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陕西省西安市第一中学2013届高三下学期期中考试数学(文)试题

西安市第一中学 2012-2013 学年度第二学期期中 高三年级数学(文科)试题
第 1 卷 选择题 (共 50 分)
命题人: 安红

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1. i 为虚数单位,则 ( (A) ?i
1 ? i 2013 ) =( 1? i

) (C) ?1 (D) 1 ) (D) 4 )

(B) i

?log x 2.已知 f (x) ? ? 2 ?f (x ? 1)
(A) 2

x ?0 x ?0

,则 f (?1) =( (C) 0

(B) 1

3.若 a , b 是两个非零向量,则“ a ? b ? a ? b ”是“ a ? b ”的( (A)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (B)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

4.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图中的俯视图 如图所示.左视图是一个矩形.则这个矩形的面积是( (A) 4 (C) 2 (B) )

3
俯视图

(D) 2 3

5.已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点, A 、 B 是该抛物线上的两点, AF ? BF =3 , 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( (A) . ) (C) .

3 4

( B) 1 .

5 4

(D). .

7 4

6.设 α 、β 是两个不同的平面,l、m 为两条不同的直线,命题 p:若 α ∥β ,

l?α ,m?β 则 l∥m;命题 q:l∥α ,m⊥l,m?β ,则 α ⊥β .则下列命题为
真命题的是( (A) p 或 q ) (B)p 且 q (C)非 p 或 q (D) p 且非 q

7. 数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 2n ? 49 , 当该数列的前 n 项和 Sn 达到最小时,n 等 于( (A) 24 ) (B) 25 (C) 26 (D) 27

8.函数 y ? sin ( (A) 10 )

?
3

x 在区间 ?0,t ? 上至少取得 2 个最大值,则正整数 t 的最小值是

(B) 9

(C) 8

(D) 7

9.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r ,则 2S r= ;类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、 a+b+c

S3、S4,内切球的半径为 R,四面体 P-ABC 的体积为 V,则 R=( ) V 2V (A) . (B) . S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4
(C) . 3V S1+S2+S3+S4 (D) . 4V S1+S2+S3+S4

10.如图,已知圆 M : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 ,四边形 ABCD 为圆 M
y

的内接正方形, E 、 F 分别为边 AB 、 AD 的中点,当正方形 ABCD
D

C

绕圆心 M 转动时, ME ? OF 的取值范围是( (A) [?6 2 ,6 2 ] (C) [?3 2 ,3 2 ] (B) [?6,6]

)

F A O

M B E x

(D) [?4,4]

(第 10 题)

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案 填写在题中的横线上.) 11.在区间 ??1, 上随机取一个数 x ,则 x ??0,1? 的概率 2? 为 .

12.下面程序框图,输出的结果是________.

?3x ? 2, x ? 1, 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a = ? x ? ax, x ? 1,

.

? 2 x ? y ? 5, ? 14.我校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则 ? x ? 6, ?

我校招聘的教师人数最多是

名.

15. (考生注意:只能从 A,B,C 中选择一题作答,并将答案填写在相应字母后 的横线上,若多做,则按所做的第一题评阅给分.)
x?5 ≥ 2 的解集是 ( x ? 1) 2 B. (几何证明选做题) 如图,⊙O 的直径 AB =6cm, P 是 延长线上的一点,过点 P 作⊙O 的切线,切点为 C ,

A(不等式选做题)不等式

.

连结 AC ,若 ?CAP ? 30? ,则 PC =

.

?x ? 2 ? 3 cos? , C.(坐标系与参数方程选做题)已知直线 x ? 2 y ? 4 ? 0与? ( ? 为参 ? y ? 1 ? 3 sin ? 数)相交于 A 、 B 两点,则| AB |= . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
16. (本小题满分 12 分)袋中装着分别标有数字 1,2,3,4,5 的 5 个形状相同 的小球. (1)从袋中任取 2 个小球,求两个小球所标数字之和为 3 的倍数的概率; (2)从袋中有放回的取出 2 个小球,记第一次取出的小球所标数字为 x,第 二次为 y,求点 M ( x, y) 满足 ( x ?1)2 ? y 2 ? 9 的概率. . 17. (本题满分 12 分) 如图,AB 为圆 O 的直径, E 、F 在圆 O 上, 点 矩形 ABCD C 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (Ⅰ)求证: AF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? OEF 的体积.
A D
O

B E F

18.(本题满分 12 分)如图, A 、 B 是单位圆上的动点, C 是单位圆与 x 轴的正 半轴的交点,且 ?AOB ? 积为 S . (Ⅰ)若 f (? ) ? OB? OC ? 2 S ,试求 f (? ) 的最大值以及此时 ? 的值.
2 ?? 3 4 (Ⅱ)当 A 点坐标为 (? , ) 时,求 BC 的值. 5 5

?
6

,记 ?COA? ? , ? ? (0, ? ) , ?AOC 的面

?? ? ?? ?

