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怎样建立数学模型(高中)

怎样建立数学模型
一、什么是数学模型和数学建模? 数学模型(Mathematical Model)是用数学符号 对一类实际问题或实际系统发生的现象的(近似 的)描述. 而数学建模(Mathematical Modeling) 则是获得该模型、 求解该模型并得到结论以及验 证结论是否正确的全过程, 数学建模不仅是了 解系统的基本规律的强有力的工具, 而且从应 用的观点来看更重要的是预测和控制所建模系 统的行为的强有力的工具. 许多重要的物理现 象, 常常是从某个实际问题的简化数学模型的 求解中发现, 并给予明确的数学表述, 例如, 混 沌、孤立子、奇异吸引子等. 数学建模本身并不是什么新东西. 纵观科 学技术发展史, 我们可以看到数学建模的思想 和方法自古以来就是天文学家、物理学家、数学 家等用数学作为工具来解决各种实际问题的主 要方法. 不过数学建模这个术语的出现和频繁 使用是 20 世纪 60 年代以后的事情. 很重要的原 因是, 由于计算的速度、精度和可视化手段等长 期没有解决, 以及其他种种原因, 导致有了数学
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模型, 但是解不出来, 算不出来或不能及时地算 出来, 更不能形象地展示出来, 从而无法验证数 学建模全过程的正确性和可用性, 数学建模的 重要性逐渐被人“淡忘”了. 然而,恰恰是在 20 世纪后半叶,计算机、计算速度和精度,并行计 算、 网络技术等计算技术以及其他技术突飞猛进 的飞速发展, 给了数学建模这一技术以极大的 推动, 不仅重新焕发了数学建模的活力, 更是如 虎添翼地显示了数学建模的强大威力. 而且,通 过数学建模也极大地扩大了数学的应用领域. 现在数学建模以及相伴的计算和模拟 (Simulation, 有人也译作“仿真”)已经成为现代 科学的一种基本技术 — 数学技术. 在各种研 究方法, 特别是与应用电子计算机有关的研究 方法中, 占有主导地位. 在科技、经济和政府部 门的一部分人中, 在某种意义下, 甚至已经成为 一种生活方式(way of life), 数学建模无处不在. 在抵押贷款买房和商业谈判等日常生活中都要 用到数学建模的思想和方法. 人们越来越认识 到数学和数学建模的重要性. 在大、中学的教材 中经常出现各种各样的数学模型, 因此, 学习和 初步应用数学建模的思想和方法已经成为当代
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大学生, 以至生活在现代社会的每一个人, 必须 学习的重要内容.在部分中学, 都开设了数学建 模课; 自 1992 年开始举办的“中国大学生数学建模 竞赛(China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling, 缩写为 CUMCM)”已经 成为我国大学生课余最大的科技活动. (想了解 CUMCM 更多细节的读者可以访问网站 http://mcm.edu.cn). 于 1985 年开始举办的“美 国大学生数学建模竞赛(Mathematical Contest in Modeling, 缩写为 MCM)”以及与 1999 年起 开始增加的“美国大学生跨学科建模竞赛 (Interdisciplinary Contest in Modeling, 缩写为 ICM)”也是我国大学生非常乐于参加的数学建 模竞赛, 近年来这两个竞赛有一半以上的参赛 队来自中国. (想了解 MCM 和 ICM 更多的细节 的读者可以访问网站 http://comap.com ). 对实际现象的定量研究的重要性和挑战在于 怎样去建立能够更好地了解该现象,并且可以应 用数学方法来解决的数学模型 (数学问题). 实际 现象通常都是极为复杂的 , 不经过理想化和简
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化是很难进行定量研究的. 因此, 数学建模的全 过程大体上可归纳为以下步骤: 1. 对某个实际问题进行观察、分析(是否抓住主 要方面); 2. 对实际问题进行必要的抽象、简化,作出合理 的假设(往往是很不容易的); 3. 确定要建立的模型中的变量和参数; 4. 根据某种“规律”(已知的各学科中的定律, 甚 至是经验的规律) 建立变量和参数间确定的 数学关系 (明确的数学问题或在这个层次上 的一个数学模型), 这可能是一个非常具有挑 战性的数学问题; 5. 解析或近似地求解该数学问题. 这往往涉及 复杂的数学理论和方法, 近似方法和算法; 6. 数学的结论能否展示、解释甚至预测实际问 题中出现的现象, 或用某种方法 (例如,历史 数据、实验数据或现场测试数据等) 来验证结 论是否合理、正确, 这也是很不容易的; 7. 如果第 6 步的结果是肯定的,那么就可以付 之试用; 如果是否定的,那就要回到第 1 – 6 步进行仔细分析,重复上述建模过程。

