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与名师对话二轮理科数学1-2-1


与名师对话· 系列丛书

二轮专题复习·课标版·数学(理)

第 一 篇

知识方法篇

第1页

第一篇

知识方法篇

与名师对话· 系列丛书

二轮专题复习·课标版·数学(理)

专 题 二

三角函数、解三角形、平面向量

第2页

第一篇

知识方法篇

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

第一讲

三角函数的图象与性质

课 时 作 业

第3页

专题二

第一讲

与名师对话· 系列丛书

二轮专题复习·课标版·数学(理)

重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

课 时 作 业

第4页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

课 时 作 业

第5页

专题二

第一讲

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重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

课 时 作 业

第6页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

考点一
重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

三角函数的图象变换

【自主回顾】 由 y=sin x 的图象变换出 y=sin (ωx+φ)的图象一般有两条 途径,只有区别开这两条途径,才能灵活进行图象变换. 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位, 1 再将图象上各点的横坐标变为原来的ω倍(ω>0),便得 y=sin (ωx +φ)的图象.
课 时 作 业

第7页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换.
重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

1 先将 y=sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω倍(ω>0), |φ| 再沿 x 轴向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 ω 个单位,便得 y=sin (ωx +φ)的图象.
课 时 作 业

第8页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

在进行图象变换时, 必须注意 ω 对平移单位长度的影响, 即 由函数 y=Asin ωx 的图象变换到函数 y=Asin (ωx+φ)的图象时, φ 平移量应是| |;但对 y=Asin (ωx+φ)进行伸缩变换时,要注意 φ ω 是不变的.
课 时 作 业

第9页

专题二

第一讲

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1.(2013· 山东卷)将函数 y=sin (2x+φ)的图象沿 x 轴向左平
重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

π 移8个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为 ( ) 3π π π A. 4 B.4 C.0 D.-4
课 时 作 业

第10页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

π 解析:把函数 y=sin (2 x+φ)的图象向左平移 个单位后,得 8
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到的图象的解析式是 y=sin

? ? π ?2x+ +φ?, 该函数是偶函数的充要 4 ? ?
课 时 作 业

π π 条件是 +φ=kπ+ ,k∈Z,根据选项检验可知 φ 的一个可能取 4 2 π 值为4.
答案: B

第11页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

2. (2014· 安徽合肥二检)为了得到函数
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? π? y=cos?2x+3?的图象, ? ?

可将函数 y=sin 2x 的图象(

)
课 时 作 业

5π A.向左平移 6 个单位长度 5π B.向右平移 6 个单位长度 5π C.向左平移12个单位长度 5π D.向右平移12个单位长度

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专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

解析:由题意,得
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? ? π? π π? y=cos?2x+3?=sin?2x+3+2? ? ? ? ?

=sin

? 5π? 2?x+12?, ? ?
课 时 作 业

5π 则它是由 y=sin 2x 向左平移12个单位得到的,故选 C.
答案:C

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专题二

第一讲

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【典例剖析】

重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

(2014· 浙江卷)为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象,可 以将函数 y= 2cos 3x 的图象( π A.向右平移 个单位 4 π B.向左平移 个单位 4 π C.向右平移 个单位 12 π D.向左平移 个单位 12
第14页

)
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专题二

第一讲

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【思路启迪】 化简函数解析式,进行平移变换.
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课 时 作 业

第15页

专题二

第一讲

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【解析】
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因 为 y = sin 3x + cos 3x = y= 2cos 3x=
? π? 2sin?3x+2?= ? ?

? π? 2sin ?3x+4? = ? ?

2

? ? π ?? sin?3?x+12??,又 ? ? ??

? ? π?? 2sin?3?x+6??,所 ? ? ??
课 时 作 业

π 以应由 y= 2cos 3x 的图象向右平移 个单位得到. 12
【答案】 C

第16页

专题二

第一讲

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由 y=sin ωx(ω>0)的图象得到 y=sin(ωx+φ)的图象时,应
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|φ| 将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 ω 个单位,而非|φ|个 单位.
课 时 作 业

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专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

【举一反三】
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1.(2014· 兰州、张掖联考)将函数

? π? y=sin?x+6?(x∈R)的图象 ? ?

