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(安徽专用)2014届高考数学 第三章 第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例课件 文 新人教A版


第八节

正弦定理、余弦定理的应用举例

1.仰角和俯角

上方 的角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线______
下方 的角叫俯角(如图3-8-1①). 叫仰角,在水平线_______

2.方位角和方向角
顺时针 转到目标方向线的水 (1)方位角:从指北方向 _________

平角,如B点的方位角为α(如图3-8-1②).
(2) 方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° 等. 3.坡度与坡比 坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.

坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比.

4.视角
观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角

(如图3-8-2).

1.仰角、俯角、方位角有什么区别?

【提示】

三者的参照不同.仰角与俯角是相对于水

平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的. 2.如何用方位角、方向角确定一点的位置? 【提示】 利用方位角或方向角和目标与观测点的距

离即可唯一确定一点的位置.

1. (人教A版教材习题改编)如图 3- 8- 3所示,已知两座灯塔 A和B与 海洋观察站C的距离都等于a km,灯 塔 A在观察站C的北偏东 20°,灯塔B 在观察站 C的南偏东40°,则灯塔A与 灯塔 B的距离为( ) A. a km B. 3a km C. 2a km D. 2a km

【解析】 120° ,

在△ABC中,AC=BC=a,∠ACB=

∴AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,AB= 3a.

【答案】

B

2.一船自西向东航行,上午 10时到达灯塔 P的南偏西 75°、距塔 68海里的M处,下午 2时到达这座灯塔的东南方 向的 N处,则这只船航行的速度为 ( ) 17 6 A. 海里 /时 B.34 6海里时 2 17 2 C. 海里 /时 D.34 2海里 /时 2

【解析】 如图.由题意知∠MPN=75°+45°= 120°,∠PNM=45°. 在△PMN中,由正弦定理,得 MN PM = , sin 120° sin 45° 3 2 ∴MN=68× =34 6. 2 2 又由M到N所用时间为14-10=4小时, 34 6 17 ∴船的航行速度v= = 6(海里/时). 4 2
【答案】 A

3. (2011·上海高考)在相距2千米的 A、 B两点处测量目 标点 C ,若∠ CAB = 75°,∠ CBA = 60°,则 A 、 C 两点之 间的距离为________千米.
【解析】 °, ∴∠ACB=180°-75°-60°=45°, AC AB 又AB=2,由正弦定理,得 = ,故AC sin 60° sin 45° = 6. 在△ABC中,∠CAB=75°,∠CBA=60

【答案】

6

4.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角
分别为30°,60°,则塔高为________米.

如图所示,山的高度MN=200米,塔高为 200 NC 200 200 AB,CN=MB= ,AC= = = .所以塔高AB 3 3 3 3· 3 200 400 =200- = (米). 3 3

【解析】

400 【答案】 3

5 . (2013· 扬州模拟 ) 如图 3 - 8 - 4 ,为了测量河的宽

度,在一岸边选定两点A,B望对岸的标记物C,测得
∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m.则这条河的宽 度为________m.

【解析】 因为∠CAB=30°,∠CBA=75°, 则∠ACB=180°-30°-75°=75°, 所以AC=AB=120 60(m). m,h=AC· sin A=120× 1 = 2

【答案】

60

(2013· 宝鸡调研 )如图 3- 8- 5 所示, A, B是海面上位于东西方向相 距 5(3+ 3)海里的两个观测点.现位 于 A点北偏东45°,B点北偏西60°的 D点有一艘轮船发出求救信号,位于 B点南偏西 60°且与 B点相距20 3海 里的 C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里 /小 时,该救援船到达D点需要多长时间?

【思路点拨】 → 求时间 t

在△BAD中,由正弦 △BCD中,用余 → 定理,求 DB 弦定理求 CD

【尝试解答】 由题意知 AB=5(3+ 3)海里, ∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°= 45°, ∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°, DB 在△DAB中,由正弦定理,得 = sin∠DAB AB , sin∠ADB

AB· sin∠ DAB 5( 3+ 3) · sin 45° ∴ DB= = sin∠ ADB sin 105° 5( 3+ 3) · sin 45° 5 3( 3+ 1) = = sin 45° cos 60°+ cos 45° sin 60° 3+ 1 2 = 10 3(海里 ), 又∠ DBC=∠ DBA+ ∠ ABC= 60°, BC= 20 里 ). 在△ DBC中,由余弦定理得 CD2= BD2+ BC2- 2BD· BC· cos∠ DBC 3 (海

1 =300+1200-2×10 3×20 3× =900. 2 30 ∴CD=30(海里).则需要的时间t= =1(小时). 30

1.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关三角 形中,建立一个解三角形的模型; 2 . 利用正、余弦定理解出所求的边和角,得出该数学 模型的解.

