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2017-2018学年1月广东省普通高中数学学业水平考试真题(一)+Word版含解析

2017 年 1 月广东省普通高中学业水平考试真 题卷
(时间:90 分钟 满分:100 分)

一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 4 分,共 60 分.每小题中 只有一个选项是符合题意的,不选、多选、错选均不得分) 1. 已知集合 M={0, 2, 4}, N={1, 2, 3}, P={0, 3}, 则(M∪N)∩P 等于( )

A.{0,1,2,3,4} B.{0,3} C.{0,4} D.{0} 解析:M∪N={0,1,2,3,4},(M∪N)∩P={0,3},故选 B. 答案:B 2.函数 y=lg(x+1)的定义域是( A.(-∞,+∞) C.(-1,+∞) )

B.(0,+∞) D.-1,+∞)

解析:对数函数要求真数大于 0,所以 x+1>0,解得 x>-1,故 选 C. 答案:C 3.设 i 为虚数单位,则复数 1-i 等于( i )

A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 1-i (1-i)· i i-i2 i+1 解析: = = 2 = = i i i·i -1 -1-i,故选 D. 答案:D 4.已知甲:球的半径为 1 cm;乙:球的体积为 乙的( ) 4π cm3,则甲是 3

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4 4 解析:充分性:若 r=1 cm,由 V= πr3 可得体积为 π cm3,同 3 3 样利用此公式可证必要性也成立. 答案:C 1 5.已知直线 l 过点 A(1,2),且与直线 y= x+1 垂直,则直线 l 2 的方程是( )

1 3 1 5 A.y=2x B.y=-2x+4 C.y= x+ D.y= x+ 2 2 2 2 解析:因为两直线垂直时,斜率互为倒数的相反数(k1k2=-1),所 以直线 l 的斜率 k=-2,由点斜式方程 y-y0=k(x-x0)可得,y-2=- 2(x-1),整理得 y=-2x+4,故选 B. 答案:B 6.顶点在坐标原点,准线为 x=-2 的抛物线的标准方程是( A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y p 解析:因为准线方程为 x=-2,所以焦点在 x 轴上,且- =-2, 2 所以 p=4,由 y2=2px 得 y2=8x. 答案:A → +BC → |等于( 7.已知三点 A(-3,3), B(0, 1),C(1,0),则|AB A.5 B.4 C. 13+ 2 D. 13- 2 → =(3,-2),BC → =(1,-1),所以AB → +BC → =(4,- 解析:因为AB 3), → +BC → |= 42+(-3)2=5,故选 A. 所以|AB 答案:A 8.已知角 α 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,终边过点 P( 5,-2),则下列等式不正确的是( ) ) )

2 2 5 A.sin α =- B.sin(α +π )= C.cos α = D.tan α 3 3 3 =- 5 2

y x 解析:依题意得,r= x2+y2= 5+4=3,sin α= ,cos α= , r r y tan α= , x 所以 sin α= -2 -2 5 2 5 ,cos α= ,tan α= =- ,所以 A, 3 3 5 5

B,C 正确,D 错误. 答案:D 9.下列等式恒成立的是( A. 2 =x- (x≠0) 3 3 x 1 ) B.(3x)2=3x2

1 C.log3(x2+1)+log32=log3(x2+3) D.log3 x=-x 3 解析: 1 =x- (x≠0),故 A 错;(3x)2=32x,故 B 错; 3 3 x 1

log3(x2+1)+log32=log32(x2+1),故 C 错. 答案:D 10.已知数列{an}满足 a1=1,且 an+1-an=2,则{an}的前 n 项和 Sn 等于( )

A.n2+1 B.n2 C.2n-1 D.2n-1 解析:数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,由 Sn=na1 + n(n-1) n(n-1) d=n+ ·2=n2,故选 B. 2 2 答案:B

x≤3, ? ? 11.已知实数 x,y 满足?y≤x, 则 z=2x+y 的最大值为( ? ?x+y≥2, A.3 B.5 C.9 D.10

)

解析:如图,画出可行域,当 y=-2x+z 移动到 A 点时,直线与 y 轴的截距 z 取得最大值,因为 A(3,3),所以 z=2x+y 的最大值为 9.

答案:C 12.已知点 A(-1,8)和 B(5, 2),则以线段 AB 为直径的圆的标准 方程是( )

A.(x+2)2+(y+5)2=3 2 B.(x+2)2+(y+5)2=18 C.(x-2)2+(y-5)2=3 2 D.(x-2)2+(y-5)2=18
?-1+5 8+2? ? 解析: 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心为 C? , 2 ? ? 2

=(2,5),半径 r=

1 (5+1)2+(2-8)2=3 2,所以圆的标准方程 2

为(x-2)2+(y-5)2=18. 答案:D 13.下列不等式一定成立的是( )

2 1 A.x+ ≥2(x≠0) B.x2+ 2 ≥1(x∈R) x x +1 C.x2+1≤2x(x∈R) D.x2+5x+6≥0(x∈R) 解析:A 选项中,当 x<0 时,显然不成立;C 选项中,当 x=-1 时,显然不成立;D 选项中,当 x∈(-3,-2)时,x2+5x+6<0,所