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因此, 如果要对数学建模下定义的话, 那就是: 数学建模就是上述7个步骤的多次重复执行的过 程. 或用框图来表示如下:
观察、分析实际问题 →→→→→→→→ ↓ ↑ 抽象、简化,确定变量和参数 ↑ ↓ 利用某种“定律”建立变量 和参数间的确定的关系(数学 问题, 这个层次上的一个数学 模型) ↑ ↓ 解析或“近似”地求解该 数学问题(数学模型) ↓ 解释、验证 ↑ ↓ ←←←←←← 通不过 ↓ ↓ 通过 ↓ 可应用该数学模型

由此可见, 数学建模过程中最重要的三个要素, 也是三个最大的难点是: 1. 怎样从实际情况出发做出合理的假设, 从而 得到可以执行的合理的数学模型; 2. 怎样求解模型中出现的数学问题, 它可能是 非常困难的问题; 3. 怎样验证模型的结论是合理、正确、可行的. 所以, 当你看到一个数学模型时, 就一定要
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问问或者想一想它的假设是什么 ,是否合理? 模 型中的数学问题是否很难 , 数学上是否已经解 决 ? 怎样验证该模型的正确与可行性 ? 当你在 学习有关后继课程或参加具体的数学建模活动 时牢记这三条, 一定会受益匪浅. 另外 , 在建模过程中还有一条不成文的原则 : “从简单到精细”, 也就是说, 首先建立一个比 较简单但尽可能合理的模型 , 对该模型中的数 学问题有可能解决很彻底 , 从而能够做到仅仅 通过实验观察不可能做到的事情 , 甚至发现重 要的现象. 如果在求解该模型的结果不合理, 甚 至完全错误 , 那么它也有可能告诉我们如何改 进的方向. 要想比较成功地运用数学建模去解决真正的 实际问题, 还要学习“双向翻译”的能力, 即能 够把实际问题用数学的语言表述出来 , 而且能 够把数学建模得到的(往往是用数学形式表述的) 结果, 用普通人 (或者说要应用这些结果的非数 学专业的人士)能够懂的普通语言表述出来. 二、可口可乐罐头为什么是这种样子? 可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料
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罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比 为多少? 为什么? 它们的形状为什么是这样的? “用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖 (或有盖)容器,问应当如何设计,才能使用料最 省,这时圆柱的直径和高之比为多少? ” 实际上 , 用几何语言来表述就是 : 体积给定 的正圆柱体 , 其表面积最小的尺寸 ( 半径和高 ) 为多少? 表面积用 S 表示 , 体积用 V 表示 , 则用微积分 的典型的解法是

S (r , h) ? 2? r h ? ? r 2 ? ? r 2 ? 2? [r 2 ? rh] V ? ? r 2 h, h ? V / ? r 2 S (r ) ? 2? [r 2 ? V / ? r ]
S ?(r ) ? 2? (2r ? V 2? V 3 ) ? (2 r ? )?0 2 2 ?r r ?
3

r?

V , 2?

V V h? 2 ? ?r ?

3

4? 2 3 4? 2V 3 3 8V ? ? ? 2r ? d . 2 2 2 V ?V 2?

结论: 正圆柱体的直径等于高. 测量一个可口可乐饮料罐:
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它顶盖的直径和从顶盖到底部的高 : 约为6厘米 和12厘米. 中间胖的部分的直径约为 6.6厘米,胖的部分高 约为10.2厘米. 可口可乐饮料罐上标明净含量为 355 毫升 ( 即 355 立方厘米). 实际的罐内体积为 365 毫升. 怎样测量比较简捷? 简化模型 分析和假设: 首先把饮料罐近似看成一个正圆柱 是有一定合理性的 . 要求饮料罐内体积一定时 , 求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直 径和从顶盖到底部的高之比. 实际上, 饮料罐的形状是如下平面图形绕其 中轴线旋转而成的立体。

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my = {AbsoluteThickness[2],Line[{{2.3,0.4},{2.3,0},{2.7,0}, {2.7,0.8},{3.3,0.8},{3.3,11},{3,12},{3,12.4},{2.7,0},{-3,12}, {-3,12.4},{-3,12},{-3.3,11},{-3.3,0.8},{-2.7,0.8},{-2.7,0}, {-2.3,0},{-2.3,0.4}}]} mygrapg = Show[Graphic[my],AxesLabel->{x,y}, AspectRatio->Automatic, PlotRange->{0,12.4}]

