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1.2.1任意角的三角函数(第二课时)


1.2

任意角的三角函数

1.2.1

任意角的三角函数
第二课时

知识迁移

1.设α 是一个任意角,它的终边与单位 圆交于点P(x,y),角α 的三角函数 是怎样定义的? y sin ? ? y cos ? ? x tan ? ? ( x ? 0)
x

2.三角函数在各象限的函数值符号分别 如何?

一全正,二正弦,三正切,四余弦.

3.公式 sin(? ? 2k? ) ? sin ?, cos(? ? 2k? ) ? cos ? , tan(? ? 2k? ) ? tan ? ( k ? Z).其数学意义如何?

终边相同的角的同名三角函数值相等.

知识探究(一):

思考1:如图,设角α 为第一象限角,其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 cos ? ? x都是正数,你能分 sin ? ? y, 别用一条线段表示角α 的正弦值和余弦 y 值吗?

| MP |? y ? sin ?

P (x ,y )

| OM |? x ? cos ?

O

M

x

思考2:若角α 为第三象限角,其终边 与单位圆的交点为P(x,y),则 sin ? ? y , cos ? ? x 都是负数,此时 角α 的正弦值和余弦值分别用哪条线 段表示? y

? | MP |? y ? sin ?
? | OM |? x ? cos ?

M

O

x

P (x ,y )

思考3:为了简化上述表示,我们设想 将线段的两个端点规定一个为始点,另 一个为终点,使得线段具有方向性,带 有正负值符号.
定义:规定了方向(即规定了起点和终点) 的线段称为有向线段.

类似的,规定了正方向的直线称为有向直线.

有向线段的数量:若有向线段AB在有向
直线上或与有向直线平行,根据有向线 段AB与有向直线方向相同和相反,分别 把它的长度添上正号或负号,这样所得 的数,叫做有向线段的数量。

· · · · · · · · A C B
AB=4

BA=–4

CB=–2

思考4:由上分析可知,当角α 为第一、三 象限角时,sinα 、cosα 可分别用有向线 段MP、OM表示,即MP= sinα ,OM=cosα , 那么当角α 为第二、四象限角时,你能检 验这个表示正确吗?
y
P (x ,y )

y x
M

M

O

O

P (x ,y )

x

定义:设角α 的终边与单位圆的交点为 P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,称有 向线段MP,OM分别为角α 的正弦线和余 弦线.
y M P

O

x

思考5:当角α的终边在坐标轴上时, 角α的正弦线和余弦线的含义如何?
y

P P O x

思考6:设α 为锐角,你能根据正弦线和 余弦线说明sinα +cosα >1吗?
y
P

MP+OM>OP=1
x

O

M

知识探究(二):

思考1:如图,设角α 为第一象限角,其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 y tan ? ? 是正数,用哪条有向线段表示 x 角α 的正切值最合适?
y P T

y tan ? ? ? AT x

O

M A x

思考2:若角α 为第四象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是负数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
y

y tan ? ? ? AT x

M O

A x

P
T

思考3:若角α 为第二象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是负数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
y P

y tan ? ? ? AT x

M O

A T

x

思考4:若角α 为第三象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是正数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
y T

y tan ? ? ? AT x

M O P

A x

思考5:根据上述分析,你能描述正切线 的几何特征吗?
y P O A x T P O A T x y

过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α 的终边或其反向延长线相交于点T,则 AT=tanα .

思考6:当角α 的终边在坐标轴上时,角 α 的正切线的几何含义如何? y
P
P O x

当角α的终边在x轴上时,角α的正切线 是一个点;当角α的终边在y轴上时,角 α的正切线不存在.

例1.分别作出

2? 3

3? 、 ? 4

2? ? 、 3

的正弦线、

余弦线、正切线。

二、作法总结
(一)正弦线、余弦线、正切线作法总结:
y

第一步:作出角α的终边,与 单位圆交于点P;

? 的终边
T P

第二步:过点P作x轴的垂线, 设垂足为M,得正弦线MP、余 弦线OM; 第三步:过点A(1,0)作单位圆 的切线,它与角α的终边或其 反向延长线的交点设为T,得 角α的正切线AT.

? ‘ 的终边

A(1,0)
-1

O

M

1

x

T/

例2 利用单位圆中的三角函数线, 求满足下列条件的角x的集合:
在0~2π之间满足条件的角x的终边 必须在图中阴影部分内(包括边界), 即Π/3≤x≤2Π/3,故满足条件的角 x的集合为﹛x▏2k k∈z﹜ 在0~2π之间满足条件的角x的终边 应在图中阴影部 分(不包括边界), 即Π/2<x<5Π/6或3Π/2<x<11Π/6,故满 足条件的角x的集合为 ﹛x▏kΠ+Π/2<x<kΠ+5Π/6, k∈z﹜

例3.比较大小:

(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解:由三角函数线得 sin1<sin1.5

cos1>cos1.5

小结说明 1.三角函数线是三角函数的一种几何表示, 即用有向线段表示三角函数值,是今后进一 步研究三角函数图象的有效工具.
2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而 变化,余弦线和正切线的始点都是定点, 分别是原点O和点A(1,0).

3.利用三角函数线处理三角不等式问题, 是一种重要的方法和技巧,也是一种数形 结合的数学思想.

探索题:对于不等式 sin a < a < tan a (其中α 为锐角),你能用数形结合 思想证明吗?
y P
O M A x T

(五)小结
1. 给定任意一个角α,都能在单位圆中作出它
的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置 : 正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在y轴上的射影的有向线段; 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在x轴上的射影的有向线段; 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切 线上,为有向线段 AT

3. 特殊情况: ① 当角的终边在x轴上时,点P与点M重合, 点T与点A重合,这时正弦线与正切线都变成 了一点,数量为零,而余弦线OM=1或-1。 ② 当角的终边在y轴上时,正弦线MP=1或-1 余弦线变成了一点,它表示的数量为零,正切 线不存在。

? 思考. 已知α∈(0, ) ,试证明 sin α < α <tan α . 2

证明:sinα=|ON|=|MP|, α = AP tanα=|AT|. 又 S扇形OAP ? S 所以
OAT

y N O P T x M A

1 1 ? OA ? ? ? ? OA ? AT 2 2

即sinα<α<tanα .


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