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§2.3 等差数列的前n项和(2)


§2.3 等差数列的前 n 项和(2) 学习过程 一、课前准备 (n ? m)d 1、等差数列的性质: (1)等差数列 {an } 中,an ? am ? (2)等差数列 {an } 中, m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ? am ? an ? a p ? aq (3)若{an},{bn}是等差数列,则{an+c},{kan},{an+bn}也是等差数列(其中 k、c 为常数) (4)若{an}是等差数列,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈ N*)组成公差为 md 的等差数列 S ( n ? 1) ? 2、数列通项 a n 和前 n 项和 Sn 关系为: a n = ? 1 ,由此可由 Sn 求 a n . ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2) 3、若数列 {an } 的前 n 项的和 Sn ? An2 ? Bn (A ? 0 ,A、B 是与 n 无关的常数) ,则数列 {an } 是等差数列. 二、新课导学 探究一 等差数列前 n 项和的性质 问题 1 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求证: S 5 , S10 ? S 5 , S15 ? S10 这三个数也成等 差。 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 变式:已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求证: 差。 这三个数也成等 问题 2 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求证:数列{ Sn } 也成等差数列。 n 例 1、已知等差数列{an}中,S10=100, S100=10,求 S110 例 2、若{an}和{bn}都为等差数列, Sn 、 Tn 分别是它们的前 n 项和,且 Sn 7n ? 1 ? ,求 a11 Tn 4n ? 27 b11 探究二 等差数列前 n 项和的最值问题 例 3、等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1=20,S10=S15, ,试问 n 为何值时,数列的前 n 项和最大?最大值为多少? 变式:等差数列{ a n }, a1 ? 0 , S9 ? S12 ,该数列前多少项的和最小? 小结:等差数列前项和的最大(小)值的求法. (1) 利用 a n : 当 a n >0,d<0,前n项和有最大值,可由 a n ≥0,且 an ?1 ≤0, 求得n的值;当 a n <0, d>0,前n项和有最小值,可由 a n ≤0,且 an ?1 ≥0,求得n的值 d d (2)利用 Sn :由 Sn ? n2 ? (a1 ? )n ,利用二次函数配方法求得最大(小)值时n的值. 2 2 例 4、在项数为 2n+1 的等差数列中,所有奇数项和为 165,所有偶数项和为 150,求 n 的值. 王新敞 奎屯 新疆 思考题 题 1 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 3 ,通项 an 与前 n 项和 S n 之间满足 2an ? S n S n?1 (n ? 2) (1)求证: ? ?1? ? 是等差数列,并求公差; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; ? Sn ? (3)数列 ?an ? 中是否存在正整数 k,使得不等式 a k ? a k ?1 对任意不小于 k 的正整数都成立? 若存在,求出最小的 k,若不存在,请说明理由。 题 2 已知数列{an}的前 n 项和为,且 Sn ? 10n ? n2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn ?| an | ,求数列{bn}前 n 项和 Tn ※ 课

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