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广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考2015届高考数学三模试卷(文科)

广东省揭阳一中、 潮州市金山中学联考 2015 届高考数学三模试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位,则复数 A.2+i B.2﹣i
x

=(

) C.﹣1﹣2i D.﹣1+2i

2.已知集合 P={0,1,2},Q={y|y=3 },则 P∩Q=( ) A.{0,1} B.{1,2} C.{0,1,2}

D.?

3.已知 =(1,k) , =(k,4) ,那么“k=﹣2”是“ , 共线”的( A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 B.必要非充分条件 D.充要条件

)

4.先后抛掷两颗质地均匀的骰子,则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( A. B.
2 2 2

)

C.

D.

5.在△ ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

) D.不能确定

A.48

B.

C.16

D.32

7.已知偶函数 f(x) ,当 x∈,得到的频率分布直方图如图所示,已知第 2 组有 35 人. (1)求该组织的人数; (2)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者?

(3)在(2)的条件下,该组织决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验, 用列举法求出第 3 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

18.如图,三棱锥 C﹣ABD 中,AB=AD=BD=BC=CD=2,O 为 BD 的中点,∠AOC=120°,P 为 AC 上一点,Q 为 AO 上一点,且 (Ⅰ)求证:PQ∥平面 BCD; (Ⅱ)求证:PO⊥平面 ABD; (Ⅲ)求四面体 ABCD 的体积. .

19.已知{an}是等差数列,公差为 d,首项 a1=3,前 n 项和为 Sn.令 ,{cn}的前 20 项和 T20=330.数列{bn}满足 bn=2(a﹣2)d
2 n﹣

+2 ,a∈R. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ)若 bn+1≤bn,n∈N ,求 a 的取值范围.

n﹣1

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点 F1 与抛物线 y =4x 的焦点重合,原点到过 .

2

点 A(a,0) ,B(0,﹣b)的直线的距离是

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P,过 F1 作 PF1 的垂直于直线 l 交于 点 Q,求证:点 Q 在定直线上,并求出定直线的方程.

21.已知函数 f(x)=x ﹣3x +ax(a∈R) (1)求函数 y=f(x)的单调区间; (2)当 a≥2 时,求函数 y=|f(x)|在 0≤x≤1 上的最大值.

3

2

广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考 2015 届高考数学 三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位,则复数 A.2+i B.2﹣i =( ) C.﹣1﹣2i D.﹣1+2i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值. 解答: 解: = ,

故选:C. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念,是基础题. 2.已知集合 P={0,1,2},Q={y|y=3 },则 P∩Q=( ) A.{0,1} B.{1,2} C.{0,1,2} 考点:交集及其 运算. 专题:集合. 分析:根据集合的基本运算进行求解即可. x 解答: 解:Q={y|y=3 }={y|y>0}, 则 P∩Q={1,2}, 故选:B 点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
x

D.?

3.已知 =(1,k) , =(k,4) ,那么“k=﹣2”是“ , 共线”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.非充分非必要条件 D.充要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑.

)

分析:根据向量共线的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判定即可. 解答: 解:若 k=﹣2,则 =(1,﹣2) , =(﹣2,4) ,满足 =﹣2 ,即 , 共线,充分 性成立, 若 , 共线,则 k =4,即 k=±2,即必要性不成立, 故“k=﹣2”是“ , 共线”的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判定, 利用向量共线的等价条件是解决本题的关键, 比较基础. 4.先后抛掷两颗质地均匀的骰子,则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( A. B. C. D. )
2

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:根据题意得出基本事件为(x,y) ,总共有 6×6=36,列举两次朝上的点数之积为奇数事 件求解个数,运用古典概率公式求解即可. 解答: 解:骰子的点数为:1,2,3,4,5,6, 先后抛掷两颗质地均匀的骰子,基本事件为(x,y) , 总共有 6×6=36, 两次朝上的点数之积为奇数事件为:A 有(1,1) , (1,3) , (1,5) , (3,1) , (3,3) , (3,5) , (5,1) , (5,3) , (5,5) , 共有 9 个结果, ∴两次朝上的点数之积为奇数的概率为 P(A)= =

故选:C 点评:本题考查了古典概率的求解,关键是求解基本事件的个数,运用列举的方法求解符合题 意的事件的个数,属于中档题. 5.在△ ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 考点:余弦定理的应用;三角形的形状判断. 专题:解三角形. 2 2 2 2 2 2 分析:由 sin A+sin B<sin C,结合正弦定理可得,a +b <c ,由余弦定理可得 CosC=
2 2 2 2

可判断 C 的取值范围
2 2

解答: 解:∵sin A+sin B<sin C,

由正弦定理可得,a +b <c 由余弦定理可得 cosC= ∴

2

2

2

∴△ABC 是钝角三角形 故选 C 点评:本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用,属于基 础试题 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.48

B.

