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高中数学数列知识点总结


专题二

数列

一、数列定义: 按照一定次序排列的一列数叫做数列, 数列 中的每一个数都叫做这个数列的项。 数列的每一个数都对应一个序号;反过来, 每一个序号也都对应数列中的一个数,所以 数列的一般形式可以写成 a1, a2 ,?an ,? 简记为{an} 注意: {an } 与 an 是不同的概念, {an } 表示 数列 a1 , a2 ,? ,而 an 表示的是数列的第

n 项;
数列的特性: (1)有序性; (2)可重复性 二、数列的分类: 项数有限的数列为“有穷数列”, 项数无 限的数列为“无穷数列” 从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的 数列叫做递增数列; ( an?1
-1-

? an , n ? N

*

)

如:1,2,3,4,5,6,7; 从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的
* a ? a , n ? N n 数列叫做递减数列; ( n?1 )

如:8,7,6,5,4,3,2,1; 从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有 些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列; 各 项 相 等 的 数 列 叫 做 常 数 列

(an?1 ? an ) ;如:2,2,2,2,2,2,2
三、数列是特殊的函数 * 数列是定义在正整数集 N (或它的有限子集

{1,2,3,?, n} )上的函数 f (n) ,当自变量从 1
开始由小到大依次取正整数时,相对应的一 列函数值为 f (1), f (2),? ; 通常用 an 代 替 f ( n) , 于 是 数 列 的 一 般 形 式 常 记 为

a1 , a 2 ,? 或简记为 {an } .
四、数列的通项公式 数列的第 n 项 an 与项的序数 n 之间的关 系可以用一个公式 an=f(n)来表示, 这个公式
-2-

就叫做这个数列的通项公式.如:

an ? (?1) n?1 ? 1

(注:①数列的通项公

式不唯一 ②可以由通项公式求出数列中的任意一 项) 相关练习:P153 递推公式:如果数列{an}的第 n 项与它前 一项或几项的关系可以用一个式子来表示, 那么这个公式叫做这个数列的递推公式,如

a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1, (n ? 1)
五、数列的前 n 项和 (1)

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an

? S1 (n ? 1) (2)an 和 S n 之间的关系:an ? ? ?Sn ? Sn ?1 (n ? 2)

练: 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-48n, (1)求数列的通项公式; (2)求 Sn 的最大或最小值.
-3-

二、等差数列、等比数列: 等差数列 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的 定义 前一项的差等于同 一个常数,这个数列 就叫等差数列 式子表 an ? an?1 ? d (n ? N * , n ? 2) 示 通项公 a n ? a1 ? (n ? 1)d 式

等比数列 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前 一项的比等于同一个 常数, 这个数列就叫做 等比数列
a n ? a n ?1 q
(n ? N * , n ? 2)

a n ? a1 q n?1 ( a1 , q

? 0)

an ? am ? (n ? m)d

an ? am q n?m

n S ? (a ? a n ) 求和公 n 2 1
n(n ? 1) S n ? na1 ? d ( ) 2 若 a,b,c 三个数成 若 a,G.b 成等比数列, 等差 等差数列,那么 b 叫 那么 G 叫做 a,b 的等 (比) a, c 的等差中项, a, 比中项 ( 中项 b, c 满足 b-a=c-b , 即 G ? ab , a,b,c 成等差数列 ab ? 0 )
2



-4-

的充分必要条件是 b=(a+c)/2. 等差数列 若m? n ? p ? q , 则 am ? an ? a p ? aq ; 在等差数列中,每隔 相同的项抽出来的 项按照原来顺序排 等差 列,构成的新数列仍 (比) 然是等差数列 数列的 性质 (1) 若 数 列 {an } 与 等比数列 若m? n ? p ? q , 则 am an ? a p aq ; 在等比数列中, 每隔相 同的项抽出来的项按 照原来的顺序排列, 构 成的新数列仍然是等 比数列

(1)若数列 {an } 与 {bn } 均 {bn } 均为等差数列, 为等比数列, 则 {man bn } 仍为等比数列 { ma ? kb } 则 n n 仍为 ma { n } 仍为等比数列 等差数列 b
n

(2) 设 等 差 数 列 {an } (2) 设等比数列 {an } 的 的 前 项 的 和 为 前 项 的 和 为

-5-

Sn , m ? N ? , 则

Sn , m ? N ? , 则

S m , S 2 m?m , S 3m?2 m , ? S m , S 2 m?m , S 3m?2 m , ?
仍是等差数列 仍是等比数列 (1)等差数列的判定方法: ①定义法: an?1 ? an ? d 或 an ? an?1 ? d (n ? 2) ( d 为常数) ? {an } 是等差数列 ②中项公式法: 2an?1 ? an ? an?2 ? {an } 是 等差数列 ③通项公式法: an ? pn ? q ( p, q 为常数)
? {an } 是等差数列
2 S ? An ? Bn ( A, B 为 n ④前 项和公式法: n

常数) ? {an } 是等差数列 (2)等比数列的判定方法:

a n ?1 an ?q ①定义法: a n 或 an?1 ? d (n ? 2) ( q 是不
为零的常数) ? {an } 是等比数列 ②中项公式法:
-6-

an?1 ? an ? an?2 (an an?1an?2 ? 0) ? {an }
是等比数列
n a ? cq ③通项公式法: n ( c , q 是不为零常数)

2

? {an } 是等比数列
2 S ? kq ? k( k ? ④前 n 项和公式法: n

a1 q ?1

是常数) ? {an } 是等比数列 练习: 1. 设 S n 为 等 差 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 , 若

S 3 ? 3, S 6 ? 24, 则 a 9 =



15

1 1 lim(1 ? ? 2 ? 2、 n ?? 3 3

?