π 上所有的点向左平移 个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩 4 大到原来的 2 倍,则所得的图象的解析式为( )

课 时 作 业

第18页

专题二

第一讲

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? 5π ? A.y=sin?2x+12?(x∈R) ? ?
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? x 5π? B.y=sin?2+12?(x∈R) ? ? ?x π? C.y=sin?2-12?(x∈R) ? ? ?x 5π? D.y=sin?2+24?(x∈R) ? ?
课 时 作 业

第19页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

π 解析:原函数图象向左平移 个单位后得 y= 4
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? ? π π? 5π? sin?x+6+4?=sin?x+12?(x∈R)的图象, 再把图象上各点的横 ? ? ? ?

坐标扩大到原来的 2 倍得
答案:B

? x 5π? y=sin?2+12?(x∈R)的图象. ? ?

课 时 作 业

第20页

专题二

第一讲

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2.(2014· 河北邯郸二模)若函数 y=cos ωx(ω>0)的图象向右
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π 平移6个单位后与函数 y=sin ωx 的图象重合,则 ω 的值可能是 ( ) 1 A.2 B.1 C.3 D.4
课 时 作 业

第21页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

π 解析:函数 y=cos ωx(ω>0)的图象向右平移 个单位后,得 y 6
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=cos

? ? π? ωπ? ω?x-6?=cos?ωx- 6 ?,与函数 ? ? ? ?

y=
课 时 作 业

sin ωx 的图象重合,∴

ωπ π = +2kπ(k∈Z), 6 2

∴ω=3+12k(k∈Z),∴ω 可取 3.
答案:C

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专题二

第一讲

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π 3.将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图象向右平移 个单位 4
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? 3π ? 长度,所得图象经过点? 4 ,0?,则 ? ?

ω 的最小值是(

)
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1 5 A.3 B.1 C.3 D.2

第23页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

解析:将函数 y=sin
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π ωx 向右平移 个单位可得解析式为 y 4

=sin

? ωπ? ?ωx- ?,当 4? ?

3π 3π π x= 时,y=0,代入令 ω- ω=kπ,所以 4 4 4
课 时 作 业

ω=2k,又因为 ω>0,所以 k=1 时,得 ω 取得最小值为 2,故选 D.
答案:D

第24页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

考点二
重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

三角函数图象与解析式

【自主回顾】 (1)已知图象求函数 y=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式 时,常用的方法是待定系数法.由图中的最大、最小值求出 A, 由周期确定 ω,由适合解析式的点的坐标来确定 φ 的值. (2)将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点 法”中的哪一个点.“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx0+φ=0+2kπ,k∈Z,其他依次类推即可.
课 时 作 业

第25页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

应用特殊点求参数 φ 时,一般选择图象上的最高点或最低
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点.
课 时 作 业

? π? 1.(2014· 太原模拟)y=Asin(ωx+θ)?|θ|<2?的图象如图所示, ? ?

那么 y=________.

第26页

专题二

第一讲

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? π? 11 解析:由题图知周期 T=12π-?-12?=π, ? ?
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2π ∴ω= =2,且 A=2,∴y=2sin(2x+θ), π 1 把 x=0,y=1 代入上式得 2sin θ=1,即 sin θ= , 2
? π? π π 又|θ|<2,∴θ=6.即 y=2sin?2x+6?. ? ?
? π? 答案:2sin?2x+6? ? ?
课 时 作 业

第27页

专题二

第一讲

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2. (2014· 荆州质检)函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正
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周期为

? 3π ? π,且函数图象关于点?- 8 ,0?对称,则函数的解析式为 ? ?

________.
课 时 作 业

第28页

专题二

第一讲

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? 3π ? 2π 解析:由题意知最小正周期 T=π= ω ,∴ω=2,2×?- 8 ?+ ? ?
重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

3π 3π φ=kπ(k∈Z),∴φ=kπ+ (k∈Z),又 0<φ<π,∴φ= ,∴y= 4 4
? 3π? sin?2x+ 4 ?. ? ?
? 3π? 答案:y=sin?2x+ 4 ? ? ?
课 时 作 业

第29页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

【典例剖析】
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(2014· 重 庆 卷 ) 已 知 函 数
? π π? φ)?ω>0,-2≤φ<2?的图象关于直线 ? ?

f(x) =

3 sin(ωx +
课 时 作 业

π x= 对称,且图象上相邻两 3

个最高点的距离为 π.