C.16

D.32

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;作图题;空间位置关系与距离. 分析:由题意作出其直观图,从而由三视图中的数据代入求体积. 解答: 解:该几何体为四棱柱,如图, 其底面是直角梯形, 其面积 S= ×(3+5)×2=8, 其高为 4; 故其体积 V=8×4=32; 故选:D.

点评:本题考查了学生的空间想象力与计算能力,属于基础题. 7.已知偶函数 f(x) ,当 x∈ A. B.1 C.3 D.

考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:函数 f(x)为偶函数,可得 f(﹣ 再根据 x∈ 曲线 离心率为 =1(k<9)表示焦点在 x 轴上,长轴长为 2 ,焦距为 16. ,短轴长为 2 , )=f( )再将其代入 f(x)=2sinx,进行求解,

对照选项,则 D 正确. 故选 D. 点评:本题考查椭圆的方程和性质,考查运算能力,属于基础题. 9. 指数函数 y= ( ) 与二次函数 y=ax +2bx (a∈R, b∈R) 在同一坐标系中的图象可能的是(
x 2

)

A.

B.

C.

D. 考点:函数的图象;二次函数的性质. 分析:根据二次函数的对称轴首先排除 B 选项,再根据 与 1 关系,结合二次函数和指数函数 的性质逐个检验即可得出答案 解答: 解:根据指数函数的解析式为 y=( ) ,∴ >0, ∴﹣ <0, 故二次函数 y=ax +bx 的对称轴 x=﹣ 位于 y 轴的左侧,故排除 B. 对于选项 A,由二次函数的图象可得 a>0,故二次函数 y=ax +bx 的对称轴 x=﹣ >﹣1,∴ <1,则指数函数应该单调递减,故 A 不正确. 对于选项 C,由二次函数的图象可得 a<0,故二次函数 y=ax +bx 的对称轴 x=﹣ <﹣1,∴ >1,则指数函数应该单调递增,故 C 正确. 对于选项 C,由二次函数的图象可得 a>0,故二次函数 y=ax +bx 的对称轴 x=﹣ <﹣1,∴ >1,则指数函数应该单调递增,故 D 不正确 故选:C 点评: 本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系, 根据指数函数图象确定 出 a、b 的正负情况是求解的关键,属于基础题 10.对于集合 A,如果定义了一种运算“⊕”,使得集合 A 中的元素间满足下列 4 个条件: (Ⅰ)? a,b∈A,都有 a⊕b∈A (Ⅱ)?e∈A,使得对?a∈A,都有 e⊕a=a⊕e=a; (Ⅲ)?a∈A,?a′∈A,使得 a⊕a′=a′⊕a=e; (Ⅳ)?a,b,c∈A ,都有(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c) , 则称集合 A 对于运算“⊕”构成“对称集”.下面给出三个集合及相应的运算“⊕”: ①A={整数},运算“⊕”为普通加法; ②A={复数},运算“⊕”为普通减法; ③A={正实数},运算“⊕”为普通乘法.
2 2 2 2 x

其中可以构成“对称集”的有( ) A.①② B.①③

C.②③

D.①②③

考点:元素与集合关系的判断. 专题:计算题;集合. 分析:根据新定义,对所给集合进行判断,即可得出结论. 解答: 解: ①A={整数}, 运算“⊕”为普通加法, 根据加法运算可知满足 4 个条件, 其中 e=0, a、a′互为相反数; ②A={复数},运算“⊕”为普通减法,不满足 4 个条件; ③A={正实数},运算“⊕”为普通乘法,根据乘法运算可知满足 4 个条件,其中 e=1,a、a′互 为倒数. 故选:B. 点评:本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 二、 填空题: 本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. (一) 必做题 (11~ 13 题) 11.已知函数 f(x)= ,则在点(2,f(2) )处的切线方程为 y=﹣2x+8.

