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第二节 定积分的基本性质 2012-2-4


§6.2 定积分的基本性质
教学目的:理解定积分的性质,了解性质的证明;能熟练正确 运用性质进行相关判断、计算和证明. 重点:能熟练正确运用性质进行计算和证明. 难点:性质的灵活运用. 教学方法:以讲为主,讲练结合 教学过程: 一、定积分的性质 假设以下各函数都是所讨论区间上的可积函数,且 a ? b .(1-4 对 a ? b 也成立),则 【性质 1】
b a

?

b a

kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx , ( k 为常数).
a

b

常数因子可以提到积分符号外. 证明:

?

kf ( x )dx ? lim
n i

||?||?0

? kf (? )?x
i ?1 i

n

i

? k lim
【性质 2】
b a

||?||?0

? f (? )?x
i ?1

i

? k ? f ( x )dx .
a
b b a a

b

?

b a

[ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx .

即代数和的积分等于积分的代数和. 证明:

?

[ f ( x ) ? g( x )]dx ? lim

||?||? 0 n

?[ f (? ) ? g(? )]?x
i ?1 i i i i

n

i

? lim
b a

||?||? 0

? f (? )?x
i ?1 i

n

i

? lim

||?||? 0

? g(? )?x
i ?1

? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx .
a

b

注:1-2 可合并为 (其中 ? , ? 为常数). 【性质 3】(定积分的可加性)即若积分区间 [a , b] 被点 c 分割成两个小区间 [a , c ] 、 [c , b] ,则

?

b a

[? f ( x ) ? ? g( x )]dx ? ? ? f ( x )dx ? ? ? g( x )dx .
a a

b

b

?

b a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx .其中不论 c 在
a c

c

b

1

[a , b] 外,还是在 [a , b] 内都不影响结论. 证明:(1)先假设 a ? c ? b .设 ?1 与 ? 2 是 [a , c ] 与的 [c , b] 分 割,那么 ?1 与 ? 2 联合起来构成了 [a , b] 的分割 ? .
于是

?
c

b a

f ( x )dx ? lim

||?||? 0

? f (? )?x
i ?1 i

n

i

? lim
a

||?1 ||?0

?
i ?1

n1

f (?1i )?x1i ? lim
b c

||? 2 ||?0

? f (?
i ?1

n2

2i

)?x2 i

? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
(2) 若 a ? b ? c ,有

?

c a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a b

b

c

于是

?

b a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a b

c

c

? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx .
a c

c

b

(3) 若 c ? a ? b ,同(2)可证. 由此可知

如图由定积分的几何意义知:

?

b

a

f ( x )dx ? S1 ? S3 ? S2
c a

【性质 4】若被积函数 f ( x ) ? 1 ,则

? ? f ( x )dx ?
b a ? b

?

d

c

f ( x )dx ?

?

b

d

f ( x )dx .

?

dx ? ? 1dx ? b ? a .
a

证明:

?

b a

dx ? lim

||?||?0

?
i ?1

n

f (? i )?xi ? lim

||?||?0

? ?x
i ?1

n

i

? lim (b ? a ) ? b ? a .
||? ||? 0

【性质 5】若 f ( x ) ? 0, x ? [a , b] ,则

?

b a

f ( x )dx ? 0 .
2

注 : 若 f ( x ) 在 [a , b ] 连 续 、 非 负 且 不 恒 为 零 , 则

?

b a

f ( x )dx ? 0 .

证明:因 f ( x ) ? 0, x ? [a , b] ,而 ?xi ? 0 , 于是 所以

? f (? )?x
i ?1 i

n

i

? 0,

?

b a

f ( x )dx ? lim

||?||? 0

? f (? )?x
i ?1 i

n

i

? 0.

