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1.7 正切函数的图像和性质


正切函数的图象和性质

1.正切函数的定义

y
?
M

? 的终边
P(x,y)

x

y tan ? ? ? x ? 0 ? ?的终边不在y轴上 x ? ? ? ? k? ? ( k ? z )
2

y

T

y

o

x
(1,0)

A

x

o x(1,0) A
T

x

y

正切线:AT
x

y
T

x
(1,0)

o

A
T

x

o

(1,0)

A

x

(? 作法:1、选择一个周期

2.正切函数的图像

? ?

? ? ? 3? 3? ? ? , , , ? ? , , 8 8 4 8 8 4
2、利用单位圆作正切线 3 、平移正切线 4 、用光滑的曲线 连接正切线的交叉 点

, )把单位圆右半圆分成8等份。 2 2

T

A

? ? 3? ? 2 8

? ? ,4

? ,8
?

? ,8

? , 4

3? ? ,8 ?

得到正切函数的图象,并把它叫做正切曲线 根据正切函数的周期性,我们可以把上述图象 ? R,个单位长度 x ? k? ? , k ?) Z) y ? tan x ( x ?? 向左、右平移,(每次平移 2

y

渐 近 线
? 3? 2

· ( ,1) 4 (0, 0) · 0 ? ?? ? ( ? ,? 1) · 4
?

?
?

渐 近 线
3? 2

?

2

2

x

? 正切曲线被无穷多支相互平行的直线 x ? ? k? , k ? z 2

三点两线作一个周期图象,然后有周期性 隔开的无穷多支形状相同曲线组成的 左右平移得到整个定义域内的图象

探究互动

y

正切函数y=tanx的性质
⑴ 定义域: { x | x ?
⑵ 值域:R ⑶ 周期性: T ? ? ⑷ 奇偶性: 奇函数, 图象关于原点对称。 (5) 对称性:对称中心: (6)单调性:在每一个开区间 (?

?
2

P(x,y)

·
?
0

? k? , k ? Z }
3? ? 2

?? ? 2

?
2

? 3?
2

x

P′ (-x,-y )

·

无对称轴
?
2 ? k? ,

?

? k? ), k ? z 上是增函数 2

例1:画函数 y ? tan( x ? )的图像,并通过图像讨 4 论其的性质 y ? tan x y

?

? 7 ? 3? 5 3 ? ? ? ? 2 ? ? ?? ? ? 2? 4 4 4 4

0 ?

?3
2

4

4

5 3? ? ? ? 4
2

x

周期性: T ? ? 函数y ? tan( x ? ) 奇偶性: 非奇非偶 4 3 ? 单调性: (? ? ? k? , ? k? ), k ? Z 增函数 的性质 4 4

?

定义域: 值域: R

? ? ? x x ? R 且 x ? ? k ? , k ? Z ? ? 4 ? ?

y

7? ? 4

5? ? 4

· (- , 0) 4 · O 3? ? ? ? ?4 4 ( ? , ?1) · 2
?

(0,1)

? 4

3? 4

5? 4

x

? ? ? ? 解 : 设t ? x ? , 则y ? tan t的定义域为 ?t t ? R且t ? k? + , k ? Z ? 4 2 ? ? ? ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , ? x ?
4 2
4

? ? ? ? ? y ? tan t的单调增区间是 ? - ? k? , ? k? ? , k ? Z 2 2 ? ? ? ?
?? ? ? ? k? 2 4 2 3? ? ?? ? k? ? x ? ? k? 4 4 ? k? ? x ?

? ? ? 因此,函数的定义域是 ? x x ? R且x ? ? k? , k ? Z ? 4 ? ?

? ? 3? ? ?函数的单调增区间是 ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 4 ? 4 ?

变式提高
1.已知函数y ? tan(2 x ?
求(1)定义域:
? ? k? ? ? , k ? z? ?x x ? 8 2 ? ?

?
4



y ? tan x
y

(2)单调区间:

3? ? 2

?? ? 2

?

0

?
2

? 3?
2

x

3? k? ? k? x ? (? ? , ? ),k ? z增 8 2 8 2

有减区间吗?

变式提高
2、求满足下列式子 x 的取值范围 :

? 若 tan( x ? ) ? 1,则 4
? 3? ? ? ? k ? , k ? ,k ?Z ? ? ? 4 ?
3? ? 2

y ? tan x
y

( ,1) 4 ·

?

?? ? 2

?

0

?
2

? 3?
2

x

巩固应用 例2:不求值比较下列各组两个正切值的大小 y ? tan x ? ?
(1). tan( ?

4 ? ? ?? 又∵y ? tan x在 ? ? 2 , 2 ? 内单调递增 ? ?
? tan (? ) ? tan (? ) 3 4

解: ??

?

3

)与 tan( ?

3

??

?

4

)

y

?0

?

?

?

?2

?

? ? ? 3 4
0

?
2

x

比较两个正切值大小,在同一单调区间内, 利用单调递增性解决。

3 (2) tan( ? )与tan ? 6 4 3? ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? tan ( ? ) 解: 4 4 4

?



?

?
2

??

?
4

??

?
6

?

?
2



? ? ?? 又∵y ? tan x在 ? ? 2 , 2 ? 内单调递增 ? ? ? ? ? 3
tan(? ) ? tan (? ) 即 6 4

tan(? ) ? tan ? 6 4

把相应的角化到的同一单调区间内, 再利用y=tanx的单调递增性解决。

巩固提高
比较下列各组两个正切值的大小

3 (1). tan 与tan ? 8 8 ? 3 tan ? tan ?
8 8

?

13 17 (2) tan( ? ? )与 tan( ? ? ) 4 5

13 17 tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 4 5

小结:正切函数的图像和性质
1
2 、y ? tan x 性质:

、正切函数y=tanxx ? ? ? k?( 图象 , k ? z) 2
⑴ 定义域: { x | x ? ⑵ 值域: R ⑶ 周期性:

y

y ? tan x

?
2

? k? , k ? Z }
?
??
2

??

?? 2

o

? 2

?

??
2

x

?
?
2 ? k? ,

奇函数,图象关于原点对称。 ⑷ 奇偶性: (5)单调性: 在每一个开区间 (? 上是增函数
?
2 ? k? ), k ? z


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