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解三角形练习题(附答案)

解三角形练习题
一、选择题: 1、在△ABC 中,a=3,b= 7 ,c=2,那么 B 等于( A. 30° B.45° C.60° 2、在△ABC 中,a=10,B=60°,C=45°,则 c 等于 ( A. 10 ? 3 B. 10 3 ? 1 ) D.120° ) D. 10 3 )

?

?

C. 3 ? 1

3、在△ABC 中,a= 2 3

,b= 2 2 ,B=45°,则 A 等于(

A.30° B.60° C.30°或 120° D. 30°或 150° 4、在△ABC 中,a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是( ) A.无解 B.一解 C. 二解 D.不能确定 5、在△ABC 中,已知 a ? b ? c ? bc ,则角 A 为(
2 2 2

) D.

A.

? 3

B.

? 6

C.

2? 3

? 2? 或 3 3

6、在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为 1,3,a,则 a 的范围是( ) A. ?8,10? B.

? 8, 10?

C.

?

8 ,10

?

D.

? 10,8?

8、在△ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么△ABC 一定是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 9、△ABC 中,已知 a ? x, b ? 2, B ? 60°,如果△ABC 两组解,则 x 的取值范围( )

4 3 3 10、 在△ABC 中, 周长为 7.5cm, 且 sinA: sinB: sinC=4: 5: 6,下列结论: ①a :b:c ? 4:5:6
A. x ? 2 B. x ? 2 C. 2 ? x ? D. 2 ? x ? ② a:b:c ? 2: 5 : 6 其中成立的个数是 A.0 个 ③ a ? 2cm, b ? 2.5cm, c ? 3cm ④ A: B :C ? 4:5:6 ( B.1 个 C.2 个 D.3 个 ) )

4 3 3

11、在△ABC 中, AB ?

3 , AC ? 1 ,∠A=30°,则△ABC 面积为 (
3 4
C.

A.

3 2

B.

3 或 3 2

D.

3 3 或 4 2

12、已知△ABC 的面积为 A.30°

3 ,且 b ? 2, c ? 3 ,则∠A 等于 ( 2



B.30°或 150° C.60°

D.60°或 120° )

13、已知△ABC 的三边长 a ? 3, b ? 5, c ? 6 ,则△ABC 的面积为 ( A.

A 14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空 20 米 1500 30 米 地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米 a 元,则 购买这种草皮至少要( ) A. 450a 元 B.225a 元 C. 150a 元 D. 300a 元 B C 15、甲船在岛 B 的正南方 A 处,AB=10 千米,甲船以每小 时 4 千米的速度向正北航行,同时乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60°的 方向驶去,当甲,乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( ) A.

14

B. 2 14

C. 15

D. 2 15

150 分钟 7

B.

15 分钟 7

C.21.5 分钟

D.2.15 分钟

16、飞机沿水平方向飞行,在 A 处测得正前下方地面目标 C 得俯角为 30°,向前飞行 10000 米,到达 B 处,此时测得目标 C 的俯角为 75°,这时飞机与地面目标的水平距离 为( ) A. 5000 米 B.5000 2 米 C.4000 米 D. 4000 2 米 )

a ? sin 10 °, b ? sin 50 °, 17、 在△ABC 中, ∠C=70°, 那么△ABC 的面积为 (
A.

1 64

B.

1 32

C.

1 16

D.

1 8


18、若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3 ,A=60°,则 BC 边的长是( A. 5 B.6 C.7 D.8 19、已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. 1 ? x ? 5 B. 5 ? x ? 13 C. 0 ? x ? )

5 D. 13 ? x ? 5


20、在△ABC 中,若

cos A cos B sin C ? ? ,则△ABC 是( a b c
B.等腰直角三角形 D.等边三角形

A.有一内角为 30°的直角三角形 C.有一内角为 30°的等腰三角形 3.

21.如图所示,D,C,B 在同一地平面的同一直线上,DC=10 m,从 D,C 两地测得 A 点的仰角分别为 30°和 45°,则 A 点离地面的高度 AB 等于( )

A.10 m B.5 3 m C.5( 3-1) m D.5( 3+1) m 22.我舰在敌岛 A 处南偏西 50°的 B 处,且 AB 距离为 12 海里,发现敌舰正离开岛沿北 偏西 10°的方向以每小时 10 海里的速度航行, 若我舰要用 2 小时追上敌舰, 则速度大小 为( ) A.28 海里/小时 B.14 海里/小时 C.14 2 海里/小时 D.20 海里/小时 23.台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内的地 区为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处, 则 B 城市处于危险区内的持续时间为( ) A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时 二、填空题 24、在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则 a : b : c ? 25、在△ABC 中, a ? 3 3, c ? 2, B ? 150°,则 b= 26、在△ABC 中,A=60°,B=45°, a ? b ? 12 ,则 a= ;b=

, b ? 209, A ? 121°,则此三角形解的情况是 27、已知△ABC 中, a ? 181
28、已知三角形两边长分别为 1 和 3 ,第三边上的中线长为 1,则三角形的外接圆半径 为 .

29、在△ABC 中, ?b ? c ? : ?c ? a ? : ?a ? b? ? 4 : 5 : 6 ,则△ABC 的最大内角的度数是 30.在一座 20 m 高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为 60°,塔底的俯角为 45°, 观测台底部与塔底在同一地平面,那么这座水塔的高度是________m. 31. 海上一观测站测得方位角 240°的方向上有一艘停止待修的商船, 在商船的正东方有 一艘海盗船正向它靠近,速度为每小时 90 海里.此时海盗船距观测站 10 7 海里,20 分钟后测得海盗船距观测站 20 海里,再过________分钟,海盗船即可到达商船. 三、解答题 32(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin A ? sin B ? ? cos C , (1)求角 A,B,C 的大小; (2)若 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求△ ABC 的面积.

