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2013—2014学年第二学期上海市高三八校联考数学(文科)试卷(WORD版含答案)

2013—2014 学年第二学期上海市高三年级八校联考 数学(文科)试卷

一、填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
1. 在复平面上,复数

3

?2 ? i?
4

2

对应的点到原点的距离为



2. 已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x
4

?? ? 0? 的最小正周期是 π ,则 ? ?




3. 向量

在向量

方向上的投影为

4. 直 线 x ? 2 y ? 2 ? 0过 椭 圆 为 .

x2 y 2 ? ? 1 的 左 焦 点 F1 和 一 个 顶 点 B , 则 椭 圆 的 方 程 a 2 b2

5. 已知直线 l 的法向量为 n ? ?2,1? ,则该直线的倾斜角为

. (用反三角函数值表示)

1?
6. 已知正数 a, b 满足 a ? b ? 2 ,则行列式

1 a

1 1 1? b
的最小值为 .

1

?1 ? 7. 阅读右边的程序框图,如果输出的函数值 y 在区间 ? ,1? 内,则输 ?4 ?
入的实数 x 的取值范围是 8. 设 .

?、? 是 一 元 二 次 方 程 x 2 ? 2 x ? m ? 0 的 两 个 虚 根 . 若

tan A 2c , ? tan B b

| ?? |? 4 ,则实数 m ?

9. 在△ ABC 中, A、B、C 所对边分别为 a、b、c .若 1 ? 则 A? .

10. 已知数列 ?a n ? 的首项 a1 ? 2 ,其前 n 项和为 S n .若 S n ?1 ? 2S n ? 1,则 S n ? 11. 某地球仪上北纬 30? 纬线长度为 12? cm,该地球仪的表面积为
2



cm2.

12. 已知直线 y ? k ? x ? 2 ? 与抛物线 C : y ? 8 x 相交于 A 、 B 两点, F 为抛物线 C 的焦点.若

数学(文) -1-

??? ? ??? ? | FA |? 2 | FB | ,则实数 k ?



13. 已 知 “ c, d , e, f ” 是 从 1,3, 4,5,7 中 取 出 4 个 元 素 的 一 个 排 列 . 设 x 是 实 数 , 若 “ ( x ? 2)( x ? 6) ? 0 ”可推出“ ( x ? c)( x ? d ) ? 0 或 ( x ? e)( x ? f ) ? 0 ” ,则满足条件的排 列“ c, d , e, f ”共有_________个. 14. 将 f ( x) ? 2 x ?

a 的图像向右平移 2 个单位后得曲线 C1 , 将函数 y ? g ( x) 的图像向下平移 2 2x f ( x) 个单位后得曲线 C2 , C1 与 C2 关于 x 轴对称.若 F ( x) ? ? g ( x) 的最小值为 m 且 a

m > 2 + 7 ,则实数 a 的取值范围为



二. 选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只 有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分, 否则一律得零分.
15. 已知关于 x 的不等式

x ?1 ? 2 的解集为 P . 若 1 ? P ,则实数 a 的取值范围为 x?a
( B ) ?? 1,0? .





( A ) ?? ? ,0? ? ?1,??? . 16. 函数 f ?x ? ?

( C ) ?? ?,?1? ? ?0,??? . ( D ) ?? 1,0? . ( ( B ) y ? 2 x ? 2( x ? 3) . ( D ) y ? ? 2 x ? 2( x ? 3) . , 则 的最小值是 ( (D)? ) )

1 2 x ? 1?x ? ?2? 的反函数是 2

( A ) y ? 2 x ? 2(1 ? x ? 3) . ( C ) y ? ? 2 x ? 2(1 ? x ? 3) .

17. 已知 A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点.若 ( A)0 . (B )?

1 . 4

(C )?