【推论】 (1) 若 f ( x ) ? g( x ), x ? [a, b] , 则

证明:因 F ( x ) ? g( x ) ? f ( x ) ? 0, x ? [a, b] ,于是

?

b a

f ( x )dx ? ? g( x )dx .
a
b

b

所以

? ?

b a b a

g( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? F ( x )dx ? 0 ,
a a

b

f ( x )dx ? ? g( x )dx .
a b b

b

注 :若 f ( x ) ? g( x ), x ? [a, b] , f ( x ) , g( x )在[a, b] 上连续且

f ( x ) 与 g ( x ) 不恒等,则 ? f ( x )dx ? ? g( x )dx 成立.
a a

(2)

?

b a

f ( x )dx ? ? | f ( x ) | dx . ( a ? b )(估值不等式)
a

b

证明:因 ? | f ( x ) |? f ( x ) ?| f ( x ) |, x ? [a, b] ,于是

? ? | f ( x ) | dx ? ? f ( x )dx ? ? | f ( x ) | dx ,
a a a

b

b

b

所以

?

b a

f ( x )dx ? ? | f ( x ) | dx .
a

b

【性质 6】设 M 与 m 为 f ( x ) 在

[a , b] 上的最大值与最小值,则
证明:因 m ? f ( x ) ? M , x ? [a, b] ,所以

m(b ? a ) ? ? f ( x )dx ? M (b ? a ) .
a b b b

b

m(b ? a ) ? m ? dx ? ? mdx ? ? f ( x )dx
a a a

3

性质 6 的几何意义:由连续曲线 y ? f ( x ) , x 轴与两条直线

? ? Mdx ? M (b ? a ) .
a

b

x ? a 、x ? b 所围成的曲边梯形面积介于以区间 [a , b] 为底, y ? f ( x) 分别以 m 、 M 为高的矩形面积之间.y
【性质 7】(积分中值定理) (1) 定理:设 f ( x ) ? C[a, b] ,则 ?? ? [ a , b] , s . t . .
f (? )

?

b a

f ( x )dx ? f (? )(b ? a )

O

证明:因 f ( x ) ? C[a, b] , f ( x ) 在 [a , b] 上存在最大值 M 与 最小值 m ,使得 m(b ? a ) ? 即

a

?

b

x

?

b a

f ( x )dx ? M (b ? a )

m?

b 1 f ( x )dx ? M b?a ?a

由连续函数介值定理知: ?? ? [ a , b] ,

s .t . f (? ) ?


b 1 f ( x )dx , ? a b?a

?

b a

f ( x )dx ? f (? )(b ? a ) .

(2)几何意义 在区间 [a , b] 上至少存在一个点 ? , 使得以区间 [a , b] 为 底边, 以曲线 y ? f ( x ) 为曲顶的曲边梯形的面积等于同一底 边而高为 f (? ) 的一个矩形的面积. (3)函数的平均值 设 f ( x ) ? C[a, b] ,那么 y ?
b 1 f ( x )dx ,称为函数 ? a b?a

y ? f ( x ) 在区间 [a , b] 上的平均值. 例如 , 速度为 v ? v( t ) 的物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 上的平均速
度为

v?

1 T2 ? T1

?

T2 T1

v ( t )dt .
4

二、性质应用 例 1 比较积分值的大小. ( 1)

?

1

0

x 2dx 和 ? x 3dx
0
2 3

1

解: 因 x ? x , x ? (0, 1) , ? ( 2)

?

1

0

x 2dx ? ? x 3dx .
0
1

1

?
?

1

0

e dx 和 ? e dx
x x2 0
2

1

解: 因 e x ? e x , x ? (0, 1) , ( 3)
? 2 0

?

1

0

e x dx ? ? e x dx .
2

0

xdx 和 ? 2 sin xdx
0

?

解: 因 x ? sin x , x ? (0, (4)

?
2

) , ? 2 xdx ? ? 2 sin xdx .
0 0

?

?

?

e

1

ln xdx 和 ? (ln x )2 dx
1

e

解: 因 ln x ? (ln x )2 , x ? (1, e) , (5)

?