第30页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

(1)求 ω 和 φ 的值;
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(2)若

?α ? f?2?= ? ?

? 2π? 3π? 3?π ? <α< ?,求 cos?α+ ?的值. 3? 2? 4 ?6 ?

【思路启迪】

(1)由图象上相邻两个最高点的距离确定周
?α ? f?2?和 ? ? ? 3π? cos?α+ 2 ?,再利用 ? ?
课 时 作 业

期,求 ω,由对称轴求 φ;(2)先化简 角之间的关系整体代换求解.

第31页

专题二

第一讲

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【解】 (1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π,
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2π 所以 f(x)的最小正周期 T=π,从而 ω= T =2. π 又因为 f(x)的图象关于直线 x=3对称, π π 所以 2×3+φ=kπ+2,k=0,± 1,± 2,?. π π π 2π π 由-2≤φ<2,得 k=0,所以 φ=2- 3 =-6.
课 时 作 业

第32页

专题二

第一讲

与名师对话· 系列丛书
?α? f ? 2 ?= ? ? ? α π? ?= - 3sin?2· ? 2 6?

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(2)由(1)得
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3 4,

所以

? π? 1 sin?α-6?= . ? ? 4
课 时 作 业

π 2π π π 由 <α< ,得 0<α- < , 6 3 6 2 所以
? π? cos?α-6?= ? ?

1-sin

2

? π? ?α- ?= 6? ?

?1? 1-?4?2= ? ?

15 4 .

第33页

专题二

第一讲

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? 3π? cos?α+ 2 ?=sin ? ?

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所以
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?? π? π? ?? α=sin? α-6?+6? ? ? ?? ?

? π? =sin?α-6?cos ? ?

? π? π π ? ? +cos α-6 sin 6 6 ? ?
课 时 作 业

1 3 15 1 = × + × 4 2 4 2 3+ 15 = . 8

第34页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

根据三角函数图象求 y=Asin (ωx+φ)+h 的解析式,主要
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解决四个数值 A,ω,φ,h.A 和 h 由函数图象的最高点、最低点 确定,ω 由三角函数的周期确定,φ 由函数图象的位置确定.解 决这类题目一般是先根据函数图象找到函数的周期确定 ω 的值, 再根据函数图象上的一个特殊点确定 φ 值. 一般情况下这类题目 中 ω 的值是唯一确定的,但 φ 的值是不确定的,它有无数个, 事实上,如果 φ0 是满足条件的一个 φ 值,那么 2kπ+φ0,k∈Z, 都是满足条件的 φ 值,故这类题目一般都会限制 φ 的取值范围.
课 时 作 业

第35页

专题二

第一讲

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【举一反三】 1.(2013· 四川卷)函数 f(x)=2sin
? π π? (ωx+φ)?ω>0,-2<φ<2?的 ? ?

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部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别是(

)
课 时 作 业

第36页

专题二

第一讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

π A.2,- 3
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π B.2,- 6 π D.4, 3
课 时 作 业

π C.4,- 6

第37页

专题二

第一讲

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? π? 3 3 5 解析:∵4T=12π-?-3?=4π,∴T=π, ? ?
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2π ∴ =π(ω>0),∴ω=2. ω 5 5 π 由图象知当 x= π 时,2× π+φ=2kπ+ (k∈Z), 12 12 2 π 即 φ=2kπ-3(k∈Z). π π π ∵-2<φ<2,∴φ=-3.
答案:A
课 时 作 业

第38页

专题二

第一讲

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2 . (2014· 衡水中学二调 ) 已知函数 f(x) = Asin(ωx + φ)( 其中 π A>0,|φ|<2)的部分图象如图所示,为了得到 g(x)=sin 2x 的图象, 则只需将 f(x)的图象( )
课 时 作 业

第39页

专题二

第一讲

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π A.向右平移 个长度单位 6
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B.向右平移

π 个长度单位 12
课 时 作 业

π C.向左平移 个长度单位 6 π D.向左平移12个长度单位

第40页

专题二

第一讲

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解析:由图象可知
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?7π π? A=1,T=4×?12-3?=π,则 ? ?

