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§8.1椭圆及其标准方程例题(二)


[例 1]求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0). (2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26. 选题意图: 该题训练焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程, 考查 a、 、 关系掌握情况. b c 解:(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
∵ 2a ?

(5 ? 3) 2 ? 0 ? (5 ? 3) 2 ? 0 ? 10 ,2c=6.

∴ a ? 5, c ? 3 ∴ b ? a ? c ? 5 ? 3 ? 16
2 2 2 2 2

∴所求椭圆的方程为:

x2 y2 ? ? 1. 25 16
y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a2 b2

(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为 ∴ b ? a ? c ? 144.
2 2 2

∴所求椭圆方程为:

y2 x2 ? ?1 169 144

[例 2]求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在 x 轴上,且经过点(2,0)和点(0,1). (2)焦点在 y 轴上,与 y 轴的一个交点为 P(0,-10),P 到它较近的一个焦点的距离等 于 2. 选题意图: 训练待定系数法求方程的思想方法, 考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端 点等基本知识. 解:(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以可设它的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)

? 22 0 ? 2 ? 2 ? 1 ?a 2 ? 4 ?a ? b ∴? ?? 2 ? 0 ? 1 ? 1 ?b ? 1 ? ?a2 b2 ?
故所求椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上,所以可设它的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
∵P(0,-10)在椭圆上,∴a=10. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于 2, ∴-c-(-10)=2,故 c=8. ∴ b ? a ? c ? 36 .
2 2 2

y2 x2 ? ?1. ∴所求椭圆的标准方程是 100 36
说明:(1)标准方程决定的椭圆中,与坐标轴的交点横坐标(或纵坐标)实际即为 a 与 b 的值. (2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近. [例 3]平面内两个定点 F1、F2 之间的距离为 2,一个动点 M 到这两个定点的距离和为 6. 建立适当的坐标系,推导出点 M 的轨迹方程. 选题意图:本题考查椭圆标准方程的推导方法. 解:建立直角坐标系 xoy,使 x 轴经过点 F1、F2,并且点 O 与 线段 F1F2 的中点重合. 设 M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为 2c(c=1),M 与 F1 和 F2 的距离的和等于 常数 6,则 F1、F2 的坐标分别是(-1,0),(1,0). 椭圆就是集合 P={M|MF1|+|MF2|=6}. ∵ MF1 ?

( x ? 1) 2 ? y 2 , MF 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2
( x ? 1) 2 ? y 2 ? 6 .

2 2 ∴ ( x ? 1) ? y ?

将这个方程移项后,两边平方,得

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 36 ? 12 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 , 9 ? x ? 3 ( x ? 1) 2 ? y 2
两边再平方,得: 81? 18x ? x ? 9 x ? 18x ? 9 ? 9 y
2 2 2

整理得: 8x ? 9 y ? 72
2 2

两边除以 72 得:

x2 y2 ? ? 1. 9 8

说明:本题若不限制解题方法则可借助椭圆的定义直接写出方程.


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