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析:求出原函数的导函数,得到 f′(0)=2,再求出 f(0) ,由直线方程的点斜式得答案. 解答: 解:∵f(x)= ,

∴ ∴f′(2)=﹣2, 又 f(2)=4, ∴函数 f(x)=



在点(2,f(2) )处的切线方程为 y﹣4=﹣2(x﹣2) ,

即 y=﹣2x+8. 故答案为:y=﹣2x+8. 点评:本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,过曲线上某点的切线的斜率,就 是函数在该点处的导数值,是中档题.

12.设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足

,若 z 的最大值为 12,则实数 k=2.

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用.

分析:先画出可行域,得到角点坐标.再对 k 进行分类讨论,通过平移直线 z=kx+y 得到最大 值点 A,即可得到答案. 解答: 解:可行域如图: 由 得:A(4,4) ,

同样地,得 B(0,2) , z=kx+y,即 y=﹣kx+z,分 k>0,k<0 两种情况. 当 k>0 时, 目标函数 z=kx+y 在 A 点取最大值,即直线 z=kx+y 在 y 轴上的截距 z 最大,即 12=4k+4,得 k=2; 当 k<0 时, ①当 k>﹣ 时,目标函数 z=kx+y 在 A 点(4,4)时取最大值,即直线 z=kx+y 在 y 轴上的 截距 z 最大, 此时,12=4k+4, 故 k=2. ②当 k 时,目标函数 z=kx+y 在 B 点(0,2)时取最大值,即直线 z=kx+y 在 y 轴上的

截距 z 最大, 此时,12=0×k+2, 故 k 不存在. 综上,k=2. 故答案为:2.

点评:本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域, 将目标函数赋予几何意义. 13.在各项均为正项的等比数列{an}中,已知 a1+a2+a3+a4+a5=31, 则 a3=4. 考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:设出等比数列的首项和公比,由题意列式,整体运算得到 ,则 a3 可求. = ,

解答: 解:设等比数列 an 的公比为 q,则{

}也是等比数列,

且公比为 ,依题意得:



两式作比得:

,即



∵an>0,∴a3=4. 故答案为:4. 点评:本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,是基础的计算题. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 【几何证明选讲选做题】 14.在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=2,BC=5,点 E、F 分别在 AB、CD 上,且 EF∥AD, 若 ,则 EF 的长为 .

考点:平行线分线段成比例定理. 专题:计算题. 分析:先设 EF 交 AC 与点 H,利用平行线分线段成比例定理求出 EH 以及 HF,即可求得 EF 的长. 解答: 解:设 EF 交 AC 与点 H, 因为 EF∥AD,且 所以有 同理 所以:EF= 故答案为: . = , ,

= ,故 EH= ×5= = ,得 HF= = .

2= .

点评:本题主要考查平行线分线段成比例定理.解决本题的关键在于把 EF 的长转化为 EH 以 及 HF. 【坐标系与参数方程选做题】

15. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线 l 与曲线 C 的参数方程分别 为 l: (s 为参数) 和 C: (t 为参数) , 若 l 与 C 相交于 A、 B 两点, 则|AB|= .

考点:直线的参数方程;抛物线的参数方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:把直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,把曲线 C 的参数方程化为直角坐标方程,联立 方程组求出交点坐标, 再利用两点间的距离公式求出结果. 解答: 解:把直线 l: (s 为参数)消去参数,化为直角坐标方程为 x+y﹣2=0.

把曲线 C:

(t 为参数)消去参数,化为直角坐标方程为 y=(x﹣2) .

2

把直线方程和曲线 C 的方程联立方程组解得 故|AB|= = ,

,或



故答案为 . 点评:本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,求直线和曲线的交点坐标,两点间的距 离公式,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.已知函数 (1)求 f(x)的最大值和最小正周期; (2)若 f( )= .

,α 是第二象限的角,求 sin2α.

考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用两角和的正弦公式对解析式化简,由正弦函数的最值和三角函数的周期公式 求出函数的最大值和周期; (2)将 x= 代入由(1)求出的解析式,化简后求出正弦值,再由角的范围和平方关

系求出余弦值,再代入二倍角的正弦公式求值即可. 解答: 解(1)由题意得, =2sin(2x+ ) ,

∴f(x)的最大值为 2, 且函数的最小正周期为 T= =π,

(2)由(1)知, ∵ 即 sinα= , ,∴ ,



又∵α 是第二象限的角, ∴cosα=﹣ ∴sin2α=2sinαcosα=2× =﹣ ×(﹣ , )=﹣ .

