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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第2课时)教案 苏教版必修5


第 2 课时

简单的线性规划的应用

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 (1)巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法; (2)会用画网格的方法求解整数线性规划问题; (3)能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能给出解答; (4)培养学生的数学应用意识和解决问题的能力, 培养学生观察、 联想以及作图的能力, 渗透化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力. 2.过程与方法 (1)引导学生学会如何使用网格法; (2)通过讲解实例,让学生感受线性规划中的建模问题,培养学生应用数学的能力. 3.情感、态度与价值观 (1)培养学生学数学、用数学的意识,并进一步提高解决问题的能力; (2)结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生创新. ●重点、难点 重点:将实际问题转化为线性规划问题,并通过最优解的判断予以解决. 难点:如何把实际问题转化为简单的线性规划问题,并准确给出解答. 解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,利用 图解法求得最优解.为突出重点,突破难点,本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合 的数学思想方法将实际问题数学化、数学问题几何化.

(教师用书独具)

1

●教学建议 1.为了激发学生学习的主体意识,应面向全体学生,使学生在获取知识的同时,各方 面的能力得到进一步的培养.根据本节课的内容特点,建议采用启发引导、讲练结合的教学 方法,着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质. 2.学生在建立数学模型时,应主要分清已知条件中,哪些属于约束条件,哪些与目标 函数有关,列出正确的不等式组.可采用分组讨论、各组竞争、自主总结、部分同学示范画 图等方式, 让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律, 并在交流中找到自己的思维漏 洞. ●教学流程

错误!? 错误!? 错误!? 错误!? 错误!? 错误!? 错误!? 错误!错误!

(对应学生用书第 59 页)

2

1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线 课标解读 性规划问题,并能加以解决.(重点) 2.培养应用线性规划的知识,解决实际问题 的能力.(难点)

实际应用问题的最优解 对于有实际背景的线性规划问题, 可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域, 此 时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.

用线性规划解决实际问题的一般步骤 线性规划解决实际问题的一般步骤:

整数线性规划

3

要求变量取整数的线性规划称为整数线性规划.

(对应学生用书第 59 页)

收益最大问题

某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需消耗一级子 棉 2 吨、二级子棉 1 吨,生产乙种棉纱需消耗一级子棉 1 吨,二级子棉 2 吨.每 1 吨甲种棉 纱的利润是 600 元, 每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元, 工厂在生产这两种棉纱的计划中要求 消耗一级子棉不超过 300 吨、二级子棉不超过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少吨,才 能使利润总额最大? 【思路探究】 由已知数据可列表如下: 乙种 甲种棉纱 (1 吨) 棉纱 (1 吨) 2 1 600 1 2 900

产品 消耗量 资源

资源 限额 (吨)

一级子棉(吨) 二级子棉(吨) 利润(元) 从而列出线性约束条件和目标函数.

300 250

【自主解答】 设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨, 那么利润总额 z=600x+900y 元, 2x+y≤300, ? ?x+2y≤250, 线性约束条件为? x≥0, ? ?y≥0. 作出其可行域如图所示.

4

2 z 把 z=600x+900y 变形为平行直线系 l:y=- x+ . 3 900 由图可知当直线 l 经过可行域上的点 M 时,截距
?2x+y=300, ? 解方程组? ? ?x+2y=250,

最大,即 z 取最大值. 900

z

350 200 得交点 M( , ). 3 3

350 200 所以应生产甲种棉纱 吨,乙种棉纱 吨. 3 3

1.利用线性规划求最大值,主要是收益最大、效率最高、利润最大等问题,要将求最 值的变量设为 z,将 z 表示成其它变量的函数,求其最大值. 2.对于线性规划问题,由于题干太长,数据太多,为便于理清数据间的关系,不妨用 列表法.

某公司计划在今年内同时出售某种多功能电子琴和一种智能型洗衣机, 由于这两种产品 的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力 等)确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大,已知对这两种产品有直接限制的因素是 资金和劳动力,通过调查得到关于这两种产品的有关数据如下表: 单位产品所需资金(10 元)
2

月资 金供

资金

电子琴

洗衣机

应量 (10
2

元) 成本 劳动力(工资) 单位利润 30 5 6 20 10 8 300 110

怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大?最大总利润是多少? 【解】 设月供应电子琴 x 架、洗衣机 y 台,

5

30x+20y≤300, ? ? 依题意得:?5x+10y≤110, ? ?x≥0,y≥0,x,y∈N. 目标函数为 z=6x+8y, 不等式组表示的平面区域如图所示.