1

0

ln xdx ? ? (ln x )2dx .
0

1

?e
0

1

x

dx 与 ? (1 ? x )dx
0

1

解 令 f ( x ) ? e ? (1 ? x ) ,则 f ?( x) ? e ? 1 ? 0( x ? [0,1]) ,
x x x 所以 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增,所以 e ? 1 ? x, x ? [0,1] .

又 所以 (6)

e x ? 1 ? x( x ? [0,1]) ,

?
?
1 0

1

0

e x dx ? ? (1 ? x )dx .
0 1 0

1

解 令 f ( x ) ? x ? ln(1 ? x ) ,则

xdx 与 ? ln ?1 ? x ? dx

1 ? 0 ( x ? (0,1)) , 1? x 所以 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增,. ?x ? [0,1] ,则 f ( x ) ? f (0) ? 0 , 即 x ? ln(1 ? x ) .又在 [0,1] 上 x ? ln(1 ? x ) , f ?( x ) ? 1 ?
所以
5

?
(2011.3.4.)设 I ?
?

1 0

xdx ? ? ln(1 ? x )dx .
0

1

?

?

4 0

ln sin xdx , J ? ? 4 ln cot xdx ,
0

?

K ? ? 4 ln cos xdx ,则 I , J , K 的大小关系是( B )
0

( A) I ? J ? K ;( B) I ? K ? J ;(C )J ? I ? K ;( D) K ? J ? I
提示: x ? (0,

) 时, 0 ? sin x ? cos x ? 1 ? cot x 4 ? ln sin x ? ln cos x ? 0 ? ln cot x
估计积分值.

?

例2 ( 1)

1 dx 0 3 ? sin 3 x 1 , ? x ? [0, ? ], 0 ? sin3 x ? 1, 解: f ( x ) ? 3 3 ? sin x 1 1 1 ? ? , 3 4 3 ? sin x 3 ? 1 ? ? 1 1 ? ? d ,x ?0 4d x? ?0 3? s i3nx d x 0 3 ? ? 1 ? ? ?? dx ? . 3 0 3 ? sin x 4 3

?

?

( 2)

?

1 1 2

x 4 dx
4

则f ( x )在[ ,1] 上单调递增, 解:设 f ( x ) ? x ,
1 1 ? f ( ) ? f ( x ) ? f (1) ? 1 16 2 1 1 1 1 所以由性质 6 知 (1 ? ) ? ? x 4dx ? 1 ? (1 ? ) 16 2 1 2
2

1 2

6



1 1 ? ? x 4dx ? . 32 1 2
2

1

( 3)

?

3

1

( x ? 3 x ? 2)dx
2

解:设 f ( x ) ? x 2 ? 3 x ? 2, 则在 [1, 3] 上

3 1 f ( x ) ? ( x ? )2 ? , 2 4 1 3 ? ? f ( ) ? f ( x ) ? f (3) ? 2 所以 4 2 3 1 所以由性质 6 知 ? (3 ? 1) ? ? ( x 2 ? 3 x ? 2)dx ? 2 ? (3 ? 1) 4 1

1 故 ? ? ? ( x 2 ? 3 x ? 2)dx ? 4 . 2 1
(4)

3

?e
2

0

x2 ? x

dx
1 2
2

解 因为 x ? x ? ( x ? ) ?
2

1 , 4

所以 ? 所以

1 ? x 2 ? x ? 2 (其中 x ? [0, 2] ), 4

e

?

1 4

? ex
2

2

?x

? e 2 ,x ? [0, 2] .从而

2e


?

1 4

? ? ex
0

2

?x

dx ? 2e 2 , x ? [0, 2]
0
2

? 2e 2 ? ? e x
2

?x

dx ? ? 2 e
b

?