以不成立;B 选项中,x2+ 1≥2

1 1 =(x2+1)+ 2 - x +1 x +1
2

1 (x2+1)· 2 -1=1(x∈R),当且仅当 x=0 时取“=”. x +1

答案:B 14.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x∈(-∞,0]时,f(x) =x2-sin x,则当 x∈0,+∞)时,f(x)=( )

A.x2+sin x B.-x2-sin x C.x2-sin x D.-x2+sin x 解析:设 x∈0,+∞),则-x∈(-∞,0],所以 f(-x)=(-x)2- sin(-x)=x2+sin x,又 f(x)是定义在 R 上的偶函数,所以 f(x)=f(-x) =x2+sin x,故选 A. 答案:A 15.已知样本 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数为 4, 方差为 3,则 x1+ 6,x2+6,x3+6,x4+6,x5+6 的平均数和方差分别为( A.4 和 3 B.4 和 9 C.10 和 3 D.10 和 9 解析:由平均数的定义可知 x1+6,x2+6,x3+6,x4+6,x5+6 的平均数=- x +6=10,方差不变. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案 填在题中横线上) 5 16.已知 x>0,且 ,x,15 成等比数列,则 x=____________. 3 解析:因为 所以 x=5. 答案:5 17.函数 f(x)=sin xcos(x+1)+sin(x+1)cos x 的最小正周期是 ____________. 5 5 , x,15 成等比数列,所以 x2= ×15=25,又 x>0, 13 3 )

解析:f(x)=sin xcos(x+1)+sin(x+1)cos x=sinx+(x+1)]=sin(2x +1), 所以最小正周期 T= 答案:π 18.从 1,2,3,4 这四个数字中任意选取两个不同的数字,将它 们组成一个两位数,该两位数小于 20 的概率是____________. 解析:从 1,2,3,4 这四个数字中任意选取两个不同的数字,将 它们组成一个两位数一共有如下 12 个基本事件:12,13,14,21,23, 24,31,32,34,41,42,43;其中该两位数小于 20 的共有 12,13, 14 三个,所以该两位数小于 20 的概率为 答案: 1 4 3 1 = . 12 4 2π =π. 2

1 19.中心在坐标原点的椭圆,其离心率为 ,两个焦点 F1 和 F2 在 x 2 轴上,P 为该椭圆上的任意一点,若|PF1|+|PF2|=4,则椭圆的标准方 程是________. x 2 y2 解析:根据焦点在 x 轴上可以设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b a b >0), c 1 因为长轴长 2a=|PF1|+|PF2|=4,离心率 e= = , a 2 x 2 y2 所以 a=2,c=1,b= a -c = 3,所以椭圆的标准方程为 + 4 3
2 2

=1. x 2 y2 答案: + =1 4 3 三、解答题(本大题共 2 小题,共 24 分.解答时应写出必要的文字 说明、证明过程及演算步骤)

20.(12 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 a b = . cos A cos B (1)证明:△ABC 为等腰三角形; (2)若 a=2,c=3,求 sin C 的值. (1)证明:因为 a b = , cos A cos B

所以 acos B=bcos A, 由正弦定理知 sin Acos B=sin Bcos A, 所以 tan A=tan B, 又 A,B∈(0,π), 所以 A=B, 所以△ABC 为等腰三角形. (2)解:由(1)可知 A=B,所以 a=b=2, 根据余弦定理有:c2=a2+b2-2abcos C, 1 所以 9=4+4-8cos C,解得 cos C=- , 8 因为 C∈(0,π), 所以 sin C>0, 所以 sin C= 1-cos2C= 63 . 8

21.(12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥AB,PA⊥AD,AC ⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC=2,E 为 PC 的中点.

(1) 证明:AP⊥CD; (2) 求三棱锥 PABC 的体积;

(3) 证明:AE⊥平面 PCD. (1)证明:因为 PA⊥AB,PA⊥AD,AB?平面 ABCD,AD?平面 ABCD,AB∩AD=A, 所以 PA⊥平面 ABCD,又 CD?平面 ABCD, 所以 AP⊥CD. 1 (2)解:由(1)可知 AP⊥平面 ABC,所以 VP-ABC= S△ABC·AP, 3 1 1 又 S△ABC= AB·BC·sin ∠ABC= ×2×2×sin 60°= 3, 2 2 1 2 3 所以 VP-ABC= × 3×2= . 3 3 (3)证明: 因为 CD⊥AP, CD⊥AC, AP?平面 APC, AC?平面 APC, AP∩AC=A, 所以 CD⊥平面 APC, 又 AE?平面 APC, 所以 CD⊥AE, 由 AB=BC=2 且∠ABC=60°得△ABC 为等边三角形, 且 AC=2, 又因为 AP=2,且 E 为 PC 的中点, 所以 AE⊥PC, 又 AE⊥CD,PC?平面 PCD,CD?平面 PCD,PC∩CD=C, 所以 AE⊥平面 PCD.


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