33. (本题 14 分) 在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三内角 A、B、C 的对应的三边,已 知 b ? c ? a ? bc 。
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的大小: (Ⅱ)若 2sin
2

B C ? 2sin 2 ? 1 ,判断 ?ABC 的形状。 2 2

34.(本小题满分 12 分)
2 2 2 在△ABC 中, a、b、c 是角 A、B、C 所对的边,且满足 a ? c ? b ? ac .

(Ⅰ)求角 B 的大小; (II)设 m ? (sin A, cos 2 A), n ? (?6,?1) ,求 m ? n 的最小值.

35.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,已知 c ? 2 , C ? (1)若 ?ABC 的面积为 3 ,求 a、 b; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积。

?
3

36.(本小题满分 10 分) 已知△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a , b, c ,且 2 cos 2

5? ,求边 c 的大小; 12 (2)若 a ? 2c ,求△ABC 的面积.
(1)若 A ?

B ? 3 sin B , b ? 1 2

37.如图,地面上有一旗杆 OP,为了测得它的高度,在地面上选一基线 AB,测得 AB= 20 m,在 A 处测得点 P 的仰角为 30°,在 B 处测得点 P 的仰角为 45°,同时可测得 ∠AOB=60°,求旗杆的高度(结果保留 1 位小数).

38.一商船行至索马里海域时,遭到海盗的追击,随即发出求救信号.正在该海域执行护 航任务的海军“黄山”舰在 A 处获悉后,即测出该商船在方位角为 45°距离 10 海里的 C 处,并沿方位角为 105°的方向,以 9 海里/时的速度航行. “黄山”舰立即以 21 海里/时 的速度前去营救.求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程.

答案
一、选择题
题 号 答 案
1 C 2 B 3 C 4 B 5 C 6 D 7 B 8 B 9 C 10 C 11 B 12 D 13 B 14 D 15 A 16 A 17 C 18 C 19 B 20 B

DBB 二、填空题
24、 1 : 3 : 2 27、无解 30. 20(1? 3) 25、7 28、1 26、 36 ? 12 6 , 12 6 ? 24 29、120°

40 31. 3

三、解答题
32、解:由正弦定理得 sin C ?

AB sin A 10 ? BC BC 1 (1)当 BC=20 时,sinC= ;? BC ? AB ? A ? C ? C ? 30 ° 2
(2)当 BC=

20 3 3 时, sinC= ; 3 2

? C 有两解 ? C ? 60 ? 或 120° ? C (3)当 BC=5 时,sinC=2>1; 不存在 1 33、解: (1) cos C ? cos ?? ? ? A ? B ?? ? ? cos ? A ? B ? ? ? ? C=120° 2

? AB ? sin 45? ? BC ? AB

(2)由题设:

?a ?b?2 3 ? ? ab ?2
2

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120?
? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3

? ?

2

? 2 ? 10

? AB ? 10
34、证明:

? sin 2 A sin 2 B ? cos 2 A cos 2 B 1 ? 2 sin 2 A 1 ? 2 sin 2 B 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? a2 ? b2 ? ? a2 b2 a2 b2 a2 b2 ? ?

sin 2 A sin 2 B ? 由正弦定理得: a2 b2
? cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b
2

35、解:? 2 x ? 3x ? 2 ? 0
2

? x1 ? 2, x 2 ? ?

1 2 ?c o s C?? 1 2

又? cos C 是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的一个根 由余弦定理可得: c ? a ? b ? 2ab ? ? ?
2 2 2

? 1? 2 ? ? ?a ? b ? ? ab ? 2?

则: c 2 ? 100? a?10 ? a? ? ?a ? 5? ? 75
2

当 a ? 5 时,c 最小且 c ?

75 ? 5 3

此时 a ? b ? c ? 10 ? 5 3

? △ABC 周长的最小值为 10 ? 5 3
36、解: (1)由 sin A ? sin B ? sin C?cos A ? cos B? 可得 2 sin
2

? △ABC 是以 C 为直角顶点得直角三角形 1 (2)内切圆半径 r ? ?a ? b ? c ? 2 1 ? ?sin A ? sin B ? 1? 2
? 2 ? ?? 1 2 ?1 sin? A ? ? ? ? 2 4? 2 2 ?

C C?0 ? 1 ?c o s 2

即 C=90°

? 2 ?1? ? ? 内切圆半径的取值范围是 ? ? 0, 2 ? ? ?

37.解:设旗杆的高度为 h,新课标第一网 由题意,知∠OAP=30°,∠OBP=45°. OP 在 Rt△AOP 中,OA= = 3h. tan 30° OP 在 Rt△BOP 中,OB= =h. tan 45° 在△AOB 中,由余弦定理, 得 AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos 60°, 1 即 202=( 3h)2+h2-2 3h×h× . 2 400 解得 h2= ≈176.4. 4- 3 ∴h≈13(m). ∴旗杆的高度约为 13 m.

38.解:如图所示,若“黄山”舰以最少时间在 B 处追上商船,则 A,B,C 构成一 个三角形. 设所需时间为 t 小时, 则 AB=21t,BC=9t. 又已知 AC=10,依题意知,∠ACB=120°, 根据余弦定理,AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos∠ACB. ∴(21t)2=102+(9t)2-2×10×9tcos 120°, ∴(21t)2=100+81t2+90t, 即 360t2-90t-100=0. 2 5 ∴t= 或 t=- (舍). 3 12 2 ∴AB=21× =14(海里). 3 2 即“黄山”舰需要用 小时靠近商船,共航行 14 海里. 3


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