1 . 2

3 . 4

18. 已知公比为 q 的等比数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn , n ? N * ,则下列结论中: (1) Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列; (2) ( S2 n ? Sn ) ? Sn ( S3n ? S2 n ) ;
2

(3) S3n ? S2 n ? q ( S2 n ? Sn )
n

正确的结论为 ( A) (1) (2) . (B) (1) ( 3) . (C ) (2) (3) .





(D) (1) (2) (3) .

数学(文) -2-

三. 解答题: (本题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规 定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.
19. (本题满分 12 分;第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分) 在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中, ?ABC = 90? , AB = BC = 1, BB1 = 2 ,求: (1)异面直线 B1C1 与 AC 1 所成角的大小; (2)四棱锥 A1 ? B1 BCC1 的体积.

20. (本题满分 14 分;第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分) 已知 f ? x ? ? lg

? 4x

2

? b ? 2 x ,其中常数 b ? 0 .求证:

?

(1)当 b ? 1时, f ? x ? 是奇函数; (2)当 b ? 4 时, y ? f ?x ? 的图像上不存在两点 A 、 B ,使得直线 AB 平行于 x 轴.

21. (本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知点 F1 、 F2 为双曲线 C : x 2 ?

y2 b2

? 1?b ? 0? 的左、右焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线,

在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M , ?MF1 F2 ? 30? . (1)求双曲线 C 的方程; (2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为 P1 、 P2 ,求

PP1 ? PP2 的值.

数学(文) -3-

22. (本题满分 16 分;第(1)小题满分 8 分,第(2)小题满分 8 分 ) 如图,制图工程师用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形.由对称性,图 中8个三角形都是全等的三角形,设 ?AA1 H1 ? ? . (1)试用 ? 表示 ?AA1 H 1 的面积; (2)求八角形所覆盖面积的最大值,并指出 此时 ? 的大小. C B B1 C1 D1 D E E1 A A1 H1 G1 F1 F H G

23. (本题满分 18 分;第(1)小题6分,第(2)小题 6 分,第(3)小题6分) 在等差数列 ?a n ?和等比数列 ?bn ?中, a1 ? b1 ? 2 , a2 ? b2 ? 2 ? b , S n 是 ?bn ?前 n 项和. (1)若 lim S n ? 3 ? b ,求实数 b 的值;
n ??

(2) 是否存在正整数 b , 使得数列 ?bn ?的所有项都在数列 ?a n ?中?若存在, 求出所有的 b , 若不存在,说明理由; (3)是否存在实数 b ,使得数列 {bn } 中至少有三项在数列 {a n } 中,但 {bn } 中的项不都在数 列 {a n } 中?若存在,求出一个可能的 b 的值,若不存在,说明理由.

数学(文) -4-

2014 届高三年级八校联合调研考试试卷 数学(文科)
一、 填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 题号 答案 题号 答案 1 3 5 8
4

2
1

3
? 2 2 10
2

4
x ? y2 ? 1 5

5

6
3

7

? ? arctan2
12

?? 2,0?
14 1 ( , 2) 2

9

11
192?

13
48

? 3

3 ? 2n ? 1

?2 2

二. 选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只 有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分, 否则一律得零分. 题号 答案 15 D 16 B 17 C 18 C

三. 解答题: (本题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规 定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.
19.(本题满分 12 分;第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分) 在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中, ?ABC = 90? , AB = BC = 1, BB1 = 2 ,求: (1)异面直线 B1C1 与 AC 1 所成角的大小; (2)四棱锥 A1 ? B1 BCC1 的体积. 解: (1) 因为 B1C1 // BC , 所以 ?ACB (或其补角) 是异面直线 B1C1 1 与 AC 1 所成角. 因为 ??????1 分

BC ^ AB , BC ^ BB1 , 所 以 BC ? 平 面 ABB1 , 所 以
??????3 分

BC ? A1B .

数学(文) -5-

在 Rt DA1BC 中, tan ?A1CB ?

A1B ? 5 ,所以 ?A1CB ? arctan 5 ??????5 分 BC
??????6 分

所以异面直线 B1C1 与 AC 1 所成角的大小为 arctan 5 .