某单位在抗震救灾中,需要在A、 B两地之间架设高压电线,测量人员在 相距6 000 m的C、D两地(A、B、 C、 D在同一个平面上),测得∠ ACD=45°, ∠ ADC= 75°,∠BCD= 30°, ∠ BDC= 15° (如图3- 8- 6),假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因, 实际所需电线长度大约应该是A、 B距离的1.2倍,问施工单 位至少应该准备多长的电线?(参考数据: 2 ≈ 1.4, 3 ≈ 1.7, 7≈2.6)

【解】 在△ACD中,∠ CAD=180°- ∠ACD- ∠ ADC= 60°, CD= 6 000,∠ ACD= 45°, CDsin 45° 根据正弦定理AD= = sin 60° 2 CD, 3

在△ BCD中, ∠ CBD= 180°- ∠ BCD-∠BDC=135°, CD=6 000,∠BCD= 30°, CDsin 30° 2 根据正弦定理BD= = CD. 2 sin 135° 又△ ABD中,∠ ADB=∠ ADC+∠ BDC= 90°,

根据勾股定理, 2 1 AB= AD +BD = + CD=1 000 42, 3 2 实际所需电线长度约为1.2AB≈7 425.6(m).
2 2

(2013· 郑州质检)某气象仪器研 究所按以下方案测试一种“弹射型” 气象观测仪器的垂直弹射高度:A、B、 C 三地位于同一水平面上,在 C 处进行 该仪器的垂直弹射,观测点 A、B 两地 相距 100 米,∠BAC=60°,在 A 地听到 2 弹射声音的时间比 B 地晚 秒.在 A 地 17 测得该仪器至最高点 H 时的仰角为 30°,求该仪器的垂直 弹射高度(声音的传播速度为 340 米/秒)

【思路点拨】

用|AC|表示|BC|,在△ABC中,根据余

弦定理列方程求|AC|,在△ACH中,求|CH|.

【尝试解答】 由题意,设|AC|= x, 2 则 |BC|= x- ×340= x- 40, 17 在△ ABC中,由余弦定理得: |BC|2=|BA|2+ |CA|2- 2|BA|· |CA|· cos∠ BAC, 即 (x- 40)2= x2+ 10 000- 100x,解得x= 420. 在△ ACH中, |AC|= 420,∠ CAH= 30°, ∠ ACH=90°, 所以 |CH |=|AC|· tan∠ CAH= 140 3. 答:该仪器的垂直弹射高度CH为140 3米.

1.在测量高度时,要准确理解仰角、俯角的概念,仰 角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角; 2 . 分清已知条件与所求,画出示意图;明确在哪个三 角形内运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形.

某 人 在 C 点 测 得 某 塔 在 南 偏 西 80° , 塔 顶 A 仰 角 为
45°,此人沿南偏东 40°方向前进 10米到 D ,测得塔顶 A 的 仰角为30°,求该塔的高度.

【解】 如图所示,设塔高为h,在Rt△AOC中, ∠ACO=45°, 则OC=OA=h, 在Rt△AOD中,∠ADO=30°, ∴OD= 3·OA= 3h,

在△OCD中,CD=10,且∠OCD=120°, 由余弦定理得:OD2=OC2+CD2-2OC· CDcos∠ OCD, 即( 3h)2=h2+102-2h×10×cos 120°, ∴h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍). 因此该塔的高度为10米.

在海岸A处,发现北偏东45°方向、距离 A处( 3 -1) 海里的B处有一艘走私船;在A处北偏西75°方向、距离 A 处 2海里的 C处的缉私船奉命以10 3 海里/小时的速度追截走 私船.同时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏 东 30°方向逃窜,问缉私船什么方向能最快追上走私船? 最少要花多少时间?

【思路点拨】 设缉私船t小时后在D处追上走私船, 确定出三角形,先利用余弦定理求出BC,再利用正弦定理 求出时间.

【尝试解答】 设缉私船t小时后在 D处追上走私船, 则有 CD= 10 3t, BD= 10t. 在△ ABC中, AB= 3- 1, AC=2,∠BAC=120°. 利用余弦定理可得 BC= 6. 由正弦定理,得 AC 2 3 2 sin∠ ABC= sin∠ BAC= × = , BC 2 6 2 得∠ ABC= 45°,即BC与正北方向垂直.

于是∠ CBD= 120° . 在△ BCD中,由正弦定理,得 BDsin∠ CBD 10t· sin 120° 1 sin∠ BCD= = = , CD 2 10 3t CD BC 10 3t 得∠ BCD= 30°,又 = ,即 = sin 120° sin 30° 3 6, 6 得 t= . 10 所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私 6 船,最少要花 小时. 10

测量角度问题的一般步骤

(1) 在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,
并在图形中标出有关的角和距离; (2)用正弦定理或余弦定理解三角形; (3)将解得的结果转化为实际问题的解.

如图3-8-8所示,位于A处 的信息中心获悉:在其正东

方向相距40海里的B处有一
艘渔船遇险,在原地等待营 救.信息中心立即把消息告 知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船 朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,求cos θ的值.