1 4

x , ? [ 0 ,. 2 ]

例 3 设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续且 上至少存在一点 c ,使 f (c ) ? 0

? f ( x )dx ? 0 ,试证:在 [a , b]
a

证明:因为 f ( x ) 在 [a , b] 上连续,由积分中值定理至少存在一

7

点 c ? [a, b]使 f ( x )dx ? f (c )(b ? a ) ,又
a

?

b

? f ( x )dx ? 0 且
a

b

a ? b ,所以 f (c ) ? 0 练习 (91.1. 7 ? )设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续且 f ( x ) 在 (0,1) 内
可导,且 3

?

1 2 3

f ( x )dx ? f (0) ,试证:在 (0,1) 内至少存在一点

? ,使 f ?(? ) ? 0 . 2 2 证明:因为 [ ,1] ? [0,1] ,所以 f ( x ) 在 [ ,1] 上连续,由积分 3 3 2 中值定理知至少存在一点 ? 0 ? [ ,1] ,使 3 1 1 2 , 即 f ( x ) dx ? f ( ? )(1 ? ) f ( ? ) ? 3 f ( x )dx , 0 0 ?23 ? 3 2
3

又 3 f ( x )dx ? f (0) ,所以 f (0) ? f (?0 ) . 从而 f ( x ) 在 [0, ?0 ] 上满足罗尔中值定理条件,所以存在
2 3

?

1

? ? (0, ?0 ) 使 f ?(? ) ? 0 .又 (0, ?0 ) ? (0,1) ,故在 (0,1) 内至 少存在一点 ? ,使 f ?(? ) ? 0 . 例 4 (94.3. 9 ? )设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续且递减, 0 ? ? ? 1 .
试证: 证明: 因为 0 ? ? ? 1 ,所以 [0,1] ? [0, ? ] ? [? ,1] . 由积分中值定理知 存在 ?1 , ? 2 当 0 ? ?1 ? ? ? ?2 ? 1 时有

?

?

0

f ( x )dx ? ? ? f ( x )dx .
0

1

? ?

?

0 1
0

f ( x )dx ? ? f (?1 ) ,, ? f ( x )dx ? (1 ? ? ) f (? 2 )
?

1

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f (?1 ) ?(1 ? ? ) f (? 2 )
0

?

1

?

又 f ( x ) 在 [0,1] 上递减, 所以 当 0 ? ?1 ? ? ? ?2 ? 1 时 f (?1 ) ? f (? 2 ) .
8

从而

?

?

0

f ( x )dx ? ? ? f ( x )dx ? (1 ? ? )?[ f (?1 ) ? f (? 2 )] ? 0
0

1



?

?

0

f ( x )dx ? ? ? f ( x )dx .
0

1

练习 (05.8) 设 f ( x ), g( x ) 在 [0,1] 上的导数连续,且

f (0) ? 0, f ?( x ) ? 0, g?( x ) ? 0 . 证明:对任何 a ? [0,1] ,有

?

a

0

g( x ) f ?( x )dx ? ? f ( x ) g?( x )dx ? f (a ) g(1) .
对任何 a ? [0,1] ,由条件知
1 0
0

1



?

a

0

g ( x) f ?( x)dx ? ? f ( x) g?( x)dx ? f (a) g (1)
a a 0 0

? ? g( x ) f ?( x )dx ? ? f ( x ) g?( x )dx ?

?
a 0

1

a

f ( x ) g?( x )dx ? f (a ) g(1)
1 a

? ? d[ f ( x ) g( x )] ? ? f ( x ) g?( x )dx ? f (a ) g(1) ? f (a ) g(a ) ? f (0) g(0) ? f (a ) g(1) ? ? f ( x) g?( x)dx
a 1

= ? f (a)[g (1) ? g (a)] ? ? f ( x) g?( x)dx
a

1

= ? f ( x) g?( x)dx ? ? f (a) g?( x)dx ? ? [ f ( x) ? f (a)]g?( x)dx
因 f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0 ,那么在 (a,1) 内, f ( x) ? f (a) ? 0 ,有

