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2015年新人教版九年级上第1课时二次函数与一元二次方程之间的关系学案

22.2 二次函数与一元二次方程 第 1 课时 二次函数与一元二次方程之间的关系 出示目标 1.理解二次函数与一元二次方程的关系. 2.会判断抛物线与 x 轴的交点个数. 3.掌握方程与函数间的转化. 4.会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解. 预习导学 阅读教材第 43 至 46 页,自学“问题” 、 “思考”与“例题” ,理解二次函数与一元二次方程的关系,会判断抛物 线与 x 轴的交点情况,会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解. 自学反馈 学生独立完成后集体订正 ①抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有公共点,公共点的横坐标是 x,那么当 x=x0 时,函数的值是 0,因此 x=x0 就是方程 ax2+bx+c=0 的一个根. ②二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种:当 b2-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有两个交点;当 b2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有一个交点;当 b2-4ac<0 时,抛物线与 x 轴有 0 个交点. ③观察图中的抛物线与 x 轴的交点情况,你能得出相应方程的根吗? 方程 x2+x-2=0 的根是 x1=-2,x2=1; 方程 x2-6x+9=0 的根是 x1=x2=3; 方程 x2-x+1=0 的根是无实数根. ④如 图所示,你 能直观看出哪些方程的根? 解:-x2+2x+3=0 的根为 x1=-1,x2=3;-x2+2x+3=4 的根为 x1=x2=1;-x2+2x+3=3 的根为 x1=0,x2=2 此题充分体现二次函数与一元二次方程之间的 关系,即函数 y=-x2+2x+3 中,y 为某一确定值 m(如 4、3、 0)时,相应 x 值是方程-x2+2x+3=m(m=4、3、0)的根. ⑤已知抛物线 y=ax2+bx+c 如图所示,则关于 x 的方程 ax2+bx+c-3=0 的根是 x1=x2=1. 此题解法较多,但是根据图象来解是最简单的方法. 合作探究 活动 1 小组讨论 例 1 已知二次函数 y=2x2-(4k+1)x+2k2-1 的图 象与 x 轴交于两点.求 k 的取值范围. 解:根据题意知 b2-4ac>0 ,即(4k+1)2-4×2×(2k2-1)>0, 解得 k>- 9 . 8 根据交点的个数来确定 b2-4ac 的正、负是解题关键,要熟悉它们之间的对应关系. 活动 2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的公共点是(-1,0)、(3,0),求抛物线的对称轴. 解:直线 x=1 可根据二次函数的对称性来求. 2.画出函数 y=x2-2x-3 的图象,根据图象回答: ①方程 x2-2x-3=0 的解是什么? ②x 取什么值时,函数值大于 0;x 取什么值时,函数值小于 0? 解:①x1=-1,x2=3;②当 x<- 1 或 x>3 时,函数值大于 0;当-1<x<3 时,函数值小于 0. x2-2x-3=0 的解,即求二次函数 y=x2-2x-3 中函数值 y=0 时自变量 x 的值. 3.已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于点 A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2),顶点 M 的纵坐标为-4,若 x1、x2 是方程 x2-2 (m-1)x+m2-7=0 的两个根,且 x12+x22 =10. ①求 A、B 两点的坐标; ②求抛物线的关系式及点 C 的坐标; ③在抛物线上是否存在点 P,使△ABP 的面积等于四边形 ACMB 面积的 2 倍?若存在,求出所有符合条件的点的 坐标;若不存在,请说明理由. 解:① A(-1,0)、B(3,0);②y=x2-2x-3,C(0,-3);③存在,P1(1+ 13 ,9),P2(1- 13 ,9). 此题的切入点为根据一元二次方程根与系数的关系求出 m 的值,求出 A、B 的坐标后代入二次函数的解 析式,再根据顶点坐标公式得到关于 a、b、c 的关系式,即得到一个三元方程组,解之即可求出待定系数.第③题可 设出点 P 的坐标,从而得到△ABP 面积的代数式,然后建立方程模型. 活动 3 课堂小结 本节 课所学知识: 1.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)与二次方程之间的关系,当 y 为某一确定值 m 时,相应的 自变量 x 的值就是方程 ax2+bx+c=m 的根. 2.若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点为(x0,0),则 x0 是方程 ax2+bx+c=0 的根. 3.有下列对应关系: 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象与 x 轴的位置关系 有两个公共点 只有一个公共点 无公共点 一 元二 次方 程 ax2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况 有两个不相等的实数 根 有两个相等的实数根 无实数根 b2-4ac 的值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 当堂训练 教学至此,敬请使用学案当堂训练部分.

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