点评:本题考查了倍角公式和两角和的正弦公式,以及正弦函数的性质综合应用,考查了的知 识点较多,需要熟练掌握. 17.近年来,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召 n 名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成 5 组:第 1 组, 得到的频率分布直方图如图所示,已知第 2 组有 35 人. (1)求该组织的人数; (2)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (3)在(2)的条件下,该组织决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验, 用列举法求出第 3 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

考点:古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据频数=频率×样本容量,频率=对应矩形面积,构造关于 n 的方程,解方程可得 该组织的人数; (2)先计算出第 3,4,5 组中每组的人数,进而根据比例,可得到应从第 3,4,5 组各抽取 多少名志愿者; (3)选求出这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者的基本事件总数和第 3 组至少有一名志愿者 被抽中的基本事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案. 解答: 解: (1)由题意:第 2 组的人数:35=5×0.07?n,得到:n=100, 故该组织有 100 人.…

(2)第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数为 0.1×100=10. ∵第 3,4,5 组共有 60 名志愿者, ∴利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别为: 第 3 组: ; 第 4 组: ; 第 5 组: .

∴应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人.… (3)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1B2,第 5 组的 1 名志 愿者为 C1.则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,C1) , (A2,A3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,C1) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A3,C1) , (B1,B2) , (B1,C1) , (B2,C1) ,共有 15 种. 其中第 3 组的 3 名志愿者 A1,A2,A3,至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,C1) , (A2,A3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,C1) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A3,C1) ,共有 12 种, 则第 3 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 . …

点评: 本题考查的知识点是古典概型概率计算公式, 其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式 求概率的步骤,是解答的关键. 18.如图,三棱锥 C﹣ABD 中,AB=AD=BD=BC=CD=2,O 为 BD 的中点,∠AOC=120°,P 为 AC 上一点,Q 为 AO 上一点,且 (Ⅰ)求证:PQ∥平面 BCD; (Ⅱ)求证:PO⊥平面 ABD; (Ⅲ)求四面体 ABCD 的体积. .

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)证明:PQ∥CO,利用线面平行的判定定理证明 PQ∥平面 BCD; (Ⅱ)证明 BD⊥PO,OP⊥OA,即可证明:PO⊥平面 ABD; (Ⅲ)求出 P﹣ABD 的体积,即可求四面体 ABCD 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:∵ ,∴PQ∥CO

又∵PQ?平面 BCD,CO?平面 BCD, ∴PQ∥平面 BCD…

(Ⅱ) 证明: 由等边△ ABD, 等边△ BCD, O 为 BD 的中点得: BD⊥AO, BD⊥OC, AO∩OC=O, ∴BD⊥平面 AOC. 又∵PO?平面 AOC,∴BD⊥PO 在△ AOC 中,∠AOC=120°, , ∴∠OAC=30°, ∴AP=2 在△ AOP 中,由余弦定理得:OP=1… ∴OP⊥OA… 又 OA∩BD=O, ∴PO⊥平面 ABD… (Ⅲ)解:∵P O⊥平面 ABD, …

∵ ∴ …

点评:本题考查线面平行、线面垂直的证明,考查体积的计算,正确运用线面平行、线面垂直 的判定定理是关键. 19.已知{an}是等差数列,公差为 d,首项 a1=3,前 n 项和为 Sn.令 ,{cn}的前 20 项和 T20=330.数列{bn}满足 bn=2(a﹣2)d
2 n﹣

+2 ,a∈R. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ)若 bn+1≤bn,n∈N ,求 a 的取值范围. 考点:数列递推式;等差数列的性质. 专题:综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用 T20=330,求出公差,即可求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ)先求出 bn,再根据 bn+1≤bn,n∈N ,结合函数的单调性,即可求 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列的公差为 d, 因为 ,

n﹣1

所以 T20=﹣S1+S2﹣S3+S4+…+S20=330, 则 a2+a4+a6+…+a20=330… 则 解得 d=3 所以 an=3+3(n﹣1)=3n… n﹣2 n﹣1 n﹣1 n (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 bn=2(a﹣2)3 +2 bn+1﹣bn=2(a﹣2)3 +2 ﹣ =4(a﹣2)3 由 bn+1≤bn? 因为 所以 n=1 时, 所以 … 随着 n 的增大而增大, 最小值为 ,
n﹣2

+2

n﹣1

= …

点评:本题考查数列的通项,考查数列与不等式的联系,考查学生的计算能力,属于中档题.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点 F1 与抛物线 y =4x 的焦点重合,原点到过 .