(2)因为 A1B1 ^ B1C1 , A1B1 ^ BB1 所以 A1 B1 ? 平面 B1 BCC1 则 VA1 ? B1BCC1 ? ?????9 分

1 2 S B1BCC1 ? A1B1 ? 3 3

?????12 分

20.(本题满分 14 分;第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分) 函数 f ? x ? ? lg

? 4x

2

? b ? 2 x ,其中常数 b ? 0 .求证:

?

(1)当 b ? 1时, y ? f ? x ? 是奇函数; (2)当 b ? 4 时, y ? f ?x ? 的图像上不存在两点A,B,使得直线AB平行于 x 轴. 证明: (1)由题意,函数定义域 R , 对定义域任意 x ,有: ?????1 分

4x ?1 ? 2x 所以 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,即 y ? f ? x ? 是奇函数.
2

f ? ? x ? ? lg

?

4 x 2 ? 1 ? 2 x ? lg

?

1

? ? lg

?

4x2 ? 1 ? 2x

? ??4 分
?????6 分 ?????9 分

(2)假设存在不同的 A, B 两点,使得 AB 平行 x 轴,则

lg

?

4 xA2 ? 4 ? 2 xA ? lg

? ?

4 xB 2 ? 4 ? 2 xB

?

x A 2 ? 1 ? xB 2 ? 1 ? x A ? xB

? y ? f ?x ? 的图像上不存在两点,使得所连的直线与 x 轴平行
21.(本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知点 F1 、 F2 为双曲线 C : x 2 ? 在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M . (1)求双曲线 C 的方程;

化简得: x A ? xB ? 2 x A xB ? 0 ,即 x A ? xB ,与 A、B 不同矛盾。
2 2

?????13 分 ?????14 分

y2 b2

? 1?b ? 0? 的左、右焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线,

(2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为 P1 、 P2 ,求

PP1 ? PP2 的值.

数学(文) -6-

2 2 解: (1)设 F2 , M 的坐标分别为 ( 1 ? b , 0), ( 1 ? b , y0 )

因为点 M 在双曲线 C 上,所以 1 ? b 2 ?
0

y0 2 ? 1 ,即 y0 ? ?b 2 ,所以 MF2 ? b 2 2 b
??3 分

2 2 在 Rt ?MF2 F1 中, ?MF1 F2 ? 30 , MF2 ? b ,所以 MF1 ? 2b

由双曲线的定义可知: MF1 ? MF2 ? b ? 2
2

y2 故双曲线 C 的方程为: x ? ?1 2
2

??6 分 ??8 分

(2)由条件可知:两条渐近线分别为 l1 : 2 x ? y ? 0; l2 : 2 x ? y ? 0 设双曲线 C 上的点 Q( x0 , y0 ) ,设两渐近线的夹角为 ? ,则 则点 Q 到两条渐近线的距离分别为 | PP 1 |?

2 x0 ? y0 3

,| PP2 |?

2 x0 ? y0 3

,??11 分

y2 因为 Q( x0 , y0 ) 在双曲线 C : x ? ? 1 上,所以 2 x0 2 ? y0 2 ? 2 , 2 1 又 cos ? ? 3 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0 2 x0 2 ? y0 2 1 2 ? ? cos ? ? ? ? 所以 3 3 9 3 3
2

??14 分

22.(本题满分 16 分;第(1)小题满分 8 分,第(2)小题满分 8 分 ) 如图, 一制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形. 由对称性, 图中8个三角形都是全等的三角形,设 ?AA1 H1 ? ? . (1)试用 ? 表示 ?AA1 H 1 的面积; (2)求八角形所覆盖面积的最大值,并指出此时 ? 的大 小. 解:(1)设 AH 1 为 x ,∴ C B B1 C1 D1 E1 E D ???? A A1 H1 G1 F1 F H G

x?
2分

x x ? ? 4, sin ? tan ? 4sin ? , sin ? ? cos ? ? 1

x?

