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2019学年人教版新课标高中数学必修三教案1.1.1算法的概念

(人教版)精品数学教学资料
1.1.1 算法的概念

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 (1)了解算法的含义,体会算法的思想.(2)能够用自然语言叙述算法.(3)掌握正确的算 法应满足的要求.(4)会设计一些简单问题的算法. 2.过程与方法 通过求解二元一次方程组, 体会解方程的一般性步骤, 从而得到一个解二元一次方程组 的步骤,这些步骤就是算法.不同的问题有不同的算法,由于思考问题的角度不同,同一个 问题也可能有多个算法, 能模仿求解二元一次方程组的步骤, 写出一个求有限整数序列中的 最大值的算法. 3.情感、态度与价值观 通过本节的学习,使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解,明确算法的要求,认 识到计算机是人类征服自然的一个有力工具,进一步提高探索、认识世界的能力. ●重点难点 重点:算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计. 难点:把自然语言转化为算法语言.

(教师用书独具)

●教学建议 1.算法这部分的实用性很强,与日常生活联系紧密,虽然是新引入的章节,但很容易 激发学生的兴趣, 让学生明确算法实际上就是解决某一类问题的一种程序化方法. 重点培养 学生的算法意识,这是在算法教学中始终要注意的. 2.本节课宜采用“问题探究式”教学法,以教材中的两个例题为引线,先让学生回顾 这两个问题的解题过程,自己动手整理出步骤.并用有条理的语言叙述出来.通过这样的教 学, 使学生体会设计算法的基本思路, 同时教师以多媒体为辅助手段, 让学生主动发现问题、 分析问题、解决问题,培养学生的探究论证、逻辑思维能力 . ●教学流程 创设问题情境引出问题:如何用自然语言叙述用二分法求近似解的过程? 引导学生回顾用二分法求近似解的步骤,并尝试用自然语言叙述 ?通过引导, 让学生自主

探究,发现算法的概念及特征? 通过例1的讲解让学生进一步明确算法的特征

?

通过例2及例3的讲解,让学生进一步体会算法设计的关键及应注意的问题

? ?

归纳整理,进行课堂小结,整体把握本节知识 完成当堂双基达标,巩固所掌握的知识,并进行反馈矫正

(见学生用书第 1 页)

课标解读

1.算法的概念的理解.(重点) 2.算法的应用.(难点)

算法的概念 【问题导思】 电视娱乐节目中, 有一种有趣的“猜数”游戏: 竞猜者如在规定的时间内猜出某种商品 的价格(或重量等),就可获得该件商品. 现有一商品,价格在 0~8 000 元之间,采取怎样的策略才能在较短的时间内猜出正确 的答案呢? 解决这个问题有多种途径,其中一种较好的方法是: 第一步 报“4 000”. 第二步 若主持人说:“高了”(说明答数在 0~4 000 之间),就报“2 000”;否则(答数 在 4 000~8 000 之间)报“6 000”. 第三步 重复第二步的报数方法,直至得到正确结果. 1.竞猜者每一步的报价有一定的规则吗? 【提示】 有,报价为上一个有效范围的中间值. 2.猜出这种商品的步骤是有限的吗? 【提示】 是. 数学中的算法通常指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. 算法与计算机 计算机解决任何问题都要依赖于算法,只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤, 即算法,并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来,计算机才能够解决问 题 .

(见学生用书第 1 页)

算法的概念 有下列说法: ①从连云港到海南旅游,先坐火车,再坐飞机. ②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化 1. ③求过两点 A(1,3),B(5,6)的直线方程,可先计算直线 AB 的斜率,再根据点斜式求得直 线方程. ④求 1×2×3×4 的值,先计算 1×2,再计算 2×3,最后计算 6×4 得最终结果. 其中,算法的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D .4 【思路探究】 解答本题可利用算法的概念及特征逐一验证. 【自主解答】 ①中说明了从连云港到海南的行程安排完成任务. ②中给出了求一元一 次方程这一类问题的解决方法.③给出了过两点求直线方程的方法.对于④给出了求 1×2×3×4 的过程并得出结果.故①②③④都是算法. 【答案】 D

1.解决与算法概念有关的问题要明确算法的几个特征:有限性、确定性、可行性及不 唯一性. 2. 判断一个语句是否为算法的关键是看该语句是否满足算法的含义或符合算法的特征. 下列语句不是算法的是________.(填写序号) ①从济南到巴黎,可以先乘火车到北京,再坐飞机抵达巴黎. ②利用公式 s=4πr2,计算半径为 2 的球的表面积,即计算 4π×22. ③方程 2x2-x-1=0 有两个实数根. 1 ④ x>x+2. 2 【解析】 ①②都描述了解决问题的过程,可以看作算法,而③④只描述了一个事实, 没说明如何解决问题,不是算法. 【答案】 ③④ 算法设计 x+y=-2 ② 的解的算法.

