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湖北省黄冈市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 文(含解析)

黄冈市 2017 年春季高二年级期末考试 数学试题(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1. 已知复数 A. B. C. ,若 是纯虚数,则实数 等于( D. )

【答案】B 【解析】 是纯虚数,则 解得 ,选 B ) 且 .....................

2. 已知集合 A={-1,}, B={x|mx-1=0}, 若 A∩B=B, 则所有实数 m 组成的集合是( A. {-1,2} 【答案】C 【解析】 (1) (2) 综上, ,则 选C ,则 ,解得 B. {-,0,1} C. {-1,0,2} D. {-1,0, }

点睛:(1)认清元素的属性,解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他 情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时, 要注意检验集合中元素的互异性, 否则 很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关 虑 是否成立,以防漏解. 3. 用反证法证明命题:若整系数一元二次方程 中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是( A. 假设 C. 假设 【答案】B 【解析】“若整系数一元二次方程 少有一个是偶数”的反证假设是“假设 有有理根,那么 都不是偶数” 选 B 中至 都是偶数 B. 假设 都不是偶数 D. 假设 至多有两个是偶数 ) 有有理根,那么 等集合问题时, 往往忽略空集的情况, 一定先考

至多有一个是偶数

4. 设 A. 【答案】B 【解析】 B.

,则( C.

) D.



, )

选B

5. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 的值是(

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

【答案】C 【解析】 (1)K=0,S=100,不成立 (2)K=1,S=99,不成立 (3)K=2,S=97,不成立 (4)K=3,S=93,不成立 (5)K=4,S=85,不成立 (6)K=5,S=69,不成立 (7)K=6,S=37,不成立 (8)K=7,S=-27,成立选 C 点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关 概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止 条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项. 6. 函数 A. 单调递增区间是( B. C. ) D.

【答案】C 【解析】 x

-

0

+

则单调增区间为 7. 函数 A. (0,1) 【答案】B 【解析】试题分析: 数零点在区间(1,2)内

选C 的零点所在的大致区间是 ( B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) )

,所以函

考点:函数零点存在性定理 8. 观察式子: A. C. 【答案】A 【解析】右边分子 则 选A 9. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( ) ,则分子为 ,而分母为 , B. D. , …, 则可归纳出式子为 ( )

A. 消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C. 甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D. 某城市机动车最高限速 80 千米/小时.相同条件下, 在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【解析】试题分析:对于 A,消耗升 汽油,乙车行驶的距离比 千米小得多,故错;对于 B, 以相同速度行驶相同路程,三辆车中甲车消耗汽油最少,故错;对于 C, 甲车以 千米/小 时的速度行驶 小时,消耗 升汽油, 故错;对于 D,车速低于 千米/小时,丙的燃油效率高 于乙的燃油效率,用丙车比用乙车量多省油,故对.故选 D. 考点:1、数学建模能力;2、阅读能力及化归思想. 10. 函数 f(x)=lnx-x2 的图象大致是 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】定义域为 , 舍去 取极大值

选B 11. 若不等式 x2﹣ax+a>0 在(1,+∞)上恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. [0,4] 【答案】C 【解析】不等式 x2﹣ax+a>0 在(1,+∞)上恒成立,则 原题转为 设 恒成立,即 B. [4,+∞) C. (﹣∞,4) D. (﹣∞,4] )

则 则

为 选C

在(1,+∞)上最小值,

12. 函数

是定义在 上的偶函数,且满足 .若在区间 上方程

.当

时,

恰有四个不相等的实数根,则实数 的

取值范围是( A. 【答案】A 【解析】由 由当 令 由下图得 B.

) C. D.

可知 时,

是周期为 2 的偶函数 时, 在区间 有四个交点

和偶函数知当

,则问题转化为 图象在直线 AB 与 AC 之间时

有四个交点 选A

直线 AB 斜率,直线 AC 斜率,故

点睛: 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、 草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称 性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等. 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13. 若 a10=,am= ,则 m=______. 【答案】5 【解析】 14. 某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 天的用电 量与当天气温(如表) ,并求得线性回归方程为 =-2x+60.不小心丢失表中数据 c,d,那 么由现有数据知 2c+d=______.

x y

c 24

13 34

10 38

-1 d

【答案】100 【解析】

点睛:函数关系是一种确定的关系,相关关系是一种非确定的关系.事实上,函数关系是两

个非随机变量的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关,则直接 根据用公式求 15. 若函数 【答案】[1,5) 【解析】试题分析:由题意, 考点:函数在某点取得极值的条件. 点评:考查利用导数研究函数的极值问题,体现了数形结合和转化的思想方法. 16. 已知函数 点之和是___________. 【答案】 【解析】试题分析:由 或 当 和为 .当 时可得 ,应填 . 可得 时可得 或 或 ,所以由 或 ,解之得 可得 ,解之得 ; ,则函数 的所有零 ,则 ,解得 . ,写出回归方程,回归直线方程恒过点 在区间 .

