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湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习 二次函数、二次方程及二次不等式的关系高考要求


湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习: 二次函 数、二次方程及二次不等式的关系高考要求
高考要求 三个 “二次” 即一元二次函数、 一元二次方程、 一元二次不等式是中学数学的重要内容, 具有丰富的内涵和密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具 高考试 题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关 本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及 联系,掌握函数、方程及不等式的思想和方法 重难点归纳 1 二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法 y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n
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(2)当 a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值 M,最小值 m,令 x0= 若-

1 (p+q) 2

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b <p,则 f(p)=m,f(q)=M; 2a b b 若 p≤- <x0,则 f(- )=m,f(q)=M; 2a 2a b b 若 x0≤- <q,则 f(p)=M,f(- )=m; 2a 2a b 若- ≥q,则 f(p)=M,f(q)=m 2a 2 2 二次方程 f(x)=ax +bx+c=0 的实根分布及条件 (1)方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a·f(r)<0;
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? ? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? b ? r, (2)二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r ? ? ? ? 2a ?a ? f ( r ) ? 0 ?

?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? p ? ? b ? q, ? (3)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根 ? ? 2a ?a ? f ( q ) ? 0, ? ?a ? f ( p ) ? 0; ?
(4)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)· f(q)<0,或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验)检验 另一根若在(p,q)内成立
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?a ? f ( p ) ? 0 (5)方程 f(x)=0 两根的一根大于 p,另一根小于 q(p<q) ? ? ?a ? f ( q ) ? 0
3 二 次不等式转化策略 2 (1)二次不等式 f(x)=ax +bx+c≤0 的解集是 (-∞,α ] )∪[β ,+∞ ) ? a<0 且 f(α )=f(β )=0;
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1

b b |<|β + |, 2a 2a b b 当 a<0 时,f(α )<f(β ) ? |α + |>|β + |; 2a 2a (3)当 a>0 时,二次不等式 f(x)>0 在[p,q]恒成立
(2)当 a>0 时,f(α )<f(β ) ? |α +

b ? ? b ? p ? ? 2 a ? q , ? ? b ? p; ? p, ? ?? ? 或? ? ? 2a 或 ? 2a ? f ( p ) ? 0, ? f ( ? b ) ? 0, ? f ( q) ? 0; ? ? ? 2a ? (4)f(x)>0 恒成立
?a ? 0, ?a ? b ? 0, ?a ? 0, ?a ? b ? 0 ?? 或? f ( x ) ? 0恒成立 ? ? 或? ?? ? 0, ?c ? 0; ?? ? 0, ?c ? 0.
典型题例示范讲解 2 例 1 已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 和一次函数 g(x)=- bx ,其中 a 、 b 、 c 满足 a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R) (1)求证 两函数的图象交于不同的两点 A、B; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围 命题意图 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力 知识依托 解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合 错解分析 由于此题表面上重在“形” ,因而本题难点就是一些考生可能走入误区,老 是想在“形”上找解问题的突破口,而忽略了“数” 技巧与方法 利用方程思想巧妙转化
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? y ? ax 2 ? bx ? c 2 (1)证明 由 ? 消去 y 得 ax +2bx+c=0 ? y ? ?bx
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c 3 2 2 2 2 2 Δ =4b -4ac=4(-a-c) -4ac=4(a +ac+c )=4[(a+ ) 2 ? c ] 2 4 ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0


3 2 c >0,∴Δ >0,即两函数的图象交于不同的两点 4
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(2)解 设方程 ax +bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2=-
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2

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2b c ,x1x2= a a

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|A1B1| =(x1-x2) =(x1+x2) -4x1x2

2

2

2

? (?

2b 2 4c 4b 2 ? 4ac 4(?a ? c) 2 ? 4ac ) ? ? ? a a a2 a2

c c c 1 3 ? 4[( )2 ? ? 1] ? 4[( ? ) 2 ? ] a a a 2 4
c 1 ∈(-2,- ) 2 a c c 2 c c 1 c 1 ∵ f ( ) ? 4[( ) ? ? 1] 的对称轴方程是 ? ? ∈(-2,- )时,为减函数 a a a 2 a 2 a
∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 ∴a>-a-c>c,解得
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∴|A1B1| ∈(3,12),故|A1B1|∈( 3 ,2 3 )

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例 2 已知关于 x 的二次方程 x +2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围 (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围 命题意图 本题重点考查方程的根的分布问题 知识依托 解答本题的闪光点是熟知方程的根对 于二次函数性质所具有的意义 错解分析 用二次函数的性质对方程的根进行限制时,条件不严谨是解答本题的难点 技巧与方法 设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用函数性质加以限
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解 (1)条件说明抛物线 f(x)=x +2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2) 内,画出示意图,得
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1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ?m ? R , ? ? ?? 1 ? ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? f ( 2 ) ? 6m ? 5 ? 0 ? ? ?m ? ? 5 ? 6 ?

y
∴?

