当前位置:首页 >> 高考 >>

19年高考数学一轮复习第7章立体几何初步第4节平行关系学案文北师大版

内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯

第四节

平行关系

[考纲传真] 1.以立体几何的定义、 公理和定理为出发点, 认识和理解空间中线面平行的有 关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系 的简单命题.

(对应学生用书第 101 页) [基础知识填充] 1.直线与平面平行的判定与性质 文字语言 若平面外一条直线与此平面内的一条 直线平行,则该直线与此平面平行(简 记为“线线平行? 线面平行”) 如果一条直线与一个平面平行,则过该 性质 定理 直线的任一平面与已知平面的交线与 该直线平行(简记为“线面平行? 线线 平行”) 2. 面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 如果一个平面内有两条相交直线 判定 定理 都平行于另一个平面,则这两个 平面平行(简记为“线面平行? 面面平行”) 图形语言 符号语言 若直线 a 线b 平面 β ,直 图形语言 符号语言 若直线 l 平

判定 定理

面 α ,直线

l α ,l∥α ,
则 l∥α 若直线 l∥平面 α , l 平面 β , α ∩β =b, 则l ∥b

β ,a 平面 α ,

b 平面 α ,a∩b=A,
并且 a∥β ,b∥β ,则 α ∥β 若平面 α ∥平面 β ,平 面 γ ∩α =a, β ∩γ =

性质 定理

如果两个平行平面同时和第三个 平面相交,那么它们的交线平行

b,则 a∥b

[知识拓展] (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 a⊥α ,a⊥β ,则 α ∥β ; (2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b; (3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若 α ∥β ,β ∥γ ,则 α ∥γ .
1

(4)两个平面平行, 则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行, 即 α ∥β , m α , 则 m∥β . [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.( (2)若直线 a∥平面 α ,P∈α ,则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条.( (3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.( (4)若两个平面平行,则一个平面内的直线与另一个平面平行.( [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改编)下列命题中,正确的是( ) ) ) ) )

A.若 a,b 是两条直线,且 a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B.若直线 a 和平面 α 满足 a∥α ,那么 a 与 α 内的任何直线平行 C.若直线 a,b 和平面 α 满足 a∥α ,b∥α ,那么 a∥b D.若直线 a,b 和平面 α 满足 a∥b,a∥α ,b D [根据线面平行的判定与性质定理知,选 D.] ) α ,则 b∥α

3.设 α ,β 是两个不同的平面,m 是直线且 m α ,“m∥β ”是“α ∥β ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[当 m∥β 时,过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能相交,因而 m∥β

α ∥β ;

当 α ∥β 时,α 内任一直线与 β 平行,因为 m α ,所以 m∥β .综上知,“m∥β ” 是“α ∥β ”的必要而不充分条件.] 4.在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点,则 BD1 与平面 ACE 的位置关系是________. 平行 [如图所示,连接 BD 交 AC 于 F,连接 EF,则 EF 是△BDD1 的中位线, ∴EF∥BD1, 又 EF 平面 ACE,

BD1

平面 ACE,

∴BD1∥平面 ACE.] 5.(2017·河北石家庄质检)设 m,n 是两条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的平面, 给出下列四个命题: ①若 m α ,n∥α ,则 m∥n; ②若 α ∥β ,β ∥γ ,m⊥α ,则 m⊥γ ; ③若 α ∩β =n,m∥n,m∥α ,则 m∥β ; ④若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β .
2

其中是真命题的是________(填上序号). ②

【导学号:00090247】

[①,m∥n 或 m,n 异面,故①错误;易知②正确;③,m∥β 或 m β ,故③错误;

④,α ∥β 或 α 与 β 相交, 故④错误.]

(对应学生用书第 102 页) 与线、面平行相关命题真假的判断 (2017·全国卷Ⅰ)在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所 在棱的中点,则在这四个正方体中,直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )

A

[A 项,作如图①所示的辅助线,其中 D 为 BC 的中点,则 QD∥AB.

∵QD∩平面 MNQ=Q,∴QD 与平面 MNQ 相交, ∴直线 AB 与平面 MNQ 相交. B 项,作如图②所示的辅助线,则 AB∥CD,CD∥MQ,∴AB∥MQ. 又 AB 平面 MNQ,MQ 平面 MNQ,∴AB∥平面 MNQ.

C 项,作如图③所示的辅助线,则 AB∥CD,CD∥MQ,∴AB∥MQ.
3

又 AB

平面 MNQ,MQ 平面 MNQ,∴AB∥平面 MNQ.

D 项,作如图④所示的辅助线,则 AB∥CD,CD∥NQ,∴AB∥NQ. 又 AB 平面 MNQ,NQ 平面 MNQ,∴AB∥平面 MNQ.