作直线 l:6x+8y=0,即作直线 l:3x+4y=0. 把直线 l 向右上方平移,当直线 l 经过可行域中的点 M 时,z 取得最大值.
? ?30x+20y=300, 解方程组? ?5x+10y=110, ?

得点 M 的坐标为(4,9), 将 M(4,9)代入 z=6x+8y,得 z=6×4+8×9=96. 所以当月供应量为电子琴 4 架、 洗衣机 9 台时, 才能使总利润最大, 最大总利润为 9600 元. 耗费最小问题

营养学家指出, 成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075 kg 的碳水化 合物,0.06 kg 的蛋白质,0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物 A 含有 0.105 kg 碳水化合物,0.07 kg 蛋白质,0.14 kg 脂肪,且食物 A 的价格为 28 元/kg;而 1 kg 食物 B 含有 0.105 kg 碳水化 合物,0.14 kg 蛋白质,0.07 kg 脂肪,且食物 B 的价格为 21 元/kg.为了满足营养专家指出 的日常饮食要求.同时使花费最低,需要同时食用多少食物 A 和食物 B? 【思路探究】 将已知数据列成下表: 食物/kg 碳水化合物/kg 0.105 0.105 蛋白质/kg 0.07 0.14 脂肪/kg 0.14 0.07

A B

根据表中数据分析题目中隐含的线性关系. 【自主解答】 设 每 天 食 用 x kg 食 物 A , y kg 食 物 B , 总 成 本 为 z 元 , 则

6

? ?0.07x+0.14y≥0.06, x+0.07y≥0.06, ?0.14 x≥0, ? ?y≥0,

0.105x+0.105y≥0.075, ①

目标函数为 z=28x+21y. 二元一次不等式组①等价于

? ?7x+14y≥6, x+7y≥6, ?14 x≥0, ? ?y≥0.
7x+7y≥5,



作出二元一次不等式组②所表示的平面区域(如图所示),即为可行域. 4 z 4 考虑 z=28x+21y, 将它变形为 y=- x+ , 这是斜率为- 且随 z 变化的一族平行直 3 21 3 线, 是直线在 y 轴上的截距,当 取最小值时,z 的值最小.当然直线要与可行域相交, 21 21 即求在满足约束条件时目标函数 z=28x+21y 的最小值. 由图可知当直线 z=28x+21y 经过可行域上的点 M 时,截距 最小,即 z 最小.由 21
?14x+7y=6, ? ? ? ?7x+7y=5,

z

z

z

1 4 得 M( , ).所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最 7 7

1 4 低,需要同时食用 kg 食物 A 和 kg 食物 B. 7 7

1.利用线性规划求最小值,可以用来解决许多实际问题,诸如省钱,省工,省材料等 问题. 2.利用线性规划解决实际问题,建立约束条件往往是关键的一步,设出未知数后,应 特别注意文字语言与符号语言的转换,以免因审题不细或表达不当而出现错误.

7

医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每 10 g 含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质,售价 3 元;乙种原料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质,售价 2 元.若病 人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质.试问:应如何使用甲、乙原料,才能既满足 营养,又使费用最省? 【解】 设甲、乙两种原料分别用 10x g 和 10y g,总费用为 z, 5x+7y≥35, ? ? 那么?10x+4y≥40, ? ?x≥0,y≥0, 目标函数为 z=3x+2y,作出可行域如图.

3 z 3 z 把 z=3x+2y 变形为 y=- x+ ,得到斜率为- ,在 y 轴上的截距为 ,随 z 变化的 2 2 2 2 一族平行直线. 3 z z 由图可知,当直线 y=- x+ 经过可行域上的点 A 时,截距 最小,即 z 最小. 2 2 2
?10x+4y=40, ? 由? ?5x+7y=35, ?