2

点 A(a,0) ,B(0,﹣b)的直线的距离是 (1)求椭圆 C 的方程;

(2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P,过 F1 作 PF1 的垂直于直线 l 交于 点 Q,求证:点 Q 在定直线上,并求出定直线的方程. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由已恬条件得 a =b +1,
2 2

,由此能求出椭圆 C 的方程.

(2) 由

, 得 (4k +3) x +8kmx+4m ﹣12=0, 由直线与椭圆相切, 得 4k ﹣ m + 3=0,

2

2

2

2

2

由此能证明点 Q 在定直线 x=4 上. 2 解答: (1)解:由于抛物线的 y =4x 的焦点坐标为(1,0) ,∴c=1, 2 2 ∴a =b +1, ∵顶点到直线 AB: ∴a =4,b =3,
2 2

的距离 d=



∴椭圆 C 的方程为



(2)证明:由

,得(4k +3)x +8kmx+4m ﹣12=0(*)
2 2 2 2

2

2

2

由直线与椭圆相切得 m≠0,且△ =64k m ﹣4(4k +3) (4m ﹣12)=0, 2 2 整理,得 4k ﹣m +3=0, 2 2 2 2 将 4k +3=m ,m ﹣3=4k 代入(*)式得 m x +8kmx+16k =0,即(mx+4k) =0,解得 x=﹣
2 2 2 2



∴P(﹣

, ) ,又 F1(1,0) ,∴

=

=﹣





=

,∴直线 F1Q 的方程为:y=



联立

,得 x=4,

∴点 Q 在定直线 x=4 上. 点评:本题考查椭圆方程的求法,考查点在定直线上的证明,解题时要认真审题,注意函数与 方程思想的合理运用. 21.已知函数 f(x)=x ﹣3x +ax(a∈R) (1)求函数 y=f(x)的单调区间; (2)当 a≥2 时,求函数 y=|f(x)|在 0≤x≤1 上的最大值. 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求出函数的导数,讨论判别式小于或等于 0,和大于 0,令导数大于 0,得增区间; 令导数小于 0,得减区间; (2)由(1)讨论当 a≥ 3 时,当 2≤a<3 时,求得函数的单调区间,通过函数值的符号,去绝 对值符号,即可得到最大值. 解答: 解: (1)函数 f(x)=x ﹣3x +ax 的导数为 f′(x)=3x ﹣6x+a, 判别式△ =36﹣12a, 当△ ≤0 时,即 a≥3 ,f′(x)≥0 恒成立,f(x)为增函数; 当 a<3 时,即△ >0,3x ﹣6x+a=0 有两个实根,x1=1﹣ f′(x)>0,可得 x>x2 或 x<x1;f′(x)<0, 可得 x1<x<x2. 综上可得,a≥3 时,f(x)的增区间为 R; a<3 时,f(x)的增区间为(﹣∞,1﹣ ) , (1+ ,+∞) ,
2 3 2 2 3 2

,x2=1+



减区间为(1﹣

,1+

) .

(2)由于 y=|f(x)|的图象经过原点, 当 a≥3 时,由(1)可得 y=|f(x)|=f(x)在递增, 即有 x=1 处取得最大值,且为 a﹣2; 当 2≤a<3 时,由(1)可得 f(x)在递减, 则 f(x)在 x=1﹣ 处取得最大值,且大于 0,

又 f(0)=0,f(1)=a﹣2≥0, 则 y=|f(x)|=f(x) (0≤x≤1)的最大值即为 f(1﹣ 综上可得,当 a≥3 时,函数 y 的最大值为 a﹣2; 当 2≤a<3 时,函数 y 的最大值为 f(1﹣ ) . ) .

点评:本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,主要考查分类讨论的思想方法和函数 的单调性的运用,考查运算能力,属于中档题和易错题.


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