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江苏省扬州市2015届高三高考数学考前指导原创题交流 三角函数(江都大桥中学)


三角函数解答题
江都区大桥高级中学 1. 设 a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 的对边 (1) 若 AB 边上的中线 CM=AB=2,求 a+b 的最大值; (2) 若 AB 边上的高 h=
2 2 2

鞠志建 C

1 b a c ,求 ? 的取值范围。 2 a b
A M B

解: (1)? b ? AM ? CM ? 2 AM ? CM cos?CMA

? 5 - 4 c o? sCMA

a 2 ? BM 2 ? CM 2 ? 2BM ? CM cos?CMB ? 5 ? 4 cos(? ? ?CMA)
? 5 ? 4 cos ?CMA

? a 2 ? b 2 ? 10

?a ? b ? 2

a2 ? b2 ?2 5 2

故当且仅当 a ? b 时, a ? b max ? 2 5 (3) 由 S ?

b a ? ? ? ? 2( s i C n ?cos C ) ? 2 2 s i nC (? ) a b 4
又 2ab(sinC ? cosC) ? a ? b ? 2ab
2 2

1 1 ch ? ab sin C ,可得 c 2 ? 2absin C ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 2 2

?1 ? s i n C ?c o sC ? 2 ,得

b a ? ? 2,2 2 a b

?

?

考点:正、余弦定理,基本不等式;本题也可以建立直角坐标系求解。 2.设函数 f(x) ? 4cos( ?x -

?
6

) sin ?x ? cos( 2?x ? ? ) (? ? 0)

(1)求函数 y ? f ( x) 的值域; (2)若 f ( x) 在区间 ??

? 3? ? ? , 上为增函数,求 ? 的最大值; ? 2 2? ?

(3)若 ? ? 1 ,将 f ( x) 的图象向左平移 ? 个单位,变为偶函数,求正数 ? 的最小值。 解: (1) f(x) ? 4(

3 1 cos?x ? sin ?x) sin ?x ? cos2?x 2 2

? 2 3 sin ?x cos?x ? 2 sin 2 ?x ? cos2 ?x ? sin 2 ?x

? 3 sin 2?x ? 1
故 f ( x) ? 1 ? 3,1 ? 3

?

?
? k? ? k? ? ? (k ? Z ) ? , ? ? ? 4? ? 4? ? ?

(2)由(1)知 f(x) 的递增区间为 ?

? 3? ? ? ? k? ? k? ? ? 对某个 k ? Z 成立,此时必有 k ? 0 ? ?? , ? ? , ? ? 2 2? ? ? ? ? 4? ? 4? ? ?

? ? 3? ?? ? 2 4? ?? ?? ? ? ? ? 2 4?

解得 0 ? ? ?

1 6

故 ? max ?

1 6

(3)由 ? ? 1 得 f(x) ? 3 sin 2x ? 1 设 g(x) ? f(x ? ? ) ? 3 sin(2x ? 2? ) ? 1

? g ( x) 是偶函数
解得

? 3 sin(?2x ? 2? ) ? 1 ? 3 sin(2x ? 2? ) ? 1
?? ? k? ? ? (k ? Z ) 2 4

s i n2xco ? s?20

? cos 2? ? 0
故 ? min ?

?
4

考点:三角函数的图象和性质,三角恒等变换。 3.如图,在正方形 ABCD 中,边长为 1,P、Q 分别在边 BC、CD 上 (1)若 BP=DQ,求三角形 APQ 外接圆的半径的最小值; (2)若 BP+DQ=PQ,求证: ?PAQ ? 解: (1)设 ?PAB ? ? (0 ? ? ?

A

D

Q

?
4
B P C

?
4

)

BP ? t a n ? ,PQ= 2 ( 1 - tan? )

? ?APQ 的外接圆的半径 r ?

PQ 2 sin( ? 2? ) 2

?

?

2 (1 ? tan? ) ? 2 cos 2?

2 (1 ? tan? ) 1 ? tan2 ? 2 1 ? tan2 ?

?
故当且仅当 tan? ?

2 (1 ? tan2 ? ) 2 2 ? (tan? ? 1 ? ? 2) ? 2 ? 2 2(1 ? tan? ) 2 tan? ? 1

2 ? 1时, rmin ? 2 ? 2

(2)设 BP=m,DQ=n,则 tan ?PAB ? m , tan?QAP ? n

? BP ? DQ ? PQ

? m ? n ? (1 ? m) 2 ? (1 ? n) 2 即 m ? n ? 1 - mn

? tan( ?PAB ? ?QAD ) ?

? ?PAQ ?

?
2

m?n ? ? 1 得 ?PAB ? ?QAD ? 1 ? mn 4

? (?PAB ? ?QAD ) ?

?

4

考点:正弦定理,三角恒等变换,基本不等式,等价转换。


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