写出求方程组{3x-2y=14,



【思路探究】 本题主要考查算法的设计, 以解方程组的两种方法为突破口, 进行设计. 【自主解答】 法一 第一步,②×2+①,得 5x=14-4.③ 第二步,解方程③,得 x=2.④ 第三步,将④代入②,得 2+y=-2.⑤ 第四步,解⑤得 y=-4. 第五步,得到方程组的解为{x=2, y=-4. 法二 第一步,由②式移项可得 x=-2-y.③ 第二步,把③代入①,得 y=-4.④ 第三步,把④代入③,得 x=2. 第四步,得到方程组的解为{x=2, y=-4.

1.该类问题属于数值性计算问题(如解方程、解不等式、直接套用公式求解等),其求 解思路是:借助一般数学计算方法,分解成清晰的步骤,直到算出结果即可.

2.算法设计的一般步骤:

写出求方程组 {x+y+z=12, x-3y-z=16, x-y-z=-2 解的算法步骤. 【解】 法一 第一步,①+③,得 x=5.④ 第二步,将④分别代入①和②可得{y+z=7, y+z=-1. ⑤ ⑥ 第三步,⑥-⑤可得,y=-4.⑦ 第四步,将⑦代入⑤可得 z=11. 第五步,得到方程组的解为{x=5, y=-4, z=11. 法二 第一步,(①+②)÷ 2 得 2x-y=14.④ 第二步,(②-③)÷ 2 得 x-y=9.⑤ 第三步,④-⑤,得 x=5.⑥ 第四步,将⑥代入⑤,得 y=-4.⑦ 第五步,将⑥和⑦代入①式,得 z=11. 第六步,得到方程组的解为{x=5, y=-4, z=11.



② ③的

已知函数 y={x+1 求对应的函数值.

?x<1?, -x

2

算法的应用 ?x≥1?, 试设计一个算法,输入 x 的值,

【思路探究】 解答本题的关键是对 x 进行判断,根据 x 的不同范围求出 y,输出 y 的 值. 【自主解答】 算法如下: 第一步,输入 x 的值. 第二步,当 x<1 时,计算 y=x+1;否则执行第三步. 第三步,计算 y=-x2. 第四步,输出 y.

1.本题是分段函数的求值问题,设计算法时,要对输入的自变量值分类. 2.设计算法解决具体问题时,通常按自然语言确定问题的解法,然后根据算法的要求 设计成一系列的操作步骤.
? 1 若将本例函数改为 y=?-x ?x<0?, ?

?x=0?,

1 ?x>0?, 该如何设计算法? x

【解】 算法如下: 第一步,输入 x 的值. 1 第二步,若 x<0,则计算 y=- ;否则执行第三步. x 第三步,若 x=0,则 y=0;否则执行第四步.

1 第四步,计算 y= . x 第 y. 五 步 , 输 出

(见学生用书第 3 页) 不理解算法的含义而致误 下列关于算法的说法中,正确的是( ) A.算法就是某个问题的解题过程 B.算法执行后可以不产生确定的结果 C.解决某类问题的算法不是唯一的 D.算法可以无限制地操作下去,永不停止 【错解】 算法是解决问题产生的,因此是解题过程;算法计算的结果可能随机产生; 算法有可能持续执行,重复不断. 【答案】 A 或 B 或 D 【错因分析】 错选 A,不理解算法的含义,算法是为了解决某一类问题而采取的方法 和步骤,而一个解题过程不等同于算法.错选 B,不符合算法特征的逻辑性,即算法具有确 定性和顺序性,算法执行后得到确定的结果,不是模棱两可的.错选 D,不符合算法特征的 有穷性,操作必须是在有限步之内完成. 【防范措施】 1.正确理解算法的含义. 2.明确算法的特征:(1)有限性 (2)确定性 (3)顺序性与正确性 (4)不唯一性 (5)普 遍性. 【正解】 求解某一个问题的算法不是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. 【答案】 C

本节主要讲解了算法的概念及算法的设计 1.对算法的概念应注意以下两点: (1)算法不同于一般意义上的解决某一具体问题的方法,它是解决某一类问题的步骤或 程序,其所包含的步骤必须是有限个. (2)求解某个具体问题的算法不一定唯一,但算法的每一步都有唯一的结果. 2.算法设计的要求: (1)写出的算法必须能解决一类问题. (2)要使算法尽量简单、步骤尽量少. (3)要保证算法正确,且计算机能够执行.