14 得 A( ,3), 5

14 ∴zmin=3× +2×3=14.4. 5 14 ∴甲种原料 ×10=28(g),乙种原料 3×10=30(g),费用最省. 5 简单的整数线性规划问题 要将两种大小不同的钢板截成 A,B,C 三种规格,每张钢板可同时截 得三种规格的小钢板的块数如下表所示: 规格类型 钢板类型

A 规格

B 规格

C 规格

8

第一种钢板 第二种钢板

2 1

1 2

1 3

今需要 A,B,C 三种规格的成品分别为 15,18,27 块,则各截这两种钢板多少张可得所 需的三种规格的成品,且使所用钢板的张数最少? 【思路探究】 设截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张.

【自主解答】 设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,共使用钢板 z 张,

2x+y≥15 ? ?x+2y≥18, 则? x+3y≥27, ? ?x≥0,y≥0,

且 x,y 都是整数,

求使目标函数 z=x+y 取最小值时的 x,y. 作可行域如图所示,平移直线 z=x+y, 18 39 可知直线经过点( , )时 z 取最小值, 5 5 57 18 39 此时 x+y= ,但 与 都不是整数, 5 5 5 18 39 所以可行域内的点( , )不是最优解. 5 5 18 39 57 因为非整点最优解为( , ),z= ,所以 z≥12. 5 5 5 9 令 x+y=12,则 y=12-x,代入约束条件整理得 3≤x≤ , 2 所以 x=3 或 x=4,这时最优整点为(3,9)和(4,8).

9

故有以下两种截法: 第一种截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张; 第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张. 最少要截两种钢板共 12 张.

1.当变量为车辆、产品个数、钢板块数等数量时,应为整数,利用线性规划求最值, 最优解也应为整数. 2.若按常规方法求出的不是整数解,可按以下方法调整: (1)平移直线法:先在可行域中画网格,再描整点,平移直线 l0,最先经过或最后经过 的整点坐标就是最优解. (2)调整优值法:先求非整点最优解,再借助于不定方程知识调整最优值,最后筛选出 整点最优解.

预计用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和单价为 20 元的椅子,希望使桌子、椅子的总 数尽可能多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍,则买桌子、椅子各多少才 行? 【解】 设买桌子 x 张、买椅子 y 把.

?y≥0, ?x≤y, 由题意得? y≤1.5x, ?50x+20y≤2 000, ?x,y∈N,
x≥0,
目标函数为 z=x+y, 满足以上不等式组的可行域如图所示.

10

? ?y=1.5x, 由? ?50x+20y=2000, ?

x=25, ? ? 得? 75 y= , ? 2 ?

75 ∴点 B 的坐标为(25, ). 2 作直线 l:x+y=0,将直线向右上方平移, 当直线 l 经过可行域中的点 B 时,z 取得最大值. ∵x,y∈N,∴y=37.

∴应买桌子 25 张、椅子 37 把.

(对应学生用书第 61 页)

可行域内整点寻找错误 有一批钢管,长度都是 4000 mm,要截成 500 mm 和 600 mm 两种毛坯, 1 且这两种毛坯数量比大于 ,要使钢管截得的毛坯最多,怎样截最合理? 3 【错解】 设每根钢管截 500 mm 的毛坯 x 根,600 mm 的毛坯 y 根, 则 x,y 满足的约束条件为

11

? 1 ?x > , y 3 ?x>0, ? ?y>0,

500x+600y≤4000,

5x+6y≤40, ? ?y<3x, 即? x>0, ? ?y>0,

其中 x,y 均为正整数. 作出可行域,如图所示.

目标函数为 z=x+y.作一族平行线 y=-x+z, 经过可行域内的点且和原点距离最大的 直线为过 A 点的直线,求出 A 点的坐标. 17 ? ?x=123, 得? 5 ?y=523. ?

? ?y=3x, 由? ?5x+6y=40, ?