用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其 他的材料要硬 (厚, 因为要使劲拉 ), 假设除易拉 罐的顶盖外, 罐的厚度相同, 记作 b , 顶盖的厚 度为 ? b . 想象一下 , 硬度体现在同样材料的 厚度上 (有人测量过 , 顶盖厚度大约是其他部分 的材料厚度的 3 倍). 因此, 我们可以进行如下 的数学建模 . 这时必须考虑所用材料的体积 (或 者每单位体积的材料的价格).
F={AbsoluteThickness[1],Line[{{-3.1,0},{3.1,0},{3.1,12.4}, {-3.1,0},{-3,0.1},{3,0.1},{3,12.1},{-3,12.1},{-3,0.1}}]}
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mygrapg = Show[Graphic[F],AxesLabel->{x,y}, AspectRatio->Automatic, PlotRange->{0,12.5}]

明确变量和参数:设饮料罐的半径为 r(因此, 直径为 d = 2r), 罐的高为 h. 罐内体积为 V. b 为除顶盖外的材料的厚度. 其中 r, h 是自变 量, 所用材料的体积 SV 是因变量 , 而 b 和 V 是 固定参数,

? 是待定参数.

饮料罐侧面所用材料的体积为
(? (r ? b)2 ? ? r 2 )(h ? (1 ? ? )b) ? (2? rb ? ? b2 )(h ? (1 ? ? )b) ? 2? rhb ? 2? r (1 ? ? )b2 ? h? b 2 ? ? (1 ? ? )b3
2 饮料罐顶盖所用材料的体积为 ? b? r 2 饮料罐底部所用材料的体积为 b? r

所以, SV 和 V 分别为,
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SV (r , h) ? ? b[(1 ? ? )(r ? b) 2 ? (2r ? b)h] ? 2? rhb ? (1 ? ? )? r 2b ? 2? r (1 ? ? )b 2 ? h? b 2 ? ? (1 ? ? )b3 V ( r , h) ? ? r 2 h
2 3 b , b b ? r 因为 , 所以带 的项可以忽略

( 工程上用的近似方法 , 是合理的假设或简化 吗?). 因此

SV (r , h) ? S (r , h) ? 2? rhb ? ? r 2 (1 ? ? )b
记 g (r , h) ? ? r h ? V .
2

于是我们可以建立以下的数学模型:
r ? 0, h ? 0

min S ( r , h)

s.t. g ( r , h ) ? 0 其中 S 是目标函数, g (r , h) ? 0 是约束条件, V
是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的 条件下, 求罐的体积最小的 r, h 和

? 使得

r, h

和测量结果吻合. 这是一个求条件极值的问题. 模型的求解:方法1: (从约束中解出一个变量, 化约束极值问题为求一元函数的无约束极值问 题)
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2 2 从 g (r , h) ? ? r h ? V ? 0 解出 h ? V / ? r ,

代入 S, 使原问题化为: 求 d : h 使 S 最小, 即, 求 r 使

2V S (r , h(r )) ? b[ ? ? (1 ? ? ) r 2 ] r
最小. 求临界点: 令其导数为零得

dS V 2b ? 2b[(1 ? ? )? r ? 2 ] ? 2 ((1 ? ? )? r 3 ? V ) ? 0. dr r r
解得临界点为
h? V
r?
3

V (1 ? ? )? , 因此

?

(3

2(1 ? ? )? 2 V ) ? 2(1 ? ? )( 3 ) V (1 ? ? )?

(1 ? ? )d . 2 测量数据为 h/r=2, 即 4 ? 1 ? ? , ? =3 , 即顶盖 ? (1 ? ? )r ?

的厚度是其他材料厚度的 3 倍. 为验证这个 r 确实使 S 达到极小. 计算 S 的 二阶导数

S ?? ? 4b[2? (1 ? ? ) ?