(见学生用书第 3 页)

1.下列四种叙述,能称为算法的是( ) A.在家里一般是妈妈做饭 B.做饭需要刷锅、淘米、加水、加热这些步骤 C.在野外做饭叫野炊 D.做饭必须有米 【解析】 算法是解决某一类问题的步骤,它具有一定的规则,且每一步是明确的,故 只有 B 可称之为算法. 【答案】 B 2.下列所给问题: ①求半径为 1 的圆的面积. ②二分法解方程 x2-3=0. ③解方程组{x+y=5, x+5y=10. 其中可以设计算法求解的是________. 【解析】 ①②③都可以将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤. 故都可以设计算 法求解. 【答案】 ①②③ 3.输入一个 x 值,利用 y=|x-1|求函数值的算法如下,请将所缺部分补充完整: 第一步:输入 x. 第二步:________. 第三步:当 x<1 时,计算 y=1-x. 第四步:输出 y. 【解析】 以 x-1 与 0 的大小关系为分类准则知第二步:x-1≥0 即 x≥1 时,计算 y =x-1. 【答案】 当 x≥1 时,计算 y=x-1 4.设计一个解方程 x2-2x-3=0 的算法. 【解】 算法如下: 第一步,移项,得 x2-2x=3.① 第二步,①式两边加 1,并配方得(x-1)2=4.② 第三步,②式两边开方,得 x-1=± 2.③

第 1.













x



3



x





(见学生用书第 79 页) 一、选择题 1.以下关于算法的说法正确的是( ) A.描述算法可以有不同的方式,可用形式语言也可用其他语言 B.算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列,并且这样的步骤或序列只 能解决当前问题 C.算法过程要一步一步执行,每一步执行的操作必须确切,不能含混不清,而且经过 有限步或无限步后能得出结果 D.算法要求按部就班地做,每一步可以有不同的结果 【解析】 算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列, 并且这样的步骤或 计算序列能够解决一类问题,故 B 不正确. 算法过程要求一步一步执行,每一步执行操作,必须确切,只能有唯一结果,而且经过 有限步后,必须有结果输出后终止,故 C、D 都不正确. 描述算法可以有不同的语言形式,如自然语言、框图语言等,故 A 正确. 【答案】 A 2.下列叙述能称为算法的个数为( ) ①植树需要挖坑、栽苗、浇水这些步骤. ②顺序进行下列运算 1+1=2,2+1=3,3+1=4,…,99+1=100. ③3x>2x-1. ④求所有能被 3 整除的正数,即 3,6,9,12,…. A.1 B.2 C.3 D .4 【解析】 根据算法的含义与特征:①②都是算法.③④不是算法.其中③不是一个明 确的逻辑步骤,不符合逻辑性,④的步骤是无穷的. 【答案】 B 3.(2012· 济南高一检测)给出下面一个算法: 第一步,给出三个数 x,y,z. 第二步,计算 M=x+y+z. 1 第三步,计算 N= M. 3 第四步,得出每次计算结果. 则上述算法是( ) A.求和 B.求余数 C.求平均数 D.先求和再求平均数 【解析】 由算法过程知,M 为三数之和,N 为这三数的平均数. 【答案】 D 4.如下算法 (1)输入 n. (2)判断 n 是否为 2,若 n=2,则 n 满足条件;若 n>2,则执行下一步. (3)依次从 2 到 n-1 检验能不能整除 n,若不能整除 n,则 n 满足条件. 满足上述条件的 n 是( ) A.素数 B.奇数 C.偶数 D.合数

