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高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积学案北师大版4讲解


2.5
知识梳理 1.两个向量的夹角

从力做的功到向量的数量积

(1)定义:已知两个非零向量 a,b,如图 2-5-1 所示,作 OA =a, OB =b,则∠AOB 称为 a 与 b 的夹角,记作〈a,b〉.

图 2-5-1 (2)范围: [0,π ] , 〈a,b〉=〈b,a〉. (3)当〈a,b〉=

? 时,称向量 a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b.规定零向量与任一向量垂直. 2

(4)当〈a,b〉=0 时,a 与 b 同向;当〈a,b〉=π 时,a 与 b 反向. 2.向量的射影

图 2-5-2 已知向量 a 和 b,如图 2-5-2 所示,作 OA =a, OB =b,过点 B 作 OA 的垂线,垂足为 B1,则

OB 1 的数量|b|cosθ 叫做向量 b 在向量 a 方向上的正射影(简称射影).
3.向量的数量积(内积) (1) 定义: |a||b|cosθ 叫做向量 a 与 b 的数量积 (或内积) , 记作 a·b,即 a·b=|a||b|cosθ . (2)理解:两向量的数量积不是向量而是数量,它可以为正数、为零、为负数. (3) 几何意义: 向量 a 与向量 b 的数量积等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影|b|cosθ 的乘积,或看作是 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上的射影|a|cosθ 的乘积. 4.向量数量积的性质 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. (1)e·a=a·e=|a|cos〈a,e〉. (2)a·b ? a·b=0. 2 (3)当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|;当 a 与 b 反向时,a·b=-|a||b|;特别地:a·a=|a| 或|a|= a ? a . (4)cos〈a,b〉=

a?b . | a || b |

(5)|a·b|≤|a||b|. 5.向量数量积的运算律 交换律:a·b=b·a;结合律: (λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b)(λ ∈R); 分配律: (a+b)·c=a·c+b·c. 知识导学

1

1.学好本节,需复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向 量的坐标运算. 2.本节的重点是向量数量积的坐标运算、 度量公式及其应用, 特别是向量垂直的坐标运算的 应用;难点是向量数量积的理解,以及灵活应用度量公式解决问题. 疑难突破 1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法,这三种运算有什么区别和联系? 剖析:难点是对这三种运算分不清.其突破的途径主要是从运算的定义、表示方法、性质、 结果和几何意义上来分析对比. ①从定义上看:两个向量数量积的结果是一个实数,而不是向量,符号由夹角的大小决定; 向量的数乘的结果是一个向量, 其长度是原向量长度的倍数, 其方向由这个实数的符号所决 定;两个实数的积也是一个实数,符号由这两个实数的符号所决定. ②从运算的表示方法上看:两个向量 a、b 的数量积称为内积,写成 a·b;大学里还要学到 两个向量的外积 a×b, 而 a·b 是两个向量的数量的积, 因此书写时要严格区分.符号“·” 在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的 写法;实数的乘法的写法我们就非常熟悉了. ③从运算的性质上看:在向量的数量积中,若 a·b=0,则 a=0 或 b=0 或〈a,b〉=

? ;在向 2

量的数乘中,若 λ a=0,则 λ =0 或 a=0;在实数的乘法中,若 a·b=0,则 a=0 或 b=0. 在向量的数量积中: a·b=b·c ? b=0 或 a=c 或 〈b, (a-c)〉 =

(λ ∈R) ? a=b 或 a≠b;在实数的乘法中,ab=bc ? a=c 或 b=0. 在向量的数量积中: (a·b)c≠a· (b·c); 在向量的数乘中, (λ m) a=λ (ma) (λ ∈R,m∈R) ; 在实数的乘法中,有(a·b)c=a·(b·c). ④从几何意义上来看:在向量的数量积中,a·b 的几何意义是 a 的长度|a|与 b 在 a 方向 上的射影|b|cosθ 的乘积; 在向量的数乘中, λ a 的几何意义就是把向量 a 沿向量 a 的方向 或反方向放大或缩小|λ |倍. 2.如何应用|a|= a ? a 来求平面内两点间的距离? 剖析:难点是知道这个等式成立,但不会用来求平面内两点间的距离.其突破口是建立平面 向量基底,再代入等式即可. 例如:如图 2-5-3 所示,已知平行四边形 ABCD 中,AB=3,AD=1,∠DAB= 和 BD 的长.

? ; 在向量的数乘中, λ a=λ b 2

? ,求对角线 AC 3

图 2-5-3 解:设 AB =a, AD =b.

? . 3 3 ∴a·b=|a||b|cos〈a,b〉= . 2
则|a|=3,|b|=1, 〈a,b〉= 又∵ AC =a+b, DB =a-b,
2

∴| AC |= | DB |=

AC 2 ? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? 13 ,

DB 2 ? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? 7 ,

∴AC= 13 ,DB= 7 . 由此可见向量法求平面内两点间的距离的步骤是: ①建立平面向量基底或建立平面直角坐标系,将平面内两点间距离转化为向量的长度; ②应用公式|a|= a ? a ,通过向量运算求出向量的长度; ③把向量的长度还原成平面内两点间的距离.

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