恰有一个极值点,则实数 的取值范围为___

,故所有零点之

考点:复合函数的零点和计算. 【易错点晴】函数的图像和性质是高中数学中的重要知识点之一,也高考和各级各类考试的 重要内容和考点.函数的零点问题一直是高中数学教与学的难点内容.本题以分段函数为背 景,重点考查的是函数的零点的概念及解指数方程、 分式方程、 二次方程等有关知识和方法. 求解时,充分借助分段函数的对应关系和条件分类求解,并进行合理取舍,从而问题简捷巧妙 地获解. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17. 命题 关于 的不等式 是增函数,若 【答案】 【解析】试题分析:分别求出命题 P,Q 为真时实数 的取值范围,再根据 为真得 P 的解集为 ;命题 函数 为真,求实数 的取值范围.

假 Q 真,解不等式组得实数 的取值范围. 试题解析:解: 或 若 , 或 ;

为真,则 真且 真,∴
2

18. 已知函数 h(x)=(m -5m+1)x 为幂函数,且为奇函数. (I)求 m 的值; (II)求函数 g(x)=h(x)+ 【答案】 (1)m=0(2) 【解析】试题分析: (1)根据幂函数定义得 m2-5m+1=1,解得 m=0 或 5,再根据幂 函数为奇函数得 m=0(2)换元将函数化为一元二次函数,结合自变量取值范围与定义区间 位置关系确定函数最值,得函数值域 试题解析:解:(1)∵函数 h(x)=(m -5m+1)xm+1 为幂函数,∴m -5m+1=1,. 解得 m=0 或 5 又 h(x)为奇函数,∴m=0 (2)由(1)可知 g(x)=x+ 令
2 2 2

m+1

,x∈

的值域.

,x∈



=t,则 x=- t + ,t∈[0,1], (t-1)2+1∈ ,故 g(x)=h(x)+ ,x∈

∴f(t)=- t2+t+ =- 的值域为 .

19. 某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于 120 分为优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文 科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 . 优秀 甲班 乙班 合计 10 30 110 非优秀 合计

(I)请完成上面的列联表; (II)根据列联表的数据,若按 99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (III)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人;把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行 编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 9 号或 10 号的概率. 【答案】 (1)见解析(2)不能认为(3) 【解析】试题分析: 思路分析:此类问题(1) (2)直接套用公式,经过计算“卡方”,与数表对比,作出结论。 (3)是典型的古典概型概率的计算问题,确定两个“事件”数,确定其比值。 解: (1) 4分 优秀 非优秀 合计

甲班

10

50

60

乙班

20

30

50

合计

30

80

110

(2)根据列联表中的数据,得到 K2= ≈7.487<10.828.因此按 99.9%的 可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” 8分

(3) 设“抽到 9 或 10 号”为事件 A, 先后两次抛掷一枚均匀的骰子, 出现的点数为 (x, y) . 所 有的基本事件有: (1,1) 、 (1,2) 、 (1,3) 、…、 (6,6)共 36 个.事件 A 包含的基本事件 有: (3,6) 、 (4,5) 、 (5,4) 、 (6,3) 、 (5,5) 、 (4,6) (6,4)共 7 个.所以 P(A)= , 即抽到 9 号或 10 号的概率为 . 12 分 考点:“卡方检验”,古典概型概率的计算。

点评:中档题,独立性检验问题,主要是通过计算“卡方”,对比数表,得出结论。古典概 型概率的计算中,常用“树图法”或“坐标法”确定事件数,以防重复或遗漏。 20. 某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到有关部门的关注,据有关统计数据显示,从上 午 6 点到中午 12 点,车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之 间的关系可近似地用如下函数给出:

