解决能力, 属中档题.

0

﹣0

x

﹣x

x

﹣x

12. (5 分)函数

的图象上关于原点对称的点有()对.

A.0

B. 2

C. 3

D.无数个

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 作出函数 y=f(x)的图象,并且作出 y=f(x)图象位于 y 轴左侧部分(y=2x +4x+1) 关于原点对称的曲线 C,观察函数 y=f(x)图象位于 y 轴右侧(y= 数,可以得出满足条件的对称点的对数. )与曲线 C 的交点的个

解答: 解:∵函数



∴作出函数 y=f(x)图象如右图所示, 2 再作出 y=2x +4x+1 位于 y 轴右侧的图象,使得恰好与函数图象位于 y 轴左侧部分关于原点对 称,记为曲线 C(粗线) ,发现 y= 与曲线 C 有且仅有两个交点,

∴满足条件的对称点有两对,图中的 A、B 就是符合题意的点,

∴函数

的图象上关于原点对称的点有 2 对.

故选:B.

点评: 本题考查了分段函数的应用,着重考查了分段函数图象的画法,考查了基本初等函 数图象的作法.利用函数奇偶性,作出图象一侧关于原点对称图象,再找交点是解决本题的关 键.属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为 8.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义, 利用数形结合确定 z 的最 大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=2x﹣y 得 y=2x﹣z, 平移直线 y=2x﹣z, 由图象可知当直线 y=2x﹣z 经过点 A 时,直线 y=2x﹣z 的截距最小, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(5,2)

将 A 的坐标代入目标函数 z=2x﹣y, 得 z=2×5﹣2=8.即 z=2x﹣y 的最大值为 8. 故答案为:8

点评: 本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.

14. (5 分)数列{an}中,a1=1,an+1=

, (n∈N+) ,则 a5= .

考点: 数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用数列递推式,代入计算,即可得出结论. 解答: 解:∵数列{an}中,a1=1,an+1= ∴a2= ,a3= ,a4= ,a5= , 故答案为: . 点评: 本题考查数列递推式,考查学生的计算能力,比较基础. ,

15. (5 分)已知函数 f(x)=f′(

)cosx+sinx,f′(x)是 f(x)的导函数,则 f(

)=1.

考点: 导数的运算. 专题: 导数的综合应用. 分析: 函数 f (x) =f( ′ 可得 ) cosx+sinx, 可得 +cosx, 令 x= ,

,即可得出. )cosx+sinx, +cosx, = ﹣1)cosx+sinx, =1. ,解得 .

解答: 解:∵函数 f(x)=f′( ∴ ∴

∴函数 f(x)=( ∴ =

故答案为:1. 点评: 本题考查了导数的运算法则,属于基础题. 16. (5 分)在△ ABC 中,BC= ,AC=2,△ ABC 的面积为 4,则 AB 的长为 4 或 .

考点: 余弦定理;三角形中的几何计算. 专题: 解三角形. 分析: 利用三角形的面积公式,求出 的长. ,可得 cosC=± ,利用余弦定理可求 AB

解答: 解:∵BC= ∴4= ∴ ∴AB = 或 AB =
2 2

,AC=2,△ ABC 的面积为 4, ,

,∴cosC=±

, =16,∴AB=4; =32,∴AB= .

∴AB 的长为 4 或 . 故答案为:4 或 点评: 本题考查三角形的面积公式,考查余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于中 档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 2 17. (12 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3 =9a2a6, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和.

考点: 等比数列的通项公式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设出等比数列的公比 q,由 a3 =9a2a6,利用等比数列的通项公式化简后得到关 于 q 的方程,由已知等比数列的各项都为正数,得到满足题意 q 的值,然后再根据等比数列 的通项公式化简 2a1+3a2=1,把求出的 q 的值代入即可求出等比数列的首项,根据首项和求出 的公比 q 写出数列的通项公式即可; (Ⅱ)把(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式代入设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,利用对数的运算 性质及等差数列的前 n 项和的公式化简后,即可得到 bn 的通项公式,求出倒数即为 公式,然后根据数列的通项公式列举出数列的各项,抵消后即可得到数列{
2 2 2 2 2

的通项

}的前 n 项和.

解答: 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 =9a2a6 得 a3 =9a4 ,所以 q = . 由条件可知各项均为正数,故 q= . 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 故数列{an}的通项式为 an= .

(Ⅱ)bn= 故 =﹣

+

+…+ =﹣2( ﹣

=﹣(1+2+…+n)=﹣ )





+

+…+

=﹣2[(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ .

)]=﹣



所以数列{

}的前 n 项和为﹣

点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值,掌握对数的运算性质及等差 数列的前 n 项和的公式,会进行数列的求和运算,是一道中档题.

