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椭圆的基本性质与解题技巧


椭圆的基本性质与解题技巧

定义: ⑴ 第一定义:平面上到两定点的距离之和等于正常数(大于两定点间距离)的点的轨迹叫椭圆。 ⑵ 第二定义: 当动点与一个定点的距离的和它到一条定直线的距离的比是小于 1 的正常数时, 这个点的轨迹就是椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数是椭圆的离 心率。

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的关系: a 2 b2 x2 y2 ⑴ P(x0,y0)在椭圆内 ? 02 ? 02 ? 1 ; a b
点 P(x0,y0)和椭圆 ⑵ P(x0,y0)在椭圆上 ? ⑶ P(x0,y0)在椭圆外 ?
x0 2 y0 2 ? 2 ? 1; a2 b x0 2 y0 2 ? 2 ? 1。 a2 b

一、求椭圆标准方程 求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和轨迹方程法。 基本步骤: ⑴定型(确定它是椭圆) ⑵定位(判断它的中心在原点、焦点在哪条坐标轴上) ⑶定量(建立关于基本量的方程或方程组,解得基本量 a,b 的值。) 【例 1】 已知椭圆的中心在原点,一个焦点为 ( 3,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,求该椭圆的标准方 程。

【例 2】 已知椭圆
3 x2 y2 ,求椭圆的标准方程。 ? ? 1 的离心率 e ? 2 k ?8 9

二、焦半径

1

焦半径:椭圆上的点 P(x0,y0)与左(下)焦点 F1 或右(上)焦点 F2 的距离称作焦半径,分 别记作 r1 ? PF1 , r2 ? PF2 。 ⑴ ⑵

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , r1 ? a ? ex0 , r2 ? a ? ex0 ; a 2 b2 y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) , r1 ? a ? ey0 , r2 ? a ? ey0 。 a 2 b2

【例 3】

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1,F2,点 P 为其动点,当∠F1PF2 为钝角时,则点 P 横坐标 9 4 的取值范围为_____。
已知椭圆 【例 4】 已知 F1 , F2 是椭圆 值。

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的动点,求 PF1 PF2 的最大值和最小 4

三、焦点弦(过焦点的弦): AB 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点弦, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ),弦中点 M ( x0 , y0 ) ,则弦长 a 2 b2 2b2 。 a

l ? 2a ? e( x1 ? x2 ) ? 2 a ? 2 ex 0 ,弦长最短为 lmin ?

四、焦点三角形: 椭圆上的点 P(x0,y0)与两焦点构成的△F1PF2 称作焦点三角形,记∠F1PF2=θ 2b 2 2b 2 ? 1 ,即 ? ? arccos( ? 1) ,当 r1=r2,即 P 为短轴端点时,θ ⑴由余弦定理得, cos ? ? r1r2 r1r2 最大,且 ?max ? arccos ⑵ S?F1PF2

b2 ? c2 a2 1 sin ? ? ? r1r2 sin ? ? ? b2 ? b2 ? tan ? c y0 , 当 y0 ? b , 即 P 为短 轴 端点 时, 2 1 ? cos? 2

S?F1PF2 的最大值为 bc。
【例 5】

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|= ____;∠F1PF2 9 2 的小大为____________。
椭圆

2

【例 6】

x2 ? y 2 ? 1 上的一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=60°,则△ 4 F1PF2 的面积是_______。
已知点 P 是椭圆 五、 “离心率” 突破点:由题目条件找 a 与 c 的关系,从而求出离心率。 【例 7】

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,A 是椭圆长轴的一个端点,B 是椭圆短轴的一个端点,F a 2 b2 为椭圆的一个焦点。若 AB⊥BF,则该椭圆的离心率为( )
已知椭圆 A.
5 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

5 ?1 4

D.

5 ?1 4

【例 8】 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,且 a 2 b2

PF1 ? PF2 ? 0, tan ?PF1F2 ? 2 ,则该椭圆的离心率为_______。
【本讲小结】 1.椭圆的定义及基本性质 2.焦半径、焦点三角形、焦点弦的定义及其应用。 3.离心率的定义及其应用。 【练习】 1.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 方程为_________ 。 2.已知椭圆的方程为 2 x2 ? 3 y 2 ? m(m ? 0) ,则此椭圆的离心率为_________。

1 3 ,且经过点 (?1, ) ,则椭圆 C 的 2 2

3.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上求一点 P,使它与两个焦点 F1,F2 的连线互相垂直。 45 20

4.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点 F1,F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为 M,N,若 a 2 b2
)
? 2 ? D. ? , 1? ? ? 2 ?

MN ≤ ? F1 F2 ,则该椭圆离心率的取值范围是(
? 1? A. ? 0, ? ? 2?

? 2? B. ? ? 0,2 ? ? ?

?1 ? 1? C. ? , ?2 ?

3


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