ω=2.因为

?7π ? 图象过点?12,-1?,所以 ? ?

? ? 7π 7π π sin?2×12+φ?=-1,则 +φ=2kπ- 6 2 ? ?
课 时 作 业

5π π π (k ∈ Z) , φ = 2kπ - (k ∈ Z) ,因为 |φ|< ,所以 φ = . 则 f(x) = 3 2 3
? ? π? π? π ? ? ? ? sin 2x+3 =sin 2 x+6 ,所以向右平移6个长度单位. ? ? ? ?

答案:A

第41页

专题二

第一讲

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3 . (2014· 乌 鲁 木 齐 第 一 次 诊 断 ) 函 数 f(x) = 2sin(ωx + φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示,其中 A,B 两点之间的距 离为 5,则 f(x)的单调递增区间是________.

课 时 作 业

第42页

专题二

第一讲

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T 解析:由题意知|AB|=5,|yA-yB|=4,所以|xA-xB|=3,即 2
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?π ? 2π π =3,所以 T= =6,ω= .由 f(x)=2sin?3x+φ?过点(2,-2), ω 3 ? ?



? 2π ? 2sin ? 3 +φ? = - 2,0≤φ≤π , 解 得 ? ?

5π φ = , 所 以 f(x) = 6

?π 5π? 2sin ?3x+ 6 ? ,由 ? ?

π π 5π π 2kπ - 2 ≤ 3 x + 6 ≤2kπ + 2 (k ∈ Z) ,解得 6k -

课 时 作 业

4≤x≤6k- 1(k ∈ Z),故函数 f(x)的单调递增区间为 [6k- 4,6k- 1](k∈Z).
答案:[6k-4,6k-1](k∈Z)
第43页

专题二

第一讲

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考点三
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三角函数的性质

【自主回顾】 (1)求形如 y=Asin (ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ)(A、ω、φ 为常 数,A≠0,ω>0)的单调区间的一般思路是令 ωx+φ=z,则 y= Asin z(或 y=Acos z),然后由复合函数的单调性求得. (2)求函数 y=Asin (ωx+φ)的奇偶性,应先考虑其定义域, 若定义域关于原点对称,则 φ=kπ(k∈Z)时,函数为奇函数;φ π =kπ+2(k∈Z)时,函数为偶函数.
课 时 作 业

第44页

专题二

第一讲

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(3)求三角函数的周期,一般是先化原函数为 y=Asin (ωx+ φ)(或 y=Acos(ωx+φ))的形式(A、ω、φ 为常数,A≠0,ω≠0),
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2π 其最小正周期 T=|ω|.特别应注意 y= π |Asin (ωx+φ)|的周期为 T= . |ω|
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第45页

专题二

第一讲

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求函数 y=Asin (ωx+φ)的单调区间时,一般选择 ω>0,当
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ω<0 时,要转化为 y=-Asin (-ωx-φ),再求单调区间. 1.(2014· 合肥高三模拟)已知函数 f(x)=2sin (ωx+φ),x∈R, π 其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π,且当 x=2时, f(x)取得最大值,则( )
课 时 作 业

第46页

专题二

第一讲

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A.f(x)在区间[-3π,-π]上是减函数 B.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数
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C.f(x)在区间[0,2π]上是减函数 D.f(x)在区间[π,3π]上是增函数
课 时 作 业

第47页

专题二

第一讲

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1 π 解析:由 T=6π 可知 ω= ;由 x= 时,f(x)取得最大值,可 3 2
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1 π π π 知 × +φ= +2kπ,(k∈Z),由题意-π<φ≤π 所以 φ= ,所以 3 2 2 3 f(x)=2sin
?x π? ? + ?,易知 ?3 3 ?

B 正确,故选 B.

课 时 作 业

答案:B

第48页

专题二

第一讲

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2. (2014· 郑州市普通高中毕业班质检 )已知函数 f(x)=3sin
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? π? ?ωx- ?(0<ω<2)图象的一条对称轴方程为 6? ?