18. (12 分)已知函数

(ω>0,

.其图象的最高点与相邻对称中心的距离为 (Ⅰ)求函数 f(x)的达式; (Ⅱ) 在△ ABC 中. a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边, 满足 2a=4asinC﹣csinA,求 c 的值. ,

,且过点



, 角 C 为锐角. 且

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的正弦函数;正弦定理. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式,根据函数的周期求 ω,把所给的 点的坐标代入求出 Φ 的值,从而确定出函数的解析式. (Ⅱ)根据条件 2a=4asinC﹣csinA,由正弦定理求得 sinC 的值,可得 cosC 的值,再由余弦定 理求得 c 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由于 . (2 分)

∵最高点与相邻对称中心的距离为

=

,则

,即 T=π, (3 分)



,∵ω>0,∴ω=2. (4 分) ,∴ ,即 ,

又 f(x)过点 ∴ ∵ . (5 分) ,∴

,∴

. (6 分) . (8

(Ⅱ)2a=4asinC﹣csinA,由正弦定理可得 2sinA=4sinAsinC﹣sinCsinA,解得 分) 又∵ 又 , ,∴ . (9 分) ,∴b=6, (11 分)

由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC=21,∴ . (12 分) 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,两角和差的正弦公式、 正弦定理和余弦定理的应用,两个向量的数量积的定义,属于中档题.

2

2

2

19. (12 分)已知数列{an}的首项 a1= ,an+1= (Ⅰ)证明:数列{ (Ⅱ)求数列{ ﹣1}是等比数列;

,n=1,2,….

}的前 n 项和.

考点: 数列递推式;等比关系的确定;数列的求和. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)化简 列. (2) 根据 (1) 求出数列 的递推公式, 得出 an, 进而构造数列 , 求出数列 构造新的数列 ,进而证明数列 是等比数

的通项公式,进而求出前 n 项和 Sn. 解答: 解: (Ⅰ)由已知: ,



, (2 分) , ,∴ , (4 分) 是以 为首项, 为公比的等比数列. (6 分) , . (8 分) ,①

∴ 又 ∴数列

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 即 设 ,∴



,②

由①﹣②得: 分) ∴ .又 1+2+3+… . (12 分)

, (10

∴数列

的前 n 项和:

. (14 分)

点评: 此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前 n 项和的方法. 20. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣ax ﹣x+2. (a∈R) . (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值; (2)若对 x>0,有 f′(x)≥x﹣ 成立,求实数 a 的取值范围.
3 2

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: (1)当 a=1 时,f(x)=x ﹣x ﹣x+2,f′(x)=(x﹣1) (3x+1) ,分段讨论 f(x) 单调性即可求出函数 f(x)的极值; (2)由已知可得 3x ﹣2ax﹣1≥|x|﹣ 对?x∈R 成立,当 x>0 时,2a+1≤3x+
3 2 2 2 3 2

,故可求得 a≤ .

解答: 解: (1)当 a=1 时,f(x)=x ﹣x ﹣x+2,f′(x)=3x ﹣2x﹣1=(x﹣1) (3x+1) , 令 f′(x)=0,解得 x1=﹣ ,x2=1. 当 f′(x)>0 时,得 x>1 或 x<﹣ ; 当 f′(x)<0 时,得﹣ <x<1. 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x (1,+∞) f′(x) f(x) (﹣∞,﹣ ) ﹣ (﹣ ,1) 1

+ 单调递增

0 极大

﹣ 单调递减

0 极小 ,

+ 单调递增

∴当 x=﹣ 时,函数 f(x)有极大值,f(x)极大值=f(﹣ )=2 当 x=1 时函数 f(x)有极小值,f(x)极小值=f(1)=1

(2)∵f′(x)=3x ﹣2ax﹣1,∴对?x∈R,有 f′(x)≥|x|﹣ 成立, 即有 3x ﹣2ax﹣1≥|x|﹣ 对?x∈R 成立,
2

2

当 x>0 时,有 3x ﹣(2a+1)x+ ≥0, 即 2a+1≤3x+ ∵3x+ ≥2 ,对?x∈(0,+∞)恒成立, =2,当且仅当 x= 时等号成立,

2

∴2a+1≤2 故 a≤ . 点评: 本题主要考察了利用导数研究函数的极值,导数的综合应用,属于中档题.

21. (12 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 a,b 的值;

在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+y=2.