求从上午 6 点到中午 12 点,通过该路段用时最多的时刻. 【答案】上午 8 点 【解析】试题分析:分别求三段对应函数最大值,最后取三个最大值的最大值.三段分别对 应三次函数、一次函数、二次函数,对应求最值方法为导数法,单调性法以及对称轴与定义 区间位置关系数形结合法. 试题解析:解:①当 6≤t<9 时, y′=- t2- t+36=- (t+12)(t-8). 令 y′=0,得 t=-12(舍去)或 t=8. 当 6≤t<8 时,y′>0,当 8<t<9 时,y′<0, 故 t=8 时,y 有最大值,ymax=18.75. ②当 9≤t≤10 时,y= t+ 是增函数, 故 t=10 时,ymax=16. ③当 10<t≤12 时,y=-3(t-11)2+18, 故 t=11 时,ymax=18. 综上可知,通过该路段用时最多的时刻为上午 8 点. 21. 已知函数 (I)求函数 (II)若函数 【答案】 (1) (2) 【解析】 试题分析: (1) 求出导函数 , 解不等式 得增区间, 解不等式 时,增区间 的单调区间; 上是减函数,求实数 a 的最小值. ; 时,单调减区间 .

得减区间; (2)题意说明



上恒成立,即不等式

恒成

立,

,因此问题转化为求 的定义域均为

的最大值. ,且 .

试题解析:由已知函数

(1)函数

当 所以函数



时, 的单调减区间是

;当

时, ,增区间是

. . 在 上恒成立.

(2)因 f(x)在 所以当 又 故当 所以 ,即 于是

上为减函数,故 时, . , 时, .

,故 a 的最小值为.

考点:导数与单调性,导数的综合应用. 【名题点睛】在导数的应用中,用导数求单调区间是常见问题,常用方法是角不等式 得增区间,解不等式 数, 则所用结论变为 是减函数, 则所用结论变为 在 在 得减区间,但如果已知 在区间 上是增函 在区间 上

时恒成立 (同样, 如果已知 时恒成立) , 主要是

的孤立零点对

单调性没有影响.在等价转化时要注意,否则易漏解. 22. 选修 4-4:坐标系与参数方程 设直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极

轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin2θ =4cosθ . (I)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (II)设直线 l 与曲线 C 交于 M,N 两点,点 A(1,0) ,求 的值.

【答案】 (1)

(2) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐 ,再将直线参

【解析】试题分析: (1)根据 标方程, (2)由直线参数方程几何意义得 数方程代入曲线 C,利用韦达定理代入化简得结果

试题解析:解: (1)由曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin2θ =4cosθ ,即 ρ 2sin2θ =4ρ cosθ , 可得直角坐标方程:y =4x.
2

(2)把直线 l 的参数方程

(t 为参数)代入曲线 C 的直角坐标方程可得:3t

2

﹣8t﹣16=0, ∴t1+t2= ,t1t2=﹣ ∴|t1﹣t2|= . = = .



+

=

=

=1.

23. 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-a|. (I)若 f(x)的最小值为 2,求 a 的值; (II)若 f(x)≤|2x-4|的解集包含[-2,-1],求 a 的取值范围. 【答案】 (1) (2)

【解析】试题分析: (1)由绝对值三角不等式可得函数 f(x)的最小值为|a+1|,再解方程 |a+1|=2,可得 a 的值; (2)即 x∈[﹣2,﹣1]时,f(x)≤|2x﹣4|恒成立,化简得|2x﹣ a|≤5 恒成立,即﹣5+2x≤a≤5+2x 恒成立,可得 a 的取值范围. 试题解析:解: (1)∵函数 f(x)=|2x+1|+|2x﹣a|≥|2x+1﹣(2x﹣a)|=|a+1|,且 f(x) 的最小值为 2,∴|a+1|=2,∴a=1 或 a=﹣3. (2)f(x)≤|2x﹣4|的解集包含[﹣2,﹣1],即 x∈[﹣2,﹣1]时,f(x)≤|2x﹣4|恒 成立, 即|2x+1|+|2x﹣a|≤|2x﹣4|恒成立,即﹣2x﹣1+|2x﹣a|≤4﹣2x 恒成立, 即|2x﹣a|≤5 恒成立,即﹣5+a≤2x≤5+a 恒成立,即 ,

∴﹣7≤a≤1 点睛:不等式有解是含参数的不等式存在性问题时,只要求存在满足条件的 x 即可;不等式 的解集为 R 是指不等式的恒成立, 而不等式的解集?的对立面(如 f(x)>m 的解集是空集, 则

f(x)≤m 恒成立)也是不等式的恒成立问题,此两类问题都可转化为最值问题,即 f(x)<a
恒成立?a>f(x)max,f(x)>a 恒成立?a<f(x)min.