【解析】 由(3)可知 n 除了 1 及自身外没有其他因数,故 n 是素数. 【答案】 A 5.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、 吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程.下列选项中最好的一种算法是( ) A.第一步,洗脸刷牙.第二步,刷水壶.第三步,烧水.第四步,泡面.第五步,吃 饭.第六步,听广播 B.第一步,刷水壶.第二步,烧水同时洗脸刷牙.第三步,泡面.第四步,吃饭.第 五步,听广播 C.第一步,刷水壶.第二步,烧水同时洗脸刷牙.第三步,泡面.第四步,吃饭同时 听广播 D.第一步,吃饭同时听广播.第二步,泡面.第三步,烧水同时洗脸刷牙.第四步, 刷水壶 【解析】 最好算法的标准是方便、省时、省力. A 中共需 5+2+8+3+10+8=36(分钟), B 中共需 2+8+3+10+8=31(分钟), C 中共需 2+8+3+10=23(分钟), D 中共需 10+3+8+2=23(分钟)但算法步骤不合理,最好的算法为 C. 【答案】 C 二、填空题 6.已知直角三角形两条直角边分别为 a,b,写出斜边长为 c 的算法如下: 第一步:输入两直角边长 a,b 的值. 第二步:计算 c= a2+b2的值. 第三步:________. 将算法补充完整,横线处应填________. 【解析】 由算法的步骤知,第三步应为输出斜边长 c 的值. 【答案】 输出斜边长 c 的值 7.给出下列算法: 第一步,输入 x 的值. 第二步,当 x>4 时,计算 y=x+2;否则执行下一步. 第三步,计算 y= 4-x. 第四步,输出 y. 当输入 x=0 时,输出 y=________. 【解析】 ∵x=0>4 不成立,∴y= 4-x=2. 【答案】 2 8.已知 A(-1,0),B(3,2),下面是求直线 AB 的方程的一个算法,请将其补充完整: 第 一 步 , ________________________________________________________________________. 1 第二步,用点斜式写出直线 AB 的方程 y-0= [x-(-1)]. 2 第三步,将第二步的方程化简,得到方程 x-2y+1=0. 【解析】 该算法功能为用点斜式方法求直线方程, 第一步应为求直线的斜率, 应为“计 1 算直线 AB 的斜率 k= ”. 2 1 【答案】 计算直线 AB 的斜率 k= 2 三、解答题 9.设计一个算法计算 1×4×7×11×15 的值. 【解】 算法如下: 第一步,先求 1×4,得到结果为 4. 第二步,将第一步所得结果 4 再乘以 7 得到结果为 28. 第三步,将 28 乘以 11 得到结果为 308.

第四步,再将 308 乘以 15,得到结果为 4 620. 10.设计一个算法,求两底半径分别为 2 和 4,高为 4 的圆台的表面积及体积. 【解】 第一步,输入 r1=2,r2=4,h=4. 第二步,计算 l= ?r2-r1?2+h2. 1 2 2 2 第三步,计算 S=πr1 +πr2 2+π(r1+r2)l 与 V= π(r1+r2+r1r2)h. 3 第四步,输出计算结果. 11.写出求经过点 M(-2,-1),N(2,3)的直线与两坐标轴围成的三角形面积的一个算 法. 【解】 算法步骤如下: 第一步,输入 x1=-2,y1=-1,x2=2,y2=3. y-y1 x-x1 第二步,得直线方程 = . y2-y1 x2-x1 第三步, 在第二步的方程中, 令 x=0, 得 y 的值为 1, 从而得直线与 y 轴的交点为 B(0,1). 第四步, 在第二步的方程中, 令 y=0, 得 x 的值为-1, 从而得直线与 x 轴的交点为 A(- 1,0). 第五步,根据三角形的面积公式求 1 1 S= ×1×|-1|= . 2 2 第 果 六 步 , 输 出 运 算 结 .

(教师用书独具)

写出求 a,b,c 三个数中最小的数的算法. 【思路探究】 先比较 a,b 的大小,再用较小的一个比较与 c 的大小. 【自主解答】 算法步骤如下: 第一步,比较 a,b 的大小,若 a≤b,则 记 m=a;若 b<a,则记 m=b. 第二步,比较 m 与 c 的大小,若 m≤c, 则 m 为最小数;若 c<m,则记 m=c. 第三步,输出结果 m. 由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,若∠APB=60° ,试 设计一个算法,求动点 P 的轨迹方程.

【解】 连接 OA、OB(如图所示), 由题知 OP 平分∠APB,OA⊥AP,∠APO=30° . 在 Rt△APO 中, OP=2OA=2×1=2.∴点 P 是以点 O 为圆心, 以 2 为半径的圆上的点, 从而点 P 的轨迹方程为 x2+y2=4. 算法步骤如下: 第一步,说明 OA⊥AP; 第二步,说明∠OPA=30° ; 第三步,应用直角三角形性质,得 OP=2OA=2; 第四步,说明点 P 的轨迹是以原点为圆心,以 2 为半径的圆; 第五步,输出点 P 的轨迹方程 x2+y2=4.