19. (本题满分 12 分)已知公差不为零的等差数列 {an } 的前 10 项和 S10 ? 55 ,且

a2,a4 ,a 成等比数列. 8
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? (?1)n an ? 2n ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn . 20.(本小题满分 13 分) 如图,椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1 的顶点为 A1 , A2 , B1 , B2 ,焦点 a 2 b2

为 F1 , F2 , A1B1 ? 7, S?B1 A1B2 A2 ? 2S?B1F1B2 F2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; l (Ⅱ)设 n 为过原点的直线, 是与 n 垂直相交于 P 点, ??? ??? ? ? ??? ? 与椭圆相交于 A, B 两点的直线, OP ? 1 .是否存在上述直线 l 使 OA ? OB ? 0 成 立?若存在,求出直线 l 的方程;并说出;若不存在,请说明理由. 21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x , g ( x) ? a ln x , a ? R (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的 值及该切线的方程; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 h( x) 存在最小值时,求其最小值 ? (a) 的解析 式; (Ⅲ)对(Ⅱ)中的 ? (a) ,证明:当 a ? (0, ??) 时, ? (a) ? 1 .

数学(文科)参考答案
一、选择题(本题共10小题,每题5分,共50分)
题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 C 6 C 7 A 8 C 9 C 10 B

二、填空题(本题共5小题,每题5分,共25分)
11. 15. .

1 3

1 12. 2010
? A. ? ? 1 , ? ?1 3? , ? 2 1? ? ?

13. 2 B. 3 3

14. 10 C. 6

三、解答题(本题共5小题, 每题12分,共60分)
16. 解: (1)任取 2 次,基本事件有: [1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [2,3] [2,4] [2,5] [3,4] [3,5] [4,5] 记“两数之和为 3 的倍数”为事件 A,则事件 A 中含有: [1,2] [1,5] [2,4] [4,5]共 4 个基本事件, 所以 P( A) ?

4 2 ? ; 10 5

(2) 有放回的取出 2 个,基本事件有: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 记“点 M ( x, y ) 满足 ( x ?1)2 ? y 2 ? 9 ”为事件 B ,则 B 包含: (1,1) (1,2) (1,3)(2,1) (2,2) (3,1) (3,2)共 7 个基本事件 所以 P ( B ) ?

7 . 25

17. (Ⅰ)证明:平面 ABCD

? 平面 ABEF , CB ? AB ,

平面 ABCD I 平面 ABEF ? AB ,

? CB ? 平面 ABEF ,

∵AF 在平面 ABEF 内,∴ AF ? CB , ????? 3 分 又 AB 为圆 O 的直径,∴ AF ? BF ,

∴ AF ? 平面 CBF .

??????????

6分

(Ⅱ)解:由(1)知 CB ? 面ABEF 即 CB ? 面OEF , ∴三棱锥 C ? OEF 的高是 CB , ∴ CB ? AD ? 1 ,??? 8 分 连结 OE 、 OF ,可知 OE ? OF ? EF ? 1 ∴ ?OEF 为正三角形,∴正 ?OEF 的高是

3 ,???10 分 2

∴ C ?OEF ? V

1 1 1 3 3 ,……12 分 CB ? S?OEF ? ? 1 ? ? ?1 ? 3 3 2 2 12

1 18. 【解】 (Ⅰ) S ? sin? ????????????2 分 2
?? ? ? ? ? ?? ? ? OB ? ? cos( ? ), sin( ? ) ?, OC ? (1,0) ? ? 6 6 ? ?

??? ??? ? ? 则 f (? ) ? OB? OC? 2S ? cos( ? ) ? sin? ? sin( ? ) , ????4 分 ? ? 6 3

?? ? (0, ? ) ,故 ? ?

?
6

时, f (? ) max ? 1 ???????6 分

3 4 ? (Ⅱ)依题 cos? ? ? , sin? ? , 在Δ BOC中?BOC ? ? ? 5 5 6

由余弦定理得:

( | BC | ? 1 ? 1 ? 2 ?1?1? cos ? ?
19. 解(Ⅰ) 由已知得:

?? ? 2

?
6

) 2 ? 3 cos? ? sin? ? ?

14 ? 3 3 ??12 分 5

10 ? 9d ? ? 55 ?2a1 ? 9d ? 11 ?10a1 ? ?? 2 2 ? ?d ? a1 d ? 0 ?(a ? 3d ) 2 ? (a ? d )(a ? 7d ) 1 1 ? 1
因为

d ? 0 所以 d ? a1

所以 2a1 ? 9a1 ? 11,所以 a1 ? 1, d ? 1 所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? n ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分

(Ⅱ) bn ? ?

n ? ?? n ? 2 (n为奇数)

?n ? 2n ?