17 5 所以 A(1 ,5 ) 23 23 由于 x,y 均为正整数,故调整为 x=2,y=5. 所以 x+y=7. 经检验,满足条件,所以每根钢管截 500 mm 的毛坯两根,600 mm 的毛坯五根最合理. 【错因分析】 本题错误的原因是:①没能准确作出一族平行直线 y=-x+z;②可行 域内的整点寻找不准确. 【防范措施】 准确作图,充分考虑实际问题的特殊性.当图上的整点不好分辨时,应 将几个有可能符合题意的整点的坐标都求出来然后逐一检验, 而不能采取“四舍五入”的办 法. 【正解】 设每根钢管截 500 mm 的毛坯 x 根,600 mm 的毛坯 y 根.

12

? 1 ?x > , y 根据题意,得? 3 x>0, ? ?y>0,
且 x,y 均为正整数.

500x+600y≤4000,

作出可行域,如图 3-3-62 所示.

目标函数为 z=x+y,作一族平行直线 y=-x+z,经过可行域内的点且和原点距离最 大的直线必为过点 B(8,0)的直线,这时 x+y=8. 因为 x,y 均为正整数,所以(8,0)不是最优解. 在可行域内找整点,使 x+y=7. 经验证,可知点(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)均为最优解. 答:每根钢管截 500 mm 的毛坯两根,600 mm 的毛坯五根,或截 500 mm 的毛坯三根, 600 mm 的毛坯四根,或截 500 mm 的毛坯四根,600 mm 的毛坯三根,或截 500 mm 的毛坯五 根,600 mm 的毛坯两根,或截 500 mm 的毛坯六根,600 mm 的毛坯一根最合理.

13

1.基础知识: (1)实际应用问题的最优解; (2)整数线性规划; (2)用线性规划解决实际问题的一般步骤. 2.基本技能: (1)收益最大问题; (2)耗费最小问题; (3)简单的整数线性规划问题. 3.思想方法: (1)数形结合思想; (2)转化与化归思想; (3)函数思想.

(对应学生用书第 62 页)

1.有 5 辆载重 6 吨的汽车,4 辆载重 4 吨的汽车,要运送最多的货物,完成这项运输 任务的线性目标函数为________. 【解析】 设 6 吨的有 x 辆,4 吨的有 y 辆,运送货物吨数为 z,则 z=6x+4y. 【答案】 z=6x+4y 2.某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1 kg,b1 kg,生产乙产品每千 克需用原料 A 和原料 B 分别为 a2 kg,b2 kg,甲、乙产品每千克可获得的利润分别为 d1 元,

d2 元,月初一次性购进原料 A,B 各 c1 kg,c2 kg,本月要生产甲产品和乙产品各多少千克
才能使月利润总额达到最大;在这个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为 x kg,y kg, 月利润总额为 z 元,那么,用于求使总利润最大的数学模型中,约束条件为________. 【解析】 对原料 A 的限制:a1x+a2y≤c1,对原料 B 的限制:b1x+b2y≤c2,另外甲、 乙两种产品产量 x≥0,y≥0.

【答案】

a x+a y≤c ? ?b x+b y≤c ?x≥0 ? ?y≥0
1 2 1 2

1 2

3.某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件,已知生产每万件甲种配件
14

要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨,生产每万件乙种配件要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每 件甲种配件可获得利润 5 元,每件乙种配件可获得利润 3 元.已知该企业在一年内消耗 A 原料不超过 13 吨, B 原料不超过 18 吨, 那么该企业在一年内可获得的最大利润是________. 【解析】 设生产甲种配件 x 万件,生产乙种配件 y 万件,利润为 z 万元.

x>0, ? ?y>0, 则根据题意有? 3x+y≤13, ? ?2x+3y≤18,

目标函数为 z=5x+3y.

13 作出可行域如图所示,则可知 A( ,0),B(0,6),C(3,4).由图形可知,目标函数在 3 点 C(3,4)处取得最大值,最大值为 5×3+3×4=27.