5 1 ?m?? 6 2

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-1

o

1

2

x

(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组

? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? ? ? ? ? 0, ?0 ? ? m ? 1 ?

1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ? m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ? ? 1 ? m ? 0. ?

y

o

1

x

(这里 0<-m <1 是因为对称轴 x=-m 应在区间(0,1)内通过) 2 例 3 已知对于 x 的所有实数值,二次函数 f (x)=x -4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的, 求关于 x 的方程
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x =|a-1|+2 的根的取值范围 a?2
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解 由条件知Δ ≤0,即(-4a) -4(2a+12)≤0,∴-
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3 ≤a≤2 2
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3 1 2 25 2 2 ≤a<1 时,原方程化为 x=-a +a+6,∵-a +a+6=-(a- ) + 2 2 4 3 9 1 25 9 25 ∴a=- 时,xmin= ,a= 时,xmax= ∴ ≤x≤ 2 4 2 4 4 4 3 2 1 2 (2)当 1≤a≤2 时,x=a +3a+2=(a+ ) - 2 4 ∴当 a=1 时,xmin=6,当 a=2 时,xmax=12,∴6≤x≤12 9 综上所述, ≤x≤12 4 学生巩固练习 2 1 若不等式(a-2)x +2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是( A (-∞,2 ] B [ -2,2 ] C (-2,2 ] D (-∞,-2)
(1)当-
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2 设二次函数 f(x)=x -x+a(a>0),若 f(m)<0,则 f(m-1)的值为(
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2

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)

3

A 正数 B 负数 C 非负数 D 正数、负数和零都有可能 2 2 3 已知二次函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1,若在区间[-1,1]内至少存在一个 实数 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是_________ 4 二次函数 f(x)的二次项系数为正,且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2-x),若 f(1- 2 2 2x )<f(1+2x-x ),则 x 的取值范围是_________ t y 5 已知实数 t 满足关系式 log a 3 ? log a 3 (a>0 且 a≠1) a a x (1)令 t=a ,求 y=f(x)的表达式; (2)若 x∈(0,2 ] 时,y 有最小值 8,求 a 和 x 的值
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参考答案 1 解析 当 a-2=0 即 a=2 时,不等式为-4<0,恒成立 ∴a=2,当 a-2≠0 时,则 a 满足
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?a ? 2 ? 0 ,解得-2<a<2,所以 a 的范围是-2<a≤2 ? ?? ? 0
2 解析 ∵f(x)=x -x+a 的对称轴为 x=
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答案 C
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1 ,且 f(1)>0,则 f(0)>0,而 f(m)<0,∴m∈(0,1), 2
2

∴m-1<0,∴f (m-1)>0
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答案 A
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3 解析 只需 f(1)=-2p - 3p+9>0 或 f(-1)=-2p +p+1>0 即-3<p<
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3 1 或- <p<1 2 2

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∴p∈(-3,
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3 3 ) 答案 (-3, ) 2 2 4 解析 由 f(2+x)=f(2-x)知 x=2 为对称轴,由于距对称轴较近的点的纵坐标较小, 2 2 ∴|1-2x -2|<|1+2x-x -2|,∴-2<x<0 答案 -2<x<0 t y x 5 解 (1)由 loga 3 ? log t 3 得 logat-3=logty-3logta 由 t=a 知 x=logat,代入上式 a a
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2 log a y 3 2 ? ,?∴logay=x -3x+3,即 y=a x ?3 x ?3 (x≠0) x x 3 2 3 2 u (2)令 u=x -3x+3=(x- ) + (x≠0),则 y=a 2 4 u ①若 0<a<1,要使 y=a 有最小值 8, 3 2 3 则 u=(x- ) + 在(0,2 ] 上应有最大值,但 u 在(0,2 ] 上不存在最大值 2 4 3 2 3 u ②若 a>1,要使 y=a 有最小值 8,则 u=(x- ) + ,x∈(0,2 ] 应有最小值 2 4

x-3=

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∴当 x=

3 3 时, umin= ,ymin= a 4 2 4

3

3

由 a 4 =8 得 a=16 ∴所求 a=16,x=
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3 2

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