1

1

1

? ? [ f ( x) ? f (a)]g?( x)dx ,
a 1

a 1

a

a

所以

? [ f ( x) ? f (a)]g?( x)dx ? 0 , ? g ( x) f ?( x)dx ? ? f ( x) g?( x)dx ? f (a) g (1) .
a

a

1

0

0

例 5 (96.3.)设 f ( x ) 在 [0,1] 上可微且 2 xf ( x )dx ? f (1) , 试证:在 (0,1) 内至少存在一点 ? ,使 f (? ) ? ? f ?(? ) ? 0 .
9
0

?

1 2

证明:设 F ( x ) ? xf ( x ) 由积分中值定理知
1 1 2 2 1 1 至少 ?? ? [0, ] 使 ? xf ( x )dx ? ? F ( x )dx ? F (? ) , 2 2 0 0 所以 f (1) ? F (? ) ? F (1) . 因为 f ( x ) 在 [0,1] 上可微,所以 F ( x ) ? xf ( x ) 在在 [0,1] 上 可微.从而 F ( x ) 在 [? ,1] 上满足罗尔中值定理条件,所以存在 ? ? (? ,1) 使 F ?(? ) ? f (? ) ? ? f ?(? ) ? 0, 又(? ,1) ? (0,1) . 所以 ? ? (0,1) 故 在 (0,1) 内至少存在一点 ? ,使 F ?(? ) ? 0 ,即 f (? ) ? ? f ?(? ) ? 0 .

提问 (99.3. 3? )函数 y ?

?
12

1 3 在[ , ] 上的平均值为 2 2 1? x
2

x2

(1 ? 3)

2 ? ? sin tdt 3 1 1 1 ? x2 3 ?1 ? ? 6 2 2 2 ? 3 ?1 ? 1 ? ( 3 ? 1) 3 . ? [ ? sin 2t |? ]? 2 6 2 12 6 练习(96.5) 设 f ( x ) 在区间 [0,1] 上可微,且满足条件

解: y ?

1

3 2

?

x

2

dx ?

x ? sin t

2

3

试证:存在 ? ? (0,1) ,使 f (? ) ? ? f ?(? ) ? 0 . 例 6(02.6) 设函数 f ( x ), g( x ) 在 [a , b] 上连续,且 g( x ) ? 0 , 利用闭区间上连续函数性质,证明存在一点 ? ? [a , b] ,使

f (1) ? 2 ? xf ( x )dx ,

1 2 0



因为函数 f ( x ), g( x ) 在 [a , b] 上连续,则 f ( x ) ? g( x ) 在
10

?

b

a

f ( x ) g( x )dx ? f (? )? g( x )dx .
a

b

[a , b] 上可积, 设 f ( x ) 有最大值 M 和最小值 m ,因 g( x ) ? 0 ,

则有 mg( x ) ? f ( x ) g( x ) ? Mg( x ) ,于是

?

b

a

mg( x )dx ? ? f ( x ) g( x )dx ? ? Mg( x )dx .
a a

b

b

又因 g( x ) ? 0 ,有

?

b

a

g( x )dx ? 0 ,从而
b a

? m?

f ( x ) g( x )dx

?

b

?M,
b

a

g( x )dx
a

? 由介值定理知 ,存在 ? ? (a, b) ,满足 f (? ) ?


f ( x ) g( x )dx

?

b

,

a

g( x )dx

?

b

a

f ( x ) g( x )dx ? f (? )? g( x )dx .
a

b

小结: 1.熟记七条性质及其推论,注意各性质的适用条件;以及常用 于解决问题的类型. 2.在证明问题时常将微分中值定理与积分中值定理结合在一 起运用. 3.积分中值定理常用来计算经济问题在某一范围的均值. 课后记:不能灵活正确地运用性质;证明问题不知从何下手.

11


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