【答案】 27 万 4.甲、乙两个居民小区的居委会组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加 献爱心活动,两个小区都有同学参加.已知甲区的每位同学往返车费是 3 元,每人可为 5 位老人服务,乙区的每位同学在返车费是 5 元,每人可为 3 位老人服务,如果要求乙区参与 活动的同学比甲区的同学多,且去敬老院的往返总车费不超过 37 元,怎样安排甲、乙两区 参与活动同学的人数,才能使受到服务的老人最多?受到服务的老人最多是多少? 【解】 设甲、乙两区参与活动的人数分别为 x,y,受到服务的老人的人数为 z,

? ?3x+5y≤37, 则 z=5x+3y,应满足的约束条件是?x≥1, y≥1, ? ?x,y∈N.
y-x≥1,
根据上述不等式组, 作出表示可行域的平面区域中的整点, 如图所示阴影部分中的点所 示. 画直线 l0:5x+3y=0,平行移动 l0 到直线 l 的位置,使 l 过可行域内的点 M,该点到 直线 l0 的距离最大,则这一点的坐标使目标函数取得最大值,

15

?x-y=-1, ? 解方程? ?3x+5y=37, ?

得点 M(4,5).

因此当 x=4,y=5 时,z 取得最大值,并且 zmax=5×4+3×5=35. 答:甲、乙两区参与活动的同学人数分别为 4 人和 5 人时,受到服务的老人最多,受到 服务的老人最多是 35 人.

(对应学生用书第 98 页)

一、填空题 1.车间有男工 25 人,女工 20 人,要组织甲、乙两种工作小组,甲组有 5 名男工,3 名女工,乙组有 4 名男工,5 名女工,并且要求甲种组数不少于乙种,乙种组数不少于 1, 求各自最多组成的工作小组数.要建立的数学模型中,约束条件为________. 【解析】 设组成甲种组 x 组,乙种组 y 组,则对男工人数的限制为 5x+4y≤25,对 5x+4y≤25, ? ? 女工人数的限制为 3x+5y≤20,组数限制 x≥y≥1,故约束条件为?3x+5y≤20, ? ?1≤y≤x. 5x+4y≤25, ? ? 【答案】 ?3x+5y≤20, ? ?1≤y≤x. 2.某同学拿 50 元钱买纪念邮票,票面 8 角的每套 5 张,票面 2 元的每套 4 张,如果每 种至少买两套,共有________种买法.
16

.

【解析】
*

设票面 8 角的买 x 套,票面 2 元的买 y 套.由题意得:

x≥2,x∈N , ? ? * ?y≥2,y∈N , ? ?0.8×5x+2×4y≤50, x≥2, ? ?y≥2, 即? 2x+4y≤25, ? ?x,y∈N .
*

画出如右图平面区域得

y=2 时,x=2,3,4,5,6,7,8; y=3 时,x=2,3,4,5,6; y=4 时,x=2,3,4; y=5 时,x=2.
共有 7+5+3+1=16. 【答案】 16 3.实验室需购某种化工原料 106 千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋 35 千克,价格为 140 元;另一种是每袋 24 千克,价格为 120 元,在满足需要的条件下,最少 要花费________. 【解析】 设 购 买 每 袋 35 千 克 的 x 袋 , 购 买 每 袋 24 千 克 的 y 袋 , 则

35x+24y≥106, ? ? ?x≥0, ? ?y≥0.

求 z=140x+120y 的最小值,作出可行域知,当 x=1,y=3 时费用

最少.此时要花费:z=140×1+120×3=500 元. 【答案】 500 元 4.一批长 400 cm 的条形钢材,需要将其截成 518 mm 与 698 mm 的两种毛坯,则钢材的 最大利用率为________.

17

【解析】 设 518 mm 和 698 mm 的毛坯个数分别为 x,y,最大利用率为 z,则 z= 51.8x+69.8y 。 400
? ?51.8x+69.8y≤400, 又∵? * ?x,y∈N , ?

∴?

? ?x=5, ?y=2 ?

51.8×5+69.8×2 为最优解,此时 z= =99.65%. 400

【答案】 99.65% 5.某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一 箱原料需耗费工时 10 小时,可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元,乙车间加工 一箱原料需耗费工时 6 小时,可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两 车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小 时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为________. 【解析】 设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱,由题意可知

x+y≤70, ? ?10x+6y≤480, ?x≥0, ? ?y≥0.

甲、乙两车间每天总获利为 z=7×40x+4×50y=280x+200y.画

出可行域如图所示.点 M(15,55)为直线 x+y=70 和直线 10x+6y=480 的交点,由图象知 在点 M(15,55)处 z 取得最大值.故填甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱.