? π? π x=3, 若 x∈?0,2?, 则 ? ?

f(x)的取值范围是________.
课 时 作 业

第49页

专题二

第一讲

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π π π π 解析:函数 f(x)的图象关于 x= 对称,∴ ω- = +kπ,∴ 3 3 6 2
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ω=3k+2,又∵0<ω<3∴ω=2,f(x)=3sin

? π? ?2x- ?,当 6? ?

? π? x∈?0,2? ? ?
课 时 作 业

? π? ? 3 ? π ? π 5 ? 时,2x- ∈?-6,6π?,3sin ?2x-6?∈?-2,3?,∴f(x)的取值范 6 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 围是?-2,3?. ? ?
? 3 ? 答案:?-2,3 ? ? ?

第50页

专题二

第一讲

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【典例剖析】
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1 (2014· 福建卷)已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)-2. π 2 (1)若 0<α<2,且 sin α= 2 ,求 f(α)的值; (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.
课 时 作 业

第51页

专题二

第一讲

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【思路启迪】 第(1)问先根据已知条件求出 α 的值(或求出 cos α 的值),再代入题干函数解析式求出 f(α)的值;第(2)问先利
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用三角函数降幂公式将 f(x)转化,再用三角函数的性质解题.
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第52页

专题二

第一讲

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π 2 2 【解】 解法一: (1)因为 0<α<2, sin α= 2 , 所以 cos α= 2 .
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2 ? 2? ? 2 ? 1 1 所以 f(α)= ×? + ?- = . 2 ?2 2? 2 2 1 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos x- 2
2

1+cos 2x 1 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 =2sin 2x+2cos 2x

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专题二

第一讲

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? π? 2 = 2 sin ?2x+4?, ? ?
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2π 所以 T= =π. 2 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 2 4 2 3π π kπ- 8 ≤x≤kπ+8,k∈Z. 所以
? 3π π? f(x)的单调递增区间为?kπ- 8 ,kπ+8?,k∈Z. ? ?
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专题二

第一讲

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1 解法二:f(x)=sin xcos x+cos x- 2
2

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1+cos 2x 1 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 π? 2 ? = sin?2x+4?. 2 ? ? π 2 π (1)因为 0<α<2,sin α= 2 ,所以 α=4,
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专题二

第一讲

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π? 2 ? 2 3π 1 ? ? 2 α + 从而 f(α)= 2 sin 4?= 2 sin 4 =2. ?
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2π (2)T= 2 =π. π π π 由 2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2,k∈Z,得 3π π kπ- 8 ≤x≤kπ+8,k∈Z. 所以
? 3π π? f(x)的单调递增区间为?kπ- 8 ,kπ+8?,k∈Z. ? ?
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第一讲

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研究三角函数的值域、最值、周期、单调性、奇偶性、对
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称性等性质,首先要将函数解析式化为标准形式,再结合图形求 解.
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【举一反三】 (2014· 山东济南一模)已知函数 f(x)=
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4cos

? π? ωxsin?ωx-6?+1(ω>0)的最小正周期是 ? ?

π.
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(1)求 f(x)的单调递增区间; (2)求
? π 3π ? f(x)在?8, 8 ?上的最大值和最小值. ? ?

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第一讲

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? π? ωx· sin?ωx-6?+1 ? ?

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解:(1)f(x)=4cos
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=2 3sin ωxcos ωx-2cos2ωx+1 = 3sin 2ωx-cos 2ωx
? π? =2sin?2ωx-6?, ? ?
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2π 最小正周期是2ω=π, 所以 ω=1,从而
? π? f(x)=2sin?2x-6?. ? ?

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专题二

第一讲

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π π π π π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ(k∈Z),解得- +kπ≤x≤ + 2 6 2 6 3
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kπ(k∈Z). 所以函数 (2)当
? π ? π f(x)的单调递增区间为?-6+kπ,3+kπ?(k∈Z). ? ?
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?π 3π? π ? π 7π? x∈?8, 8 ?时,2x-6∈?12,12?, ? ? ? ?