????4分

数学(文) -7-

S? AA1H1 ?

1 x2 8sin ? cos ? ? ? ? ), 2 , ? ? (0, 2 tan ? ? sin ? ? cos ? ? 1? 2

????8分

(2)令 t ? sin ? ? cos ? ? (1, 2] , 只需考虑 S? AA1H1 取到最大值的情况,即为 S ? 当 t ? 2 , 即 ? ? 45? 时, SDAA H 达到最大
1 1

????10分

4 ? t 2 ? 1?

? t ? 1?

2

? 4?

8 , t ?1

???13分

???15分

此时八角形所覆盖面积的最大值为 64 - 32

2 .

???16分

23.(本题满分 18 分;第(1)小题6分,第(2)小题 6 分,第(3)小题6分) 在等差数列 ?a n ?和等比数列 ?bn ?中, a1 ? b1 ? 2 , a2 ? b2 ? 2 ? b , S n 是 ?bn ?前 n 项和. (1)若 lim S n ? 3 ? b ,求实数 b 的值;
n ??

(2) 是否存在正整数 b , 使得数列 ?bn ?的所有项都在数列 若不存在,说明理由;

?a n ?中?若存在,求出所有的 b ,

(3)是否存在实数 b ,使得数列 {bn } 中至少有三项在数列 {a n } 中,但 {bn } 中的项不都在数 列 {a n } 中?若存在,求出一个可能的 b 的值,若不存在,请说明理由. 解(1)对等比数列 {bn } ,公比 q ? 因为 0 ?| q |? 1 ,所以 ?4 ? b ? 0 .

2?b b ? 1? . 2 2
????2分 ????4分

? 3?b, b 1 ? (1 ? ) 2 得 b ? 4 或 ?1 . 因为 ?4 ? b ? 0 ,所以 b ? ?1 .
解方程 (2)当 b 取偶数 (b ? 2k , k ? N *) 时, ?bn ? 中所有项都是 ? an ? 中的项. 证: bn ? 2(

2

????6分 ????8 分

2 ? b n?1 0 n ?1 1 n?2 n?2 1 n ?1 ) ? 2(k ? 1)n?1 ? 2(Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1k ?1k ?1 k ? Cn ?1 ) 2

0 n?2 1 n ?3 n?2 ? 2 ? 2k ? ?(Cn ?1k ? Cn ?1k ? ? ? Cn ?1 ? 1) ? 1? ?

说明 ?bn ? 的第 n 项是 ? an ? 中的第 Cn ?1k
0

n?2

1 n ?3 n?2 ? Cn ? ? ? Cn ?1k ?1 ? 1 项.

????10 分

数学(文) -8-

当 b 取奇数 (b ? 2k ? 1, k ? N *) 时,因为 bn 不是整数,所以数列 ?bn ? 的所有项都不在数列

?a n ?中.
综上,所有的符合题意的 b ? 2k k ? N

????12 分

?

*

?.

(3)由题意,因为 b1、b2 在 {a n } 中,所以 ?bn ? 中至少存在一项 bm ? m ? 3? 在 ? an ? 中,另一 项 bt ? t ? m ? 不在 ? an ? 中。 由 bm ? ak 得 2(1 ? ) 取 b ? ?6 得 2 ? ?2 ? ????14 分

b 2

m ?1

? 2 ? (k ? 1)b ,

m ?1

? 8 ? 6k ,
????16 分 ????18 分

当 m ? 6 , k ? 12 上式成立,即 b6 ? a12 . 又 b5 ? 32 ,而 an ? 2 ,即 b5 不在 ? an ? 中.

综上,可取 b ? ?6 ,使得数列 {bn } 中至少有三项在数列 {a n } 中,但 {bn } 中的项不都在数列

{an } 中.
(其他答案参考给分)

数学(文) -9-


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