(Ⅱ)对函数 f(x)定义域内的任一个实数 x,f(x)< 恒成立,求实数 m 的取值范围.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)求导函数,利用函数在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+y=2,建立方程组, 即可求 a,b 的值; (II)对函数 f(x)定义域内的任一个实数 x, 成立,求出函数的最值,即可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ,∴ 恒成立,等价于 恒

∵点(1,f(1) )在直线 x+y=2 上,∴f(1)=1, ∵直线 x+y=2 的斜率为﹣1,∴f′(1)=﹣1

∴有

,∴

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 由 及 x>0,可得 ,∴ ,



令 h(x)=1﹣x﹣lnx,∴

,故 h(x)在区间(0,+∞)上

是减函数, 故当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0,当 x>1 时,h(x)<h(1)=0

从而当 0<x<1 时,g′(x)>0,当 x>1 时,g′(x)<0 ∴g(x)在(0,1)是增函数,在(1,+∞)是减函数,故 g(x)max=g(1)=1 要使 成立,只需 m>1

故 m 的取值范围是(1,+∞) . 点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查恒成立问题,考查学生分析 解决问题的能力,属于中档题. 一、选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,△ ABC 是直角三角形,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E, 点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M. (1)求证:O、B、D、E 四点共圆; (2)求证:2DE =DM?AC+DM?AB.
2

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 证明题;直线与圆. 分析: (1)连接 BE、OE,由直径所对的圆周角为直角,得到 BE⊥EC,从而得出 DE=BD= ,由此证出△ ODE≌△ODB,得∠OED=∠OBD=90°,利用圆内接四边形形的判
2

定定理得到 O、B、D、E 四点共圆; (2) 延长 DO 交圆 O 于点 H, 由 (1) 的结论证出 DE 为圆 O 的切线, 从而得出 DE =DM?DH, 再将 DH 分解为 DO+OH,并利用 OH= 和 DO= ,化简即可得到等式 2DE =DM?AC+DM?AB 成立.
2

解答: 解: (1)连接 BE、OE,则 ∵AB 为圆 0 的直径,∴∠AEB=90°,得 BE⊥EC, 又∵D 是 BC 的中点, ∴ED 是 Rt△ BEC 的中线,可得 DE=BD. 又∵OE=OB,OD=OD,∴△ODE≌△ODB. 可得∠OED=∠OBD=90°, 因此,O、B、D、E 四点共圆; (2)延长 DO 交圆 O 于点 H, ∵DE⊥OE,OE 是半径,∴DE 为圆 O 的切线. 2 可得 DE =DM?DH=DM?(DO+OH)=DM?DO+DM?OH. ∵OH= ,OD 为△ ABC 的中位线,得 DO= ,



,化简得 2DE =DM?AC+DM?AB.

2

点评: 本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判 定与性质等知识,属于中档题. 一、选修 4-4;坐标系与参数方程. 23.选修 4﹣4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 (φ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极

轴建立坐标系,曲线 C2 的坐标系方程是 ρ=2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C, D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取值范围. 考点: 椭圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)确定点 A,B,C,D 的极坐标,即可得点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)利用参数方程设出 P 的坐标,借助于三角函数,即可求得|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取值 范围. 解答: 解: (1)点 A,B,C,D 的极坐标为
2 2 2 2 2 2 2 2

) .

点 A,B,C,D 的直角坐标为

(2)设 P(x0,y0) ,则
2 2 2 2 2 2

为参数)
2

t=|PA| +|PB| +|PC| +|PD| =4x +4y +16=32+20sin φ 2 ∵sin φ∈[0,1] ∴t∈[32,52] 点评: 本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查圆的参数方程的运用,属于中档题. 一、选修 4-5:不等式选讲 24.已知 f(x)=|2x﹣1|+ax﹣5(a 是常数,a∈R) ①当 a=1 时求不等式 f(x)≥0 的解集. ②如果函数 y=f(x)恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围.

考点: 函数零点的判定定理;带绝对值的函数. 专题: 计算题.

分析: ①当 a=1 时,f(x)=

,把



的解

集取并集,即得所求. ②由 f(x)=0 得|2x﹣1|=﹣ax+5,作出 y=|2x﹣1|和 y=﹣ax+5 的图象,观察可以知道,当﹣2 <a<2 时,这两个函数的图象有两个不同的交点,由此得到 a 的取值范围.

解答: 解:①当 a=1 时,f(x)=|2x﹣1|+x﹣5=





解得 x≥2; 由

解得 x≤﹣4.

∴f(x)≥0 的解为{x|x≥2 或 x≤﹣4}. ②由 f(x)=0 得|2x﹣1|=﹣ax+5. 作出 y=|2x﹣1|和 y=﹣ax+5 的图象,观察可以知道,当﹣2<a<2 时,这两个函数的图象有两 个不同的交点, 函数 y=f(x)有两个不同的零点. 故 a 的取值范围是(﹣2,2) .

点评: 本题考查函数零点的判定定理,带有绝对值的函数,体现了转化的数学思想,属于 基础题.