【答案】 甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 6.某公司准备进行两种组合投资,稳健型组合投资是由每份金融投资 20 万元,房地产 投资 30 万元组成; 进取型组合投资是由每份金融投资 40 万元, 房地产投资 30 万元组成. 已 知每份稳健型组合投资每年可获得 10 万元, 每份进取型组合投资每年可获利 15 万元. 若可 作投资用的资金中,金融投资不超过 160 万元,房地产投资不超过 180 万元,为使一年获利 总额最多,稳健型、进取型组合投资应分别注入________份、________份. 【解析】 设稳健型、进取型组合投资应分别注入 x、y 份,

18

20x+40y≤160, ? ?30x+30y≤180, 由题意知? x≥0, ? ?y≥0,

一年获利总额 z=10x+15y,

2 z 画可行域如图所示.由目标函数 z=10x+15y 可变为 l:y=- x+ . 3 15

由图显示当 l 过可行域内点 M 时在 y 轴上截距最大,z 也有最大值.
? ?20x+40y=160 由? ?30x+30y=180 ?

得?

? ?x=4 ?y=2 ?

.

【答案】 4

2

7.某校食堂以面食和米食为主,面食每百克含蛋白质 6 个单位,含淀粉 4 个单位,售 价 0.5 元;米食每百克含蛋白质 3 个单位,含淀粉 7 个单位,售价 0.4 元.学校要给学生配 制成盒饭, 每盒至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉, 则每份盒饭中面食为________ 百克,米食为________百克,才既科学又使费用最少. 【解析】 设每份盒饭中面食为 x 百克,米食 y 百克,费用 z 元,则 z=0.5x+0.4y, 6x+3y≥8, ? ? 且?4x+7y≥10, ? ?x,y≥0. 作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分,

?6x+3y=8, ? 解方程组? ?4x+7y=10, ?

13 14 得 A( , ). 15 15

5 5 5 由图可知,当且仅当直线 y=- x+ z 过点 A 时,纵截距 z 最小,即 z 最小.故当每 4 2 2 13 14 份盒饭中面食为 百克,米食为 百克时,既科学费用又少. 15 15

19

【答案】

13 14 15 15

8.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 排放量 b 及每万吨铁矿石的价格

c 如下表: a A B
50% 70%

b(万吨)
1 0.5

c(百万元)
3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9 万吨铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2 万吨,则购买铁矿石的 最少费用为________百万元. 【解析】 设购买了铁矿石 A x 万吨,购买了铁矿石 B y 万吨,购买铁矿石的费用为 z 50%x+70%y≥1.9, ? ?x+0.5y≤2, 百万元,则由题设知,本题即求实数 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, 5x+7y≥19, ? ?2x+y≤4, 即? x≥0, ? ?y≥0



(*)时,z=3x+6y 的最小值.

作出不等式组(*)表示的平面区域,即可行域,如图中阴影部分所示.

1 1 1 1 把 z=3x+6y 变形为 y=- x+ z,得到斜率为- ,在 y 轴上的截距为 z,随 z 变化 2 6 2 6 的一族平行直线. 1 1 由图可知,当直线 y=- x+ z 经过点 A 时,z 取得最小值, 2 6
? ?5x+7y=19, 解方程组? ?2x+y=4 ?

得 A 点坐标为(1,2).

故 zmin=3×1+6×2=15. 【答案】 15 二、解答题 9.某家具厂有方木料 90 m ,木工板 600 m ,准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每 张书桌需要方木料 0.1 m 、木工板 2 m ;生产每个书橱需要方木料 0.2 m ,木工板 1 m ,出
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3 3 3 3 3 3

售一张书桌可以获利 80 元,出售一张书橱可以获利 120 元.问:怎样安排生产可以获利最 大? 【解】 设生产书桌 x 张,书橱 y 张,利润为 z 元,则约束条件为