2V ] ? 0, ? r ? 0. 3 r

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所以, 这个 r 确实使 S 达到局部极小, 因为临 界点只有一个, 因此也是全局极小. 方法2: 利用算术几何平均值不等式:
1 n ai ? ? n i ?1
n

?a ,
i i ?1

n

ai ? 0, i ? 1,..., n



当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 时等号成立. (n = 2,3 时有明显的几何意义: 周长一定的矩形 中正方形的面积最大 ; 三边长的和一定的长方 体中立方体的体积最大 .) 算术几何平均值不等 式是一类等周不等式. 令
n ? 3, a1 ? a2 ? V , a3 ? (1 ? ? )r 2 , ?r

于是有

V V [ ? ? (1 ? ? )? r 2 ]/ 3 ? 3 (1 ? ? )? V 2 ,当且仅当 r r V V ? (1 ? ? )r 2 时等号成立, r0 ? 3 即在 处达到极 (1 ? ? )? ?r

小值. 结果相同. 注意, 如果不忽略高级无穷小量,那么
SV (r , h) ? ? b[(1 ? ? )(r ? b) 2 ? (2r ? b)h]

把 h ? V / ? r 2 ,代入 SV ,得
SV (r ) ? ? b[(1 ? ? )(r ? b)2 ? (2r ? b) V ] 2 ?r

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求临界点,得
SV ?(r ) ? ? b[2(1 ? ? )(r ? b) ? 2V 2(2r ? b)V ? ] ? r2 ? r3 V ) ? 0, r0 ? ? r3
3

? 2? b( r ? b)((1 ? ? ) ?

V (1 ? ? )?

因此
h? V V 3 2(1 ? ? )? 2 V 3 ? ( ) ? 2(1 ? ? )( ) ? r02 ? V (1 ? ? )? (1 ? ? )d 2

? (1 ? ? ) r0 ?

又因为 SV ?? ? 2b(2? ?
V r0 ? (1 ? ? )?
3

(3b ? 2r )V ) ? 0, r ? 0 . 所以 r4

是唯一的临界点,因而是全局极

小点. 当 ? ? 3 , 即高等于2倍的直径时,制作饮 料罐时所用的材料最省. 验证和进一步的分析: 有人测量过顶盖的厚度确 实为其他材料厚度的 3 倍. 如果易拉罐的半径为3厘米, 则其体积为
V 3 r ? 按照 4? 计算, V = 365立方厘米, 可以算得

r = 3.074 厘米.
下面只是一种可能的考虑.
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粗略的计算 , 可以把饮料罐的体积看成两部 分,一是上底半径为 3 厘米, 下底半径为 3.3 厘米, 高为 1 厘米的锥台, 二是半径为 3.3 厘米, 高为 10.2 厘米的正圆柱体 . 它们的体积分别为 31.2 立方厘米和 349 立方厘米总共为 380.2 立方厘 米. 然后, 我们再来通过测量重量或容积 (怎么测 量?)来验证. 我们可以认为 1 立方厘米的水和饮 料的重量都是 1 克. 测量结果为: 未打开罐时饮料罐的重量为 370 克, 倒出来的可乐确实重 355 克, 空的饮料 罐重量为 15 克, 装满水的饮料罐重量为 380 克. 这和我们的近似计算 380.2 立方厘米十分接近! 饮料罐不能装满饮料 , 而是留有 10 立方厘米的 空间余量. 由锥台和正圆柱体组成的容器的数学建 模?(见习题) 有意思的是 , 计算饮料罐的胖的部分的直径 和高的比为 6.6/10.2 = 0.647, 非常接近黄金分 割比 0.618. 这是巧合吗? 还是这样的比例看起 来最舒服, 最美? 此外, 诸如底部的形状, 上拱的底面, 顶盖实
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际上也不是平面的, 略有上拱, 顶盖实际上是半 径为 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料冲压而 成的, 从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要 求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合) 很牢固、耐压. 所有这些都是物理、力学、工程 或材料方面的要求 , 必须要有有关方面的实际 工作者或专家来确定. 因此, 同学们可以体会到 真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的 过程, 只依靠数学知识是不够的, 必须和实际工 作者的经验紧密结合. 还可以从其他角度来考虑各种各样罐的数 学建模. 可以参看有关的阅读材料. 习题(任课教师可以自行配置习题) 1. 如果正圆柱形饮料罐 , 上底的厚度为其它部 分厚度的 3 倍, 饮料罐的总面积固定, 求能够 使其体积最大的饮料罐的尺寸 ( 直径和高之 比). 2. 试证明 , 在周长相等的矩形中 , 正方形的面 积最大. 试证明, 表面积相等的长方体中 , 正 方体的体积最大. (到市场上去考察各种箱包、 容器的尺寸, 并给予一定的解释.)
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3, 假设饮料罐的剖面图如下图所示

my = AbsoluteThickness 1 , Line 3.3, 11 , 3, 12 ,

mygrapg = Show Graphics my , AxesLabel ? AspectRatio ? Automatic, PlotRange ?