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专题二

第一讲

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? π? ? f(x)=2sin?2x-6?∈? ? ? ? ?
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6- 2 ? ? , 2 ?, 2 ? 6- 2 2, 2 .
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所以

?π 3π? f(x)在?8, 8 ?上的最大值和最小值分别为 ? ?

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第一讲

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1.在利用图象确定解析式研究性质问题时,A 比较容易求, 困难的是求 ω 和 φ,而一般由图象可知周期 T,由 T 求出 ω,确 定 φ 时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的 横坐标 x0,令 ωx0+φ=0(或 ωx0+φ=π)即可求出 φ,有时还可利 用一些已知点(最高点和最低点)的坐标确定 φ 和 ω.若对 A,ω 符 号或对 φ 范围有所需求,可用诱导公式变换,使其符合要求.还 可先画出 y=Asin ωx 的图象,利用图象平移求得 φ 值.
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第62页

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第一讲

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2.形如 y=Asin (ωx+φ)(A· ω≠0)的单调区间的求法是先考 虑 A、ω 的符号,再将 ωx+φ 视为整体,利用 y=sin x 的单调区
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间,整体运算,解出 x 的范围即可.另外,在求函数的单调区间 时,我们还要注意复合函数单调性的应用.
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1.变换对象不明确致误
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函数 y=sin

? π? π ?5x- ?的图象向右平移 个单位长度,再把所 2? 4 ?
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1 得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,所得函数解析式为 2 ( )

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专题二

第一讲

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? 3π? ?10x- ? 4? ? ? 3π? ?10x- ? 2? ?

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A.y=sin
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B.y=sin D.y=sin

? 7π? ?10x- ? 2? ? ? 7π? ?10x- ? 4? ?
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C.y=sin 【错解】 得 y=sin

π 错解一:将原函数图象向右平移 个单位长度, 4

? ? π π? 3π? ?5x- - ?=sin ?5x- ?, 4 2? 4 ? 再把所得图象上各点的横坐 ? ?

? 3π? 1 标缩短为原来的2,得 y=sin ?10x- 4 ?.故选 A. ? ?

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第一讲

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π 错解二:将原函数图象向右平移 个单位长度,得 y = sin 4
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? π π? 5?x-4-10?=sin ? ?

? 7π? 5?x-20?, 再把所得图象上各点的横坐标缩短为 ? ?
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? 7π? 1 原来的 ,得 y=sin 10?x-20?.故选 B. 2 ? ?

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第一讲

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π 错解三:将原函数图象向右平移 个单位长度,得 y = sin 4
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? ? π π? 3π? ?5x- - ?=sin ?5x- ?,再把所得图象上各点的横坐标缩短为 4 2? 4? ? ? ? ? 3π? 3π? 1 原来的 ,得 y=sin 2?5x- 4 ?=sin ?10x- 2 ?.故选 C. 2 ? ? ? ?
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专题二

第一讲

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【错因分析】 这三种解法错误的原因在于没有抓住变换的 对象.错解一在平移变换时把 5x 看做变换对象;错解二中,在
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伸缩变换时把

? 7π? 5?x-20?看成了变换对象;错解三则犯了上述两种 ? ?
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3π 错误,既把 5x 看做变换的对象,又把 5x- 4 看成了变换的对 象. 事实上无论是平移变换还是伸缩变换都应紧紧抓住变元是谁 π 这个关键. 在本例中, 变元 x 才是变换的对象, 图象向右平移4个

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第一讲

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π π 单位,是将自变量 x 减去4个单位长度,即将 x 换成 x-4,其余 1 的不变,压缩横坐标到原来的2倍,是将 x 换成 2x,其余的不变.
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第一讲

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【正解解答】
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π 将原函数向右平移 个单位长度,所得函数 4
? ? ? π? π? 7π? ? ? ? - ?=sin ?5x- 4 ?,再把所得图象上 ?5?x-4? ? 2? ? ? ?
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解析式为:y=sin

? 7π? 1 各点的横坐标缩短为原来的 ,得 y=sin?10x- 4 ?.故选 D. 2 ? ?