【解】 如题图所示,在△ ABC中, AB= 40,AC= 20,∠ BAC= 120°, 由余弦定理, BC2= AB2+ AC2- 2AB· AC· cos 120°=2 800, ∴ BC= 20 7, AB BC 由正弦定理得, = , sin∠ ACB sin∠BAC AB 21 ∴ sin∠ ACB= sin∠ BAC= . BC 7

由∠ BAC= 120°,知∠ ACB为锐角,则 cos∠ACB= 2 7 . 7 由 θ=∠ ACB+30°, 得 cos θ=cos(∠ ACB+ 30° ) 21 = cos∠ ACBcos 30°- sin∠ ACBsin 30°= . 14 21 故 cos θ的值为 . 14

解三角形应用题的一般步骤: (1) 阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与 未知,理清量与量之间的关系. (2) 根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形

问题的模型.
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.

(4) 将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的
有关单位问题、近似计算的要求等.

解三角形应用题常有以下两种情形: (1) 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中 在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.

(2) 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两
个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条 件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知 量,从几个三角形中列出方程 ( 组 ) ,解方程 ( 组 ) 得出所要求 的解.

从近两年高考试题看,高考对正、余弦定理的实际应用 考察较少,但此部分内容能较好地考察学生的阅读理解能

力,分析问题和解决问题的能力及函数与方程的思想,因此
应积极备考.

思想方法之七

构建三角形模型解决实际应用问题

(2013· 泉州模拟 ) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇

送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口
O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/ 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶,假设该小艇沿直线方 向以 v 海里 / 小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相 遇.

(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速
度的大小应为多少?

(2) 假设小艇的最高航行速度只能达到 30海里 / 小时,试
设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小 艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.
【规范解答】 (1)设小艇与轮船在B处相遇,相遇时 小艇航行的距离为S海里,如图所示.

在△AOB中A=90°-30°=60°, ∴S= 900t2+400-2· 30t· 20· cos 60° = 900t -600t+400=
2

1 2 900(t- ) +300. 3

1 故当t= 时,Smin=10 3, 3 10 3 此时v= =30 3. 1 3 即小艇以30 3 海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航 行距离最小.
(2)由题意可知OB=vt,在△AOB中利用余弦定理得: v2t2=400+900t2-2· 20· 30tcos 60°, 600 400 2 故v =900- + 2 t t 600 400 ∵0<v≤30,∴900- + 2 ≤900, t t

2 3 2 即 2- ≤0,解得t≥ , t t 3 2 又t= 时,v=30(海里/小时), 3 2 故v=30时,t取得最小值,且最小值等于 . 3 此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20,故可设计航行 方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小 时,小艇能以最短时间与轮船相遇.

易错提示: (1) 理解能力差,方向角概念不清,不能根
据题设条件做出示意图,导致无法入手; (2)主要是不会构建v与t的函数关系式,难以利用条件解 不等式. 防范措施: (1) 理清方向角的概念,准确画出相关示意

图.
(2)在△AOB中,根据题设条件,恰当选择正弦(余弦)定 理求解.

1.(2013· 温州模拟)在一个塔底的水平面上某点测得该 塔顶的仰角为θ,由此点向塔底沿直线行走了30 m,测得塔 顶的仰角为2θ,再向塔底前进10 3 m,又测得塔顶的仰角 为4θ,则塔的高度为________.
【解析】 如图,依题意有PB =BA=30,PC=BC=10 3 ,在三 角形BPC中,由余弦定理可得

(10 3)2+302-(10 3)2 3 cos 2θ= = ,所以2θ= 2 2×10 3×30 30°,4θ=60°,在三角形PCD中, 3 可得PD=PC· sin 4θ=10 3· =15(m). 2
【答案】 15 m

2.(2013·石家庄模拟)某航模
兴趣小组的同学,为了测定在

湖面上航模航行的速度,采用
如下办法:在岸边设置两个观 察点A,B,且AB长为80米, 当 航 模 在 C 处 时 , 测 得 ∠ ABC = 105° 和 ∠ BAC = 30°,经过 20 秒后,航模直线航行到 D 处,测得∠ BAD = 90° 和 ∠ ABD = 45°. 请 你 根 据 以 上 条 件 求 出 航 模 的 速 度.(答案保留根号)

【解】 在△ ABD中,∵∠ BAD= 90°, ∠ ABD= 45°, ∴∠ADB= 45° . ∴ AD= AB= 80,∴ BD= 80 2. BC AB 在△ ABC中, = , sin 30° sin 45° 1 ABsin 30° 80×2 ∴ BC= = =40 2. sin 45° 2 2

在△ DBC中, DC2= DB2+ BC2- 2DB· BCcos 60° 1 2 2 = (80 2) + (40 2) - 2× 80 2× 40 2× = 9 600. 2 40 6 ∴ DC= 40 6,航模的速度 V= = 2 6米 /秒. 20 答:航模的速度为 2 6米 /秒.


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