上半部分是一个圆锥台 , 下半部分是一个圆 柱体. 如果顶盖半径为3厘米, 圆锥台的高为1 厘米 . 设圆柱体的半径为 r 厘米 , 高为 h 厘米 . 求罐内体积固定时,表面积最小的罐的尺寸. 4.在正圆柱形饮料罐的最优设计中 , 你有没有 发现什么规律性的事实? 5.正椭圆柱形状的饮料罐的设计 . 求长轴为短 轴K倍的正椭圆柱体积一定时能使其表面积 最小的短轴和高的比. (提示: 长轴为 a, 短轴为 b (a> b>0)的椭圆的 面积为 ? ab ,它的周长为

8 @ D @ 8 < 8 < 8 < 8 < 8 < 8@ < 8 < D < @ D 8 8 < < D
- 3, 12 , - 3.3, 11 , - 3.3, 0 ,
3.3, 0 , 3.3, 11
x, y , 0, 12

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2 2 a ? b 2 C ? 4b ? 2 1 ? sin tdt . 2 0 b 虽然它不能用初等函数表示, 但是当给出 a

?

和 b 的具体数值时, 可以用数学软件来计算 它的值. 若令
? a 2 ? b2 ? ? , E ( ? , ? ) ? 1 ? ? 2 sin 2 tdt 2 ? 0 b
2

称为第二类不完全椭圆积分, 或Legendre第 二类椭圆积分, 是一类重要的特殊函数.) 4. 太空船 (航天飞机, Space Shuttle)里的水箱的 外形是由半径为 r 的球放在一个正圆锥上形 成的, 形如我们通常吃的冰淇淋的样子. (其中 心纵断面的图形见下图).

圆锥体的底部直径等于球体的半径 (见上图). 如
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果球体的半径限定为正好为 6 英尺, 设计的水箱 表面积为 460 平方英尺, 请确定球拱高和圆锥体 高的尺寸, 使得水箱容积最大. 试着从约束中解 出一个变量 , 化条件极值问题为求一元函数的 无条件极值问题 , 手算容易吗?再用数学软件 试试, 体会数学软件的优势. 什么情况下数学软 件是可以信任的, 什么情况下会出问题.
2 V ? (2 rx x ? x x 1 2 1 2) 圆锥部分的体积 c 3

?

被圆锥所截后的球体部分的体积

Vs ?

?
3

3 3 2 4 r ? x ? 3 x ? 2 2r?

水箱的总体积 Vw ? Vc ? Vs 圆锥的表面积

Sc ? ?

? 2rx

2 2 2 ? x ? x 2 rx ? x ?? 2 2 1 2 2?

被圆锥所截后的球体部分的表面积

S s ? 4? r 2 ? 2? rx2
水箱的总表面积 ST ? Sc ? S s . 问题为

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Maximize f ( x1 , x2 ) ? s.t. 4? r 2 ? 2? rx2 ? ?

?

4r ? 3

3

3 2 2 ? x2 ? 3x2 r ? 2rx1 x2 ? x1 x2 ?

? 2rx

2 2 2 ? x ? x 2 rx ? x ?? 2 2 1 2 2 ? ? 450

从约束条件解出

x1
2

x1 ?

? 460 ? 2 ? 4 r ? 2 rx ? 2? ? ? ? ? 2rx ? x 2 ? 2 2? 2 2 rx ? x ? 2 2?

代入

f ( x1 , x2 ) ,
? ? ? ? ? ? ?

3 2 ? 4r 3 ? x2 ? 3x2 r? ? 2 ?? 460 ? ? 2 2 2 V ( x2 ) ? ? ? 4r ? 2rx2 ? ? ? 2rx2 ? x2 ? ? 3? ? ? ? 2 (2rx2 ? x2 ) 2 ? 2rx2 ? x2 ? ? ?

这些都还可以手算, 手算求临界点可行吗? 为什么要用数学软件包就成为必须考虑的问题. 考试题目 1. 什么是数学模型和数学建模 ; 数学建模的难 点是什么?
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2. 如果圆柱形饮料罐(易拉罐)顶盖的厚度是其他 部分厚度的两倍 . 罐内体积一定时, 能使材料 最省的罐的直径和高之比为多少?

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