故选 A.] [规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、 定理, 无论是单项选择还是含选择项的填空题, 都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选 项先确定或排除,再逐步判断其余选项. 2.(1)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. (2)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情形,通过举反例否定结论或 用反证法推断命题是否正确. [变式训练 1] (1)(2018·唐山模拟)若 m,n 表示不同的直线,α ,β 表示不同的平面,则 下列结论中正确的是( ) 【导学号:00090248】

A.若 m∥α ,m∥n,则 n∥α B.若 m α ,n β ,m∥β ,n∥α ,则 α ∥β C.若 α ⊥β ,m∥α ,n∥β ,则 m∥n D.若 α ∥β ,m∥α ,n∥m,n β ,则 n∥β

(2)在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是 A1B1,B1C1,BB1 的中点,给出下列四个推断: ①FG∥平面 AA1D1D;②EF∥平面 BC1D1; ③FG∥平面 BC1D1;④平面 EFG∥平面 BC1D1 其中推断正确的序号是( )

图 7?4?1 A.①③ C.②③ (1)D (2)A B.①④ D.②④ [(1)在 A 中,若 m∥α ,m∥n,则 n∥α 或 n α ,故 A 错误.在 B 中,若

m α ,n β ,m∥β ,n∥α ,则 α 与 β 相交或平行,故 B 错误.在 C 中,若 α ⊥β , m∥α ,n∥β ,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 C 错误.在 D 中,若 α ∥β ,m∥α ,n
∥m,n β ,则由线面平行的判定定理得 n∥β ,故 D 正确.

(2)∵在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是 A1B1,B1C1,BB1 的中点, ∴FG∥BC1,∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1,
4

∵FG

平面 AA1D1D,AD1 平面 AA1D1D,∴FG∥平面 AA1D1D,故①正确;

∵EF∥A1C1,A1C1 与平面 BC1D1 相交,∴EF 与平面 BC1D1 相交,故②错误; ∵E,F,G 分别是 A1B1,B1C1,BB1 的中点, ∴FG∥BC1,∵FG 平面 BC1D1,BC1 平面 BC1D1,

∴FG∥平面 BC1D1,故③正确; ∵EF 与平面 BC1D1 相交,∴平面 EFG 与平面 BC1D1 相交,故④错误.] 直线与平面平行的判定与性质 (2016·南通模拟)如图 7?4?2 所示,斜三棱柱 ABC?A1B1C1 中,点 D,D1 分别为 AC,

A1C1 上的点.
(1)当

A1D1 等于何值时,BC1∥平面 AB1D1; D1C1 AD DC

(2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1,求 的值.

图 7?4?2 [解] (1)如图所示,取 D1 为线段 A1C1 的中点,此时

A1D1 =1. D1C1

2分

连接 A1B,交 AB1 于点 O,连接 OD1. 由棱柱的性质知,四边形 A1ABB1 为平行四边形, ∴点 O 为 A1B 的中点. 在△A1BC1 中,点 O,D1 分别为 A1B,A1C1 的中点, ∴OD1∥BC1. 又∵OD1 平面 AB1D1,BC1 ∴BC1∥平面 AB1D1. ∴当 平面 AB1D1, 4分

A1D1 =1 时,BC1∥平面 AB1D1. D1C1

6分

(2)由平面 BC1D∥平面 AB1D1,且平面 A1BC1∩平面 BC1D=BC1,平面 A1BC1∩平面 AB1D1=D1O
5



BC1∥D1O,
同理 AD1∥DC1,∴

8分

A1D1 A1O = , D1C1 OB

A1D1 DC A1O = ,又∵ =1, D1C1 AD OB


DC AD =1,即 =1. AD DC

12 分

[规律方法] 1.判断或证明线面平行的常用方法有: (1)利用反证法(线面平行的定义); (2)利用线面平行的判定定理(a α ,b α ,a∥b? a∥α );

(3)利用面面平行的性质定理(α ∥β ,a α ? a∥β ); (4)利用面面平行的性质(α ∥β ,a β ,a∥α ? a∥β ).

2.利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形 的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线. [变式训练 2] (2018·西安模拟)如图 7?4?3,在直四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等 腰梯形,AB∥CD,AB=4,CD=2,E,E1 分别是棱 AD,AA1 的中点,设 F 是棱 AB 的中点, 证明:直线 EE1∥平面 FCC1; 【导学号:00090249】

图 7?4?3 [证明] 法一:取 A1B1 的中点为 F1,连接 FF1,C1F1,

由于 FF1∥BB1∥CC1,所以 F1∈平面 FCC1,因此平面 FCC1 即为平面 C1CFF1.连接 A1D,F1C, 由于 A1F1 綊 D1C1 綊 CD,所以四边形 A1DCF1 为平行四边形,因此 A1D∥F1C. 又 EE1∥A1D,得 EE1∥F1C,而 EE1 平面 FCC1,F1C 平面 FCC1,故 EE1∥平面 FCC1.