0.1x+0.2y≤90, ? ? ?2x+y≤600, ? ?x,y∈N*, 利润 z=80x+120y.作出不等式表示的平面区域如图所示,将直线 z=80x+120y 平移 可知: 当生产 100 张书桌, 400 张书橱时, 利润最大为 z=80×100+120×400=56 000(元). 10.(2013·扬州检测)下表给出了 X、Y、Z 三种食物的维生素含量及成本: 维生素 A (单位/kg) (单位/kg) (元/kg) X Y Z 300 500 300 700 100 300 5 4 2 维生素 B 成本

某人欲将这三种食物混合成 100 kg 的食品,要使混合食品中至少含 35000 单位的维生 素 A 及 40000 单位的维生素 B,那么 X、Y、Z 这三种食物各取多少 kg 时,才能使成本最低? 最低成本是多少元? 【解】 设 X、Y 这两种食品各取 x kg、y kg,则 Z 取(100-x-y)kg. 根据题意得到约束条件为: 300x+500y+300?100-x-y?≥35000, ? ?700x+100y+300?100-x-y?≥40000, ?x≥0, ? ?y≥0,
? ?y≥25, 化简得? ?2x-y≥50. ?

设成本为 z,则目标函数为 z=5x+4y+2(100-x-y)=3x+2y+200,

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?y=25, ? 作出可行域图(略),由? ?2x-y=50, ?

解得?

? ?x=37.5, ?y=25. ?

所以,当 x=37.5,y=25 时,zmin=3×37.5+2×25+200=362.5. 答:X、Y、Z 这三种食物各取 37.5 kg,25 kg,37.5 kg 时,成本最低,最低 362.5 元. 11.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价 格之和小于 22 元,试比较 2 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格哪一个更高. 【解】 设 1 枝玫瑰的价格为 x 元,1 枝康乃馨的价格为 y 元, 6x+3y>24, ? ?4x+5y<22, 则? x>0, ? ?y>0. 设 z=2x-3y,作出二元一次不等式组 6x+3y>24, ? ?4x+5y<22, ?x>0, ? ?y>0 所表示的平面区域(如图所示),即可行域.

2 1 2 考虑 z=2x-3y,将它变形为 y= x- z,这是斜率为 ,且随 z 变化的一族平行直线, 3 3 3 1 - z 是直线在 y 轴上的截距,当直线的纵截距最大时,z 的值最小. 3 由图可知,当直线 z=2x-3y 经过边界上的点 A 时,截距最大,即 z 最小.
? ?6x+3y=24, 解方程组? ?4x+5y=22, ?

得点 A 的坐标为(3,2).

所以 zmin=2×3-3×2=0(最小值取不到).所以 2x-3y>0,即 2x>3y.

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故 高

2









3













格 .

(教师用书独具)

某工厂投资生产 A 产品时,每生产一百吨需要资金 200 万元,需场地 200 m ,可获利润 300 万元;投资生产 B 产品时,每生产一百米需要资金 300 万元,需场地 100 m ,可获利润 200 万元.现该工厂可使用资金 1 400 万元,场地 900 m .问:应怎样投资可使获利最大? 【思路探究】 题中关系较多,可先将数据整理成表格,然后根据表格设未知数,列出 约束条件和目标函数,最后作图求解. 【自主解答】 根据题意,整理表格如下: 资金(百万元) A 产品(百万吨) B 产品(百米) 限制 2 3 14 场地(百平方米) 2 1 9 利润(百万元) 3 2
2 2

2

设生产 A 产品 x 百吨,生产 B 产品 y 百米,利润为 z 百万元, 2x+3y≤14, ? ?2x+y≤9, 则约束条件为? x≥0, ? ?y≥0, 作出可行域如图中阴影部分所示,

,目标函数为 z=3x+2y.

3x z 3 z 将 z=3x+2y 变形为 y=- + ,得到斜率为- ,在 y 轴上的截距为 ,随 z 变化的 2 2 2 2

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一族平行直线. 3x z z 由图可知,当直线 y=- + 经过点 A 时, 最大,即 z 最大. 2 2 2
? ?2x+y=9, 解方程组? ?2x+3y=14, ?

得 A 点坐标为(3.25,2.5),

所以 zmax=3×3.25+2×2.5=14.75. 所以生产 A 产品 325 t,生产 B 产品 250 m 时,获利最大,且最大利润为 14.75 百万元, 即 1 475 万元.