1 )? n 3

3 2

3 .设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若

S9 a5 5 ? ? ( a3 9 ,则 S5
-7-

).

D

1 A.2

B. 2

C. -1

D. 1

5、 在数列 { a n } 中, a1 ? 3 ,且对任意大于 1 的正整数 n ,点 ( an , an?1 ) 在直线

x? y ? 3 ?0 上,则 an lim ? n ?? ( n ? 1) 2 _____________.

3

6、已知数列 ?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 0 的
? b ? log a n ? N ?, 2 n? 等比数列,设 n

b 且 1

? b3 ? b5 ? 6, b1 ? b3 ? b5 ? 0 .

(1)求数列

?an ? 的通项公式;
S S S

n 1 2 ? ? ??? ? S b ? ? (2)设 n 的前 n 项和为 n , 当1 2 n

最大时,求 n 的值.
详解: (1)据题设 an = a1q n- 1 ,又 bn = log2 an = log2 a1qn- 1 = log2 a1 + (n - 1)log2 q

\ {bn } 为等差数列, b1 = log 2 a1 > 0( a1 > 1)
由 b1 + b3 + b5 = 6 ? 3b3
6 ? b3 2 b3 b5 = 0 ? b5 由 b1 鬃 0 \ b1 = 4

-8-

ì 祆 b1 = 4 镲 log 2 a 1= 4 ? 镲 揶 眄 镲 b3 = 2 铑 log 2 a 1+ 2log 镲 ?

2

a 1 = 16 眄 镲 log q 2= - 1 镲

ì a1 = 16 ? ? ? 1 q= ? 2 ?

骣 1÷ \ an = a1q n- 1 = 16 ?? ÷ ? ? 桫 2÷

n- 1

25- n

(2) bn = log 2 an = log 2 25- n = 5 - n

Sn =

n( b b) 1+ n 2

=

4 + 5 - )n ( n 9 -) n (n 2 = 2



Sn 9 - n = n 2
骣 9- n÷ n? 4+ ÷ ? ? 桫 1 17 2 ÷ = - n2 + n 2 4 4

S S S 记 Tn = 1 + 2 + 鬃 ? n 1 2 n

9- 1 9- 2 9- n + +鬃 ? 2 2 2

17 4 = 8.5 若 Tn 最大,当且仅当 n = 骣 1÷ 2? - ÷ ? ? 桫 4÷

n蜰

*

\ n = 8, 或 9

7、在数列 {an } 中,

a1 ? 3, an ? 2an?1 ? n ? 2(n ? 2, 且n ? N * )
(1)求 a2 , a3 的值; (2)证明:数列 {an ? n} 是等比数列, 并求 {an } 的通项公式;

的前n项和S n 。 (3)求数列 {an }
四. (1)解:? a1 ? 3, an ? 2an?1 ? n ? 2(n ? 2, 且n ? N * )

? a2 ? 2a1 ? 2 ? 2 ? 6.
(2)证明:

a3 ? 2a2 ? 3 ? 2 ? 13.

?

an ? n (2an?1 ? n ? 2) ? n 2an?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 2. an?1 ? (n ? 1) an?1 ? n ? 1 an?1 ? n ? 1

? 数列 {an ? n} 是首项为 a1 ? 1 ? 4 ,公比为 2 的等比数列。 ? an ? n ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,
即 an ? 2 n?1 ? n, ?{an } 的通项公式为 an ? 2 n?1 ? n(n ? N * )

-9-

(3)解:?{an } 的通项公式为 an ? 2 n?1 ? n(n ? N * )

? S n ? (22 ? 23 ? 24 ? ?2n?1 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)
? 2 2 ? (1 ? 2 n ) n ? (n ? 1) n2 ? n ? 8 ? ? 2 n?2 ? . 1? 2 2 2

真题演练: ( 2013 ) 4 、设 S n 是等差数列的前 n 项和,

a5 S5 ? 3(a2 ? a8 ),则 a3 的值为(
1 A. 6 1 B. 3 3 C. 5 5 D. 6



四、成等差数列的三个正数的和等于 15,并 且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数 列 {bn } 中的 b3 , b4 , b5 (1)求数列 {bn } 的通项公式 (2)设数列 {bn } 前 n 项和为 S n ,求证:数
5 { S ? 列 n 4} 是等比数列

- 10 -

(2014)

5、已知方程

( x 2 ? 2x ? m)(x 2 ? 2x ? n) ? 0 的四个根组成
1 一个首项为 4 的等差数列,则 m ? n ?
( )

3 1 3 B. C. D. A.1 4 2 8 8、一个样本容量为 10 的样本数据,它们组成
一个公差不为 0 的等差数列 ?an ? ,若 a1 , a3 , a7 成等比数列,则此样本的中位数是 四、已知等差数列 {an } 的前 n 项和是 S n ,且 满足 a2 ? 3, S6 ? 36 (1) 求数列 {an } 的通项公式 (2) 若数列 {bn } 是等比数列且满足

b1 ? b2 ? 3, b4 ? b5 ? 24. 求数列
{an ? bn } 的 n 前项和 Tn

- 11 -

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