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【解析版】广东省惠州市2014届高三第三次调研考试试题(数学 文)

【解析版】 广东省惠州市 2014 届高三第三次调研考试试题 (数学 文)
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? x 1 ? x ? 5 , B ? x 3 ? x ? 7 , 则 A I B =( A. x 1 ? x ? 3

?

?

?

?

) D. x 5 ? x ? 7

?

?

B. x 3 ? x ? 5

?

?

C. x 1 ? x ? 7

?

?

?

?

2.若 1 ? (a ? 2)i 是实数,则 A. 1 ? 2i

a?i 等于( i

) C. ?1 ? 2i D. 2 ? i

B. 1 ? 2i

r r r r 3.已知 a ? (2 x,1), b ? (?4, 2) ,若 a ∥ b ,则 x 的值为(
A.1 B.-1 C.2



D.-2

4.已知函数 f ( x) ? sin x ,则 f ( x) ? A.充分不必要

1 ? 是 x ? 的( 2 6

)条件 D.既不充分也不必要

B.必要不充分

C.充分必要

5.若直线 x ? y ? a ? 0 与圆 ( x ? a ) 2 ? y 2 ? 2 相切,则 a ? ( A.1 B.-1 C. 2

) D.1 或-1

6.某学校高一、高二、高三年级学生分别有 2500 人、1500 人、1000 人,现用分层抽样的方 法从该校学生中抽取 30 人作为学生代表,其中从高二年级学生中应抽取( A. 15 B.10 C.9 D.6 )人

7.各项为正的等比数列 {an } 中, a2 ? a8 ? 16 ,则 a5 =( A.4 B.2 C.1

) D.8

8.执行如图所示程序框图,最后输出的 S 值是( A.15 B.18 C.20

) D.27

? x 2 ( x为正奇数) f ( n) , 则 a1 ? a2 ? a3 ? … ? a9 ? ( 9.已知函数 f ( x) ? ? 2 , an ? f (n ? 1) ?? x ( x为正偶数)
A.



1 10

B. ?

1 10

C.

1 100

D. ?

1 100

10.已知函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1 ? x), 则对于任意实数 a, b(a ? b ? 0) ,
3 2

f (a ) ? f (b) 的 a?b

值(

) B.恒等于 0 C.恒为负 D.不确定

A.恒为正 【答案】A 【解析】

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) (一)必做题:第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答.
11. 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 a ,当正视图的视线方向垂直于平面

AA1 B1 B 时,正视图的面积为 2a 2 ,则此时左视图的面积为________.

12. 在 ?ABC 中 , 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c , C ?

?
3

, c ? 4, a ? 2 , 则

sinA ?
【答案】 【解析】

.

3 4

? x ? y ? ?1 ? 13.设点 P ( x, y ) 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ?

.

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只 计前一题的得分.
14. ( 坐 标系 与参 数 方程选 做 题) 曲线 C 的极坐 标方程 为 ? ? 2 ,直线 的参数方程 为

?x ? t ,则直线被曲线 C 截得的弦 AB 的长为 ? ? y ? ?t ? 1



15.(几何证明选讲选做题) 如图,?ACB ? 900 , AC 是圆 O 的切线, 切点为 E , 割线 ADB 过圆心 O ,若 AE ?

3, AD ? 1 ,则 BC 的长为



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
16.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? (1)求 ? 和 f ( ) 的值; 12 (2)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
6

), (? ? 0) 的周期是 ? .

?

?
6

) ? f (x ?

?
12

) 的最大值及相应 x 的集合.

17.某学校甲、乙两个班参加体育达标测试,统计测试成绩达标人数情况得到如图所示的列 联表,已知在全部学生中随机抽取 1 人为不达标的概率为 组别 甲班 乙班 合计 54 120 (1)请完成上面的列联表; (2) 若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随 机抽取 6 人,问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人? (3)从(2)中的 6 人中随机抽取 2 人,求抽到的两人恰好都来自甲班的概率. 【答案】 (1) 组别 甲班 乙班 合计 达标 54 54 108 不达标 8 4 12 总计 62 58 120 (2) 2 人;(3) 达标 不达标 8 总计

1 . 10

2 5

(3)设从甲班抽取的人为 a, b, c, d ,从乙班抽取的人为 1,2;

18.如图所示, ABCD 是正方形, PA ? 平面ABCD , E、F 是 AC、PC 的中点 . (1)求证: AC ? DF ; (2)若 PA ? 2, AB ? 1 ,求三棱锥 C ? PED 的体积.

又∵ DF ? 平面DEF

19.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且有 S n ? (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

1 ? an ;数列 {bn } 满足 bn ? (2n ? 7) an 2

(2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ?

55 5 ? Tn ? ? . 27 3

20.已知焦点在 x 轴上的抛物线 C 过点 E (2, 2 2) . (1)求抛物线 C 的方程; (2)过抛物线 C 的焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点,点 M 在线段 AB 上运动,原 点 O 关于点 M 的对称点为 D,求四边形 OADB 的面积的最小值.

∵点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 D

21.已知函数 f ( x) ? x ln x (1)求函数 f ( x) 的最小值;
2 (2)若对一切 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? x ? ax ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3)试判断函数 y ? ln x ? 由.

1 2 ? 是否有零点?若有,求出零点的个数;若无,请说明理 e x ex

点,进而得到原函数没有零点.


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