对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域, 此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.

某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180 吨物资的任务. 该公司有 8 辆载重 为 6 吨的 A 型卡车与 4 辆载重为 10 吨的 B 型卡车, 有 10 名驾驶员, 每辆卡车每天往返的次 数是:A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次.每辆卡车往返的成本费是:A 型卡车 320 元,B 型卡车 504 元.请你为该公司调配车辆,使公司所花成本费最低. 【解】 设每天从该公司调出 A 型卡车 x 辆、B 型卡车 y 辆,公司每天所花成本费为 z 元,则目标函数 z=320x+504y,其中 x,y 满足约束条件 0≤x≤8, ? ?0≤y≤4, ?x+y≤10, ? ?24x+30y≥180, 0≤x≤8, ? ?0≤y≤4, 即? x+y≤10, ? ?4x+5y≥30.

这个不等式组表示的平面区域如图所示,即为可行域.作直线 l′:320x+504y=0, 作一组与 l′平行的直线 l:320x+504y=z(z∈R).由题设知 x,y 是如图所示的阴影部分 内的整点的横、纵坐标,在可行域内的整点中,点(8,0)使 z 取最小值,即当 l 经过点(8,0) 时,z 最小,即 zmin=8×320=2 560. 答:每天从公司调 A 型卡车 8 辆,就能完成任务,且公司所花成本费最低. 拓展
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怎样少了 30 元呢 古尔邦节快到了,天山南北充满了节日气氛.集镇上,车水马龙,热闹异常.店铺里、 道路旁、地摊上,到处都摆满了货物,琳琅满目,应有尽有.水果商们把贮藏保鲜的苹果、 葡萄、雪梨、石榴、哈蜜瓜一起搬了出来,希望卖个好价钱. 这天晌午,阿凡提忙完了半天的活,也骑着毛驴赶集来了.阿凡提以聪明能干、正直仗 义闻名遐迩,谁人不认识.一路上,他不停地和熟人、朋友打着招呼,忽然,听见有人高喊 他的名字,阿凡提回头一看,原来是水果店老板艾山,此人奸诈贪婪,不仅常用假冒伪劣商 品坑害顾客,还专门放高利贷剥削百姓,是个人人痛恨的坏蛋.阿凡提早就想教训这家伙, 可就是没遇上机会.这时艾山正拿着秤坐在两大筐葡萄跟前发愣.一筐是紫色葡萄,标价是 二元一斤,一筐是青葡萄,标价为一元二斤,只是问的人多,买的人少. “阿凡提大哥,如今做点生意真不容易呀,您看,我在这呆了一上午,还没卖出几斤葡 萄,现在紫葡萄、青葡萄都还剩下 60 斤,不知要卖到何时呢!”艾山其实想央求阿凡提帮 他出个推销葡萄的点子,又不好意思说,阿凡提听出了弦外之音,心想:这家伙正好送上门 来,使个办法让他亏点钱吧,也让大伙出口气. 就来到水果摊前对艾山说:“啊!艾山老弟, 你真笨!紫葡萄虽甜,但价格贵,青葡萄虽便宜,却味道酸,何不把两种葡萄掺在一起,按 三元三斤出卖,也就是每斤一元,这样不是既好卖又省事吗?”艾山一听顿时眉开颜笑,连 忙竖起大拇指称赞道:“阿凡提大哥真是聪明,名不虚传、名不虚传呀!” 于是艾山按阿凡提的办法出售葡萄,果然买的人多了起来,不多时, 120 斤葡萄卖光 了.可是当艾山清点卖得的钱数时,不由得皱起了眉头:若按原来的价格卖,紫葡萄应卖 2×60=120(元),青葡萄应卖 1×(60÷2)=30(元),一共应卖 120+30=150(元),可现在 卖得的钱却只有 120 元,怎么少了 30 元呢?他猫腰瞪眼在葡萄摊前转来转去,找遍了每个 角落,也不见“丢失”的 30 元,最后才悟到是阿凡提把他捉弄了,当他想追上阿凡提问个 明白时,阿凡提早己骑着毛驴走得无影无踪了.

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