法二:因为 F 为 AB 的中点,CD=2,AB=4,AB∥CD,所以 CD 綊 AF,因 此四边形 AFCD 为平行四边形,所以 AD∥FC.又 CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC 平面 FCC1,

6

CC1 平面 FCC1,所以平面 ADD1A1∥平面 FCC1,又 EE1 平面 ADD1A1,所以 EE1∥平面 FCC1.
平面与平面平行的判定与性质 如图 7?4?4 所示,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求证:

图 7?4?4 (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. [证明] (1)∵G,H 分别是 A1B1,A1C1 的中点, ∴GH 是△A1B1C1 的中位线,GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC, ∴GH∥BC, ∴B,C,H,G 四点共面. (2)在△ABC 中,E,F 分别为 AB,AC 的中点, ∴EF∥BC. ∵EF 平面 BCHG,BC 平面 BCHG, 7分 5分 2分

∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB, ∴四边形 A1EBG 是平行四边形, 则 A1E∥GB. ∵A1E 平面 BCHG,GB 平面 BCHG,

∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E, ∴平面 EFA1∥平面 BCHG. [母题探究] 在本例条件下,若点 D 为 BC1 的中点,求证:HD∥平面 A1B1BA. [证明] 如图所示,连接 HD,A1B,

10 分

12 分

7

∵D 为 BC1 的中点,H 为 A1C1 的中点, ∴HD∥A1B. 又 HD 平面 A1B1BA, 5分

A1B 平面 A1B1BA,
∴HD∥平面 A1B1BA. [规律方法] 1.判定面面平行的主要方法: (1)面面平行的判定定理. (2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). 2.面面平行的性质定理的作用: (1)判定线面平行;(2)判断线线平行. 线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想.解题时要看清题 目的具体条件,选择正确的转化方向. 12 分

易错警示: 利用面面平行的判定定理证明两平面平行时, 需要说明是一个平面内的两条相 交直线与另一个平面平行. [变式训练 3] (2016·山东高考)在如图 7?4?5 所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EF∥DB.

图 7?4?5 (1)已知 AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB; (2)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC. [证明] (1)因为 EF∥DB, 所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF. 如图①,连接 DE. 因为 AE=EC,D 为 AC 的中点, 所以 DE⊥AC.同理可得 BD⊥AC. 又 BD∩DE=D,所以 AC⊥平面 BDEF. 因为 FB 平面 BDEF,所以 AC⊥FB. 4分 5分 2分

8

① (2)如图②,设 FC 的中点为 I,连接 GI,HI. 在△CEF 中,因为 G 是 CE 的中点, 所以 GI∥EF. 又 EF∥DB,所以 GI∥DB. 在△CFB 中,因为 H 是 FB 的中点, 所以 HI∥BC.又 HI∩GI=I, 所以平面 GHI∥平面 ABC. 因为 GH 平面 GHI,所以 GH∥平面 ABC. 12 分 8分



9


相关文章:
高三一轮复习立体几何---空间中的平行关系
高三数学(文) 必修 2 空间中的平行关系 使用时间: 编制人:刘宝卉 校对人:刘宝卉 一.考纲要求:(见上节学案) 二.学习目标:掌握线线、线面、面面平行的证明...
【新】高中数学第一章立体几何初步1.5.1平行关系的...
【新】高中数学第一章立体几何初步1.5.1平行关系的判定高效测评北师大版必修2(1) - 小中高 精品 教案 试卷 2016-2017 学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.5...
高三一轮复习立体几何---空间中的平行关系讲义
高三数学(文) 必修 2 空间中的平行关系 使用时间: 编制人:刘宝卉 校对人:刘宝卉 一.考纲要求:(见上节学案) 二.学习目标:掌握线线、线面、面面平行的证明...
(全国通用版)2019高考数学二轮复习 板块四 考前回...
(全国通用版)2019高考数学轮复习 板块四 考前回扣 回扣6 立体几何学案 文_六...S=4π r2 1 2 4.平行、垂直关系的转化示意图 (1) (2)两个结论 ① a...
高三一轮复习立体几何学案(一)
高三一轮复习立体几何学案(一)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。概念整理 高三立体几何学案 知识要点一、空间点线面的位置关系 1.空间两条直线的位置关系 空间...
学案2019学年高中数学第1章立体几何初步空间两条直...
学案2019学年高中数学第1章立体几何初步空间两条直线的位置关系练习苏教版必修6 1.2.2 空间两条直线的位置关系 A 组 基础巩固 1.分别和两条异面直线平行的两...
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第八章立体几何8....
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第章立体几何8.4空间中的平行关系习题理_高考...1(1) (2) (3) 2(1) a b ab a (2) a a b ab 3(1) (2) 4(...
专题10 立体几何-2014年高考数学(理)试题分项版解...
专题10 立体几何-2014年高考数学(理)试题分项版解析(原卷版)_高考_高中教育_教育专区。1. 【2014 高考安徽卷理第 7 题】一个多面体的三视图如图所示,则该...
第九章立体几何
立体几何 (2)了解直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。 (3)理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质。 (4)了解直线与直线、直线与...
更多相关标签: