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八年级数学一次函数与方程、不等式的关系


我们知道,一次函数的图象是一条直线。 作出一次函数 y = 2x - 5 y 的图象如右, 3 观察图象回答下列问题: (1) x 取哪些值时, y=0 ? 2 x = 2.5 时 , y = 0 ; 1 (2) x 取哪些值时, y>0 ? -1 0 1 2 3 4 x -1 x > 2.5 时 , y > 0 ; -2 (3) x 取哪些值时, y<0 ? (2.5 , 0) -3 x < 2.5 时 , y < 0 ; -4 (4) x 取哪些值时, y>3 ? -5 x>4时, y>3; -6 能否将上述 “关于函数值的 问题 ”, 思考
改为 “关于x 的不等式的问题” ?

将“一次函数值的问题”改为“一次不等式的问题” 作出一次函数 y = 2x - 5 的图象如右, y 观察图象回答下列问题: 3

(1) x 取哪些值时, 2 yx-5 =0 ?
(2) x 取哪些值时, y 2x-5 >0 ? 2x-5 <0 ? (3) x 取哪些值时, y (4) x 取哪些值时, y 2x-5 >3 ?

2 1 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 x (2.5 , 0)

因为 y = 2x – 5, 所以,将(1)~(4) 中的 y 换成 2x-5, 则, 原题“关于一次函数的值的问题” 就变成了“关于一次不等式的问题” 能否把 “关于一次不等式的问题 反过来 想一想 变换成 ” “关于一次函数的值的问题”?

由上述讨易知: “关于一次函数的值的问题” 可变换成 “关于一次不等式的问题” ; 反过来, “关于一次不等式的问题” 可变换成 “关于一次函数的值的问题” 。 因此, 我们既可以运用函数图象解不等式 , 也可以运用解不等式帮助研究函数问题 , 二者相互渗透 ,互相作用。 不等式与 函数 、方程 是紧密联系着 的一个整体 。

想一想 用“函数图象法”及“解不等式法”解函数
问题 如果 y=-2x5 , 那么当 x 取何值时 , y>0 ? 你解答此道题, 可有几种方法 ? 将函数问题转化为不等式问题. y 法一: 即 解不等式 -2x- 5 > 0 ; 3 2 1 法二: 图象法。 -5 -4 -3 -2 -1 1 x 由图易知, -1 -2 当 x < -2.5时 y>0 . -3 -4 -5 -6

用多种方法解行程问题 兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑 9 米,然后自己才开 始跑。已知弟弟每秒跑 3 米,哥哥每秒跑 4 米。列出函 数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题: (1) 何时弟弟跑在哥哥前面? (2) 何时哥哥跑在弟弟前面? (3) 谁先跑过 20米?谁先跑过 100米? 你是怎样求的?与同伴交流。 设x 为哥哥起跑开始的时间, 则哥哥与弟弟每 人所跑的距离 y (m)与时间 x (s) 之间的关系 式分别是: y1= 4x ,y2= 9+3x .

1.直接解不等式; 2.先通过列方程找到追及弟弟的时间。

答案: (1) 从哥哥起跑开始 , 9s 前 弟弟跑在哥哥前面; (2) 从哥哥起跑开始 , 9s 后 哥哥跑弟弟在前面; (3) 弟弟 先跑过 20米, 哥哥 先跑过 100米 .

议一议: A、B 两地相距150千米,甲、乙两人骑 自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他 们都保持匀速行驶,则他们各自到A地的距 离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数. 1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米. 问:经过多长时间两人相遇 ?

议一议: A、B 两地相距150千米,甲、乙两人骑自行车分别从 A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶,则他们 各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次 函数. 1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米. 问:经过多长时间两人相遇 ? 直线型图表示
甲 A
2时,40千米

120千米

1时

B 乙

s甲 ? 20t

s乙 ? 150 ? 30t

用图象法 解 行程问题
A、B 两地相距150千米,甲、 乙两人骑自行车分别从A、B 两地 相向而行。假设他们都保持匀速行 驶,则他们各自到A地的距离s(千米) 都是骑车时间t(时)的一次函数. 1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米. 问 经过多长时间两人相遇 ? 150 (B) 140

s

图象表示

120
100 80 60

s乙 ? 150 ? 30t
l2
l1

s甲 ? 20t

可以分别作出两人 40 s 与t 之间的关系图象, 20 找出交点的横坐标就行了! 1 2 3 0 (A) 4 t 1 2 3 你明白他的想法吗? 用他的方法做一做, 小明的方法求出的 看看和你的结果一致吗? 结果准确吗?

用方程 解 行程问题
A、B 两地相距150千米, 1 时后乙距A地 甲、乙两人骑自行车分别从A、 120千米,即乙的 B 两地同时相向而行。假设他 小彬 速度是 30千米/时, 们都保持匀速行驶,则他们各 2 时后甲距A 地 40千米, 自到A地的距离s(千米)都是骑 故甲的速度是 20千米/时, 车时间t(时)的一次函数. 由此可求出甲、乙两人的 1 时后乙距A地120千米, 速度, 以及 …… 2 时后甲距A地 40千米. 问 经过多长时间两人相遇 ? 你明白他的想法吗? 用他的方法做一做,看 设同时出发后 t 时相遇 , 则 看和你的结果一致吗?
20 t ? 30 t ? 150

?t=3

求出s与t之间的关系式,联立解方程组
A、B 两地相距150千米,甲、 乙两人骑自行车分别从A、B 两地相 向而行。假设他们都保持匀速行驶, 则他们各自到A 地的距离s (千米) 都 是骑车时间 t (时) 的一次函数. 1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米. 问 经过多长时间两人相遇 ? 对于乙,s 是t 的一次函数, 可设 s=kt+b。 小颖 当t=0时,s=150; 当t=1时,s=120。将它们分 别代入s=kt+b中,可以求出k 、b的值,也即可以求出乙 s 与t 之间的函数表达式。 同样可求出甲s与t之间的函 数表达式。 再联立这两个表达式,求解 方程组就行了。

你明白他的想法吗? 用他的方法做一做, 看看和你的结果一致吗?

? s ? 20t 消去 s ? ? s ? 150? 30t

t?3

在以上的解题过程中你受到什么启发?
用一元一次方程的 方法可以解决问题 用图象法可以 解决问题

小彬

小明

用作图象的方法可以 直观地获得问题的结果, 但有时却难以准确,为了 获得准确的结果,我们一 般用代数方法。

用方程组的方法可 以解决问题

小颖

例:如图,l11反映了某公司产品的销售收入与销售量 的关系, l22反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系, 根据图意填空: 当销售量为 4000 时,销售收入等于销售成本。
y/元
6000

l11
l22

5000
4000

3000
2000

你有什么新的方法 解决以前的问题吗?
1 2 3 4 5 6

1000

O

x/ 吨

思考题:
1.某区中学生足球赛共赛8轮(即每队均 需参赛8场),胜一场得3分,平一场得 1分,负一场得0分。在这次足球联赛中, 17/2 猛虎队踢平的场数是所负场数的2倍,共 得17分,试问该队胜了几场?(要求用 图象法求解) y
4 8/3 2

(2004年湖北省国家课改实验区中考题)
解:设:胜x场,负y场,则平2y场。 根据题意得:

1

? y ? ?1 / 3x ? 8 / 3 ? ? y ? ?3 / 2 x ? 17 / 2

0

2 3

5

x

思考题: ?ax ? 3 y ? 5
2.已知方程组 , 所对应的一次函数的图象表示如 图,试求出a-b的值。
Y

? ?2 x ? by ? 1

0 -1

1/2 X

课外思考题(备用题)
3.如图,L1和L2分别表示甲走路 和乙骑自行车(在同一条路上) 行走的路程s(千米)与时间t (小时)之间的关系,观察图象, s 回答下列问题:
(1)途中乙发生了什么事, (2)他们是相遇还是追击; (3)他们几时相遇。
D 12 E A B

P

10 8

0

0.5

1 1.2

t

1.右图中的两直线l1 、l2 的交点坐标可以看作
? y ? 2x ? 1 方程组 ? 的解 ?y ? ?x ? 4
y 4 3 2 l2 1 -1 0 -1

l1

1

2

3

4

x

2.解方程组

? x ? 2 y ? ?2 ? ?2 x ? y ? 2

解:由 x ? 2 y ? ?2 可得 同理,由 2 x ? y ? 2可得 y ? 2 x ? 2 在同一直角坐标系内作出一次函 l 2: y=2x-2 数 y ? 1 x ? 1的图象l1和 y ? 2 x ? 2 2 1 的图象l2, 如图所示
6 4 2

1 y ? x ?1 2

l 1: y=

2

x+1

P(2,2)

得l1,l2的交点为P(2,2)。 所以方程 的解是
? x ? 2 y ? ?2 ? ?2 x ? y ? 2
?x ? 2 ? ?y ? 2

-6

-4

-2

O -2 -4

2

4

6

-6



一、二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点 对应。 以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图形 就是 一次函数 y=3-x 的图象. 二、因为函数和方程有以上关系,所以我们就 可以用图象法解决方程问题,也可以用方程的 方法解决图象问题。 三、用图象法解二元一次方程组的一般步骤: 1.把两个方程都化成函数表达式的形式。 2.画出两个函数的图象。 3.找出交点坐标,交点坐标即为方程组的解。

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自家的三个娃儿说:“不是我说你们,也是有点儿不懂事儿呢!吃完了饭,快去给你们“爹”认个错吧,看把他给气得!”李长善也过来劝慰 耿老爹:“耿大哥啊,娃儿们小,还都不懂事儿呢。你就别再生气了!一会儿咱们一起下地去,看到漫山遍野丰收的稻谷,你肯定会很高兴 的!”看到“爹”虽然不再掉眼泪了,但依然还是闷闷不乐的样子,兄妹三个赶快围拢过来,你一言我一语说好听的话,耿老爹很快就重新露 出了笑脸,慈爱地责备他们:“以后可不准再这样了啊!你们都大了,说话做事的,不能没有样子啊!这人常说了,娃儿们必须从小就养成 ‘站要有站相,坐要有坐相’;吃饭的时候,要坐得端端正正的;还要做到吃菜不露齿,喝汤不出声!而你们呢,吃着饭还嘻嘻哈哈连说带笑 的,像什么样子啊!在伯伯和大娘面前,让爹丢脸!”兄妹三人都说:“我们错了!我们保证,以后再不这样了!”耿老爹这才如释重负,轻 松地长出一口气,对兄妹三人说:“好啦,爹不生气了!你们三个听着啊,咱们从今以后都听你们伯伯和大娘的安排,不可以再像前些天一样 无所事事只顾读书学习了!咱父子们必须要尽我们所能,多多地帮着伯伯和大娘做一些事情,多干些活计!你们记住了没有啊?”兄妹三个齐 声说:“记住啦!我们一定会好好干活儿的!”耿老爹放心地笑了。李长善夫妇看到这场风波已经过去,就高兴地开始安排这“父子”四人干 活儿了。也是,家里种了水、旱地三十来亩,眼下秋收还没有全部结束呢!从此以后,耿老爹“父子”四人开始帮着李长善夫妇干各种各样的 活计。接触到外面的世界,做一些庄稼地里的力气活儿,耿老爹的心情和身板儿越来越好了。而更让他高兴的是,尚文和尚英这俩娃儿干起活 儿来都很卖力气,也很会干;尚武虽然年纪小干不了多少,但也一刻不停地跑前跑后忙活着做一些力所能及的小活计。这让耿老爹深深地感到, 他在大恩人李长善夫妇面前很有面子!“爷儿们”私下里时,他对“自己”这仨宝贝赞不绝口!尚文兄妹三人听到“爹”的夸奖,尽管心里非 常想笑,但却不敢再笑出来了。尚文说:“爹,这是我们应该做的啊!我们干这些活儿很高兴呢!”耿老爹高兴地说:“这才是爹的好娃儿啊! 不过,你们也不能只顾干活儿,有空儿了还得认字、写字和读书啊!这些也是很重要的!”尚英说:“爹你就放心吧,我们都很爱跟你认字呢! 看你能把一大本书念下来,我们很眼红啊!”耿老爹更高兴了,说:“那爹就好好教,你们就好好学,争取你们也很快就能把一大本书念下 来!”尚武小嘴儿甜甜地说:“爹,我虽然比哥哥和姐姐小,干活儿是比不过他们了,但认字、写字和读书,我一定不会落在他俩后面的!如 若不信,爹你就‘骑驴看书’,走着瞧吧!”耿老


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