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第一讲

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在用图象变换作图时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平
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移也经常出现在题目中,所以必须熟练掌握,无论是哪种变换, 切记每一个变换总是对字母 x 而言, 即图象变换要看“变量”起 多大变化,而不是“角变化”多少.
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第72页

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第一讲

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? π? (2014· 南昌模拟)把函数 y=sin?x+6?图象上各点的横坐标缩 ? ?

1 π 短为原来的2倍(纵坐标不变),再将图象向右平移3个单位,那么 所得图象的一条对称轴方程为( π A.x=-2 π C.x= 8 π B.x=-4 π D.x= 4 )

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专题二

第一讲

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解析:依题意得,经过图象变换后得到的图象相应的解析式
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是 y=sin

? ? ? π? π? π? ? ? ? +6?=sin ?2x-2?=-cos ?2?x-3? ? ? ? ? ?

π 2x,注意到当 x=-2
课 时 作 业

时,y=-cos(-π)=1,此时 y=-cos 2x 取得最大值,因此直线 π x=-2是该图象的一条对称轴,选 A.
答案:A

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2.三角函数的图象与性质问题的解题程序
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已知函数 f(x)=Asin 象如图所示.

? π? (ωx+φ)?x∈R,ω>0,0<φ<2?的部分图 ? ?
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第一讲

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(1)求函数 f(x)的解析式;
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(2)求函数

? π? ? π? g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ?

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【审题程序】 利用周期求 ω;
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?5π ? 利用特殊点?12,0?求 ? ?

φ;
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利用特殊点(0,1)求 A,得函数 f(x)的解析式; 化 g(x)为标准形式 g(x)=Asin (ωx+φ); 把 ωx+φ 看做一个整体,求 g(x)的单调区间.

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第一讲

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【规范解答】 (1)由图象知,周期
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?11π 5π? T=2? 12 -12?=π, ? ?

2π 所以 ω= T =2.
?5π ? 因为点?12,0?在函数图象上, ? ?
课 时 作 业

所以 Asin 即 sin

? ? 5π ?2× +φ?=0, 12 ? ?

?5π ? ? +φ?=0. ?6 ?

π 5π 5π 4π 又因为 0<φ<2,所以 6 < 6 +φ< 3 ,
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第一讲

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5π π 从而 +φ=π,即 φ= . 6 6
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π 又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin =1,即 A=2. 6 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin (2)g(x)=2sin
? ? π ? π? ? ? ? ? x - 2 + -2sin ? ? 12? 6? ? ? ? π? ?2x+ ?. 6? ? ? ? π ? π? ? ? ? ? x + 2 + ? ? 12? 6? ? ?
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第一讲

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? π? ?2x+ ? 3? ? ? 3 ? 2x+ 2 cos 2x? ?

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=2sin 2x-2sin
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=2sin

?1 2x-2? ?2sin ?

=sin 2x- 3cos 2x =2sin
? π? ?2x- ? 3? ?

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π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2

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π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12
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所以函数

? π 5π ? g(x)的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ? ?
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【答题模板】
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根据图象确定第一个平衡点、第二个

平衡点或最高点、最低点; 利用特殊点列方程求解参数值; 化函数解析式为标准形式; 将“ωx+φ”作为一个整体,研究函数的性质; 回顾反思,查看关键点、易错点及答题规范.
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(2014· 保定调研)已知函数 f(x)=
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3sin xcos x-cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)当 的值.
? π? x∈?0,2?时,求函数 ? ?
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f(x)的最大值和最小值及相应的 x

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3 1 1 解:(1)因为 f(x)= 2 sin 2x-2cos 2x-2
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? π? 1 =sin?2x-6?-2, ? ?

2π 所以 T= ω =π,故 f(x)的最小正周期为 π. π π π π π 2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2,k∈Z,所以 kπ-6≤x≤kπ+3,k ∈Z,则 函数
? π π? f(x)的单调递增区间为?kπ-6,kπ+3?,k∈Z. ? ?

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π π π 5π (2)因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ , 2 6 6 6
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π π π 1 所以当 2x- = ,即 x= 时, f(x)有最大值 ; 6 2 3 2 π π 当 2x-6=-6,即 x=0 时, f(x)有最小值-1.
课 时 作 业

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请做:课时作业(五)

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