(n为偶数)

(ⅰ) 当 n 为奇数时

Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ? (?1 ? 2) ? (?3 ? 4) ? ? ? n ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) 2 ? (1 ? 2 n ) n ?1 ?n? 2 1? 2 n 5 ? 2 n ?1 ? ? 2 2 ?
(ⅱ) 当 n 为偶数时

Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ? (?1 ? 2) ? (?3 ? 4) ? ? ? (?n ? 1 ? n) ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) n 2 ? (1 ? 2 n ) ? 2 1? 2 n ? 2 n ?1 ? ? 2 2 ?
? n ?1 n 5 ?2 ? 2 ? 2 ? 所以 Tn ? ? ?2 n ?1 ? n ? 2 ? 2 ? (n为奇数)
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 12 分

(n为偶数)
① ② ③

20 解 : (Ⅰ)由 A1B1 ? 7 知 a2+b2=7, 由 S ? A B1 A2 B2 ? 2S ? B1F B2 F2 知 a=2c, 1 1 又 b2=a2-c2 由 ①,②,③解得 a2=4,b2=3, 故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ) 设 A,B 两点的坐标分别为(x1, y1), x2 , y2 ? ?

OB ? 0 成立的直线 l 存在, 假设使 OA?

??? ??? ? ?

(i) 当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y ? kx ? m ,

由 l 与 n 垂直相交于 P 点且 OP ? 1 得

??? ?

|m| 1? k
2

? 1 ,即 m2=k2+1

由 OA?OB ? 0 得 x1x2+y1y2=0

将 y=kx+m 代入椭圆方程,得 (3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0, ? 8km 由求根公式可得 x1+x2= 3 ? 4k 2 x1+x2=
4m 2 ? 12 3 ? 4k 2

4 ○
5 ○

0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m)

? x1x2 ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ,
将④,⑤代入上式并化简得

(1 ? k 2 )(4m2 ?12) ? 8k 2m2 ? m2 (3 ? 4k 2 ) ? 0,
将 m ? 1 ? k 代入⑥并化简得 ?5(k ? 1) ? 0 ,矛盾.
2



2

即此时直线 l 不存在. (ii)当 l 垂直于 x 轴时,满足 OP ? 1 的直线 l 的方程为 x ? 1或x ? ?1 , 则 A,B 两点的坐标为 (1, ), (1, ? ), 或 (?1, ), ( ?1, ? ),

??? ?

5 ? 0; 4 ??? ??? ? ? 3 3 5 OB ? (?1, )?(?1, ? ) ? ? ? 0; 当 x ? ?1 时, OA? 2 2 4 ∴ 此时直线 l 也不存在. ??? ??? ? ? OB ? 0 成立的直线 l 不存在. 综上可知,使 OA? OB ? (1, )?(1, ? ) ? ? 当 x ? 1 时, OA?
21 解: (Ⅰ) f ? ? x ? =

??? ??? ? ?

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

1 2 x

, g ?( x ) =

a (x>0), x

? x ? a ln x, ? 由已知得 ? 1 a ? , ? ?2 x x

解得 a=

e ,x=e2, 2

1 ∴两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为 k=f’(e2)=2e 1 ∴切线的方程为 y-e=2e (x-e2) (II)由条件知 h(x)= x –aln x(x>0),
2

(i)当 a>0 时,令 h?( x) ? 0, 解得 x ? 4a , ∴ 当 0 < x < 4a 时, h?( x) ? 0, , h( x) 在(0, 4a )上递减;
2 2

当 x> 4a 时, h?( x) ? 0, , h( x) 在 (4a2 , ??) 上递增.
2

∴ 点. ∴

x ? 4a 2 是 h( x) 在 (0, ??) 上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是 h( x) 的最小值

最小值 ? (a) ? h(4a2 ) ? 2a ? a ln 4a2 ? 2a(1 ? ln 2a).

(ii)当 a ? 0 时, h?( x) ?

x ? 2a ? 0, h( x) 在(0,+∞)上递增,无最小值。 2x

故 h( x) 的最小值 ? ( a ) 的解析式为 ? (a) ? 2a(1 ? ln 2a)(a ? 0). (Ⅲ)由(Ⅱ)知 ? (a) ? 2a(1 ? ln 2 ? ln a).

1 . 2 1 1 当 0 ? a ? 时, ? ? (a) ? 0 ,∴ ? ( a ) 在 (0, ) 上递增; 2 2 1 1 当 a ? 时, ? ? (a) ? 0 ,∴ ? ( a ) 在 ( , ??) 上递减. 2 2 1 1 ∴ ? ( a ) 在 a ? 处取得最大值 ? ( ) ? 1, 2 2 1 ∵ ? ( a ) 在 (0, ??) 上有且只有一个极值点,所以 ? ( ) ? 1也是 ? ( a ) 的最大值. 2
则 ? ? (a) ? ?2ln 2a ,令 ? ? (a) ? 0 解得 a ? ∴当 a ? (0, ??) 时,总有 ? (a) ? 1.


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