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高等数学B微分方程与差分方程一阶常系数线性差分方程_图文

一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解
对于一阶常系数齐次线性差分方程 (2) , 通常有如下 两种解法 , 1 . 迭代法 若 y0已知 , 由方程 (2) 依次可得出

y1 ? a y0

y2 ? a y1 ? a y0
2

y3 ? a y2 ? a y0
3

?? 于是 y x ? a x y0 , 令 y0 ? C 为任意常数 , 则齐次方程的 通解为 Yx ? Ca x .

2 . 特征根法 由于方程 y x ?1 ? a y x ? 0 等同于 ? y x ? (1 ? a ) y x ? 0 可 以看出 y x 的形式一定为某个指数函数 .
x 于是 , 设 y x ? ? (? ? 0) 代入方程得

? x ?1 ? a? x ? 0


? ?a ?0

(3)

得 ? ? a . 称方程 (3) 为齐次方程(2)的特征方程 , 而 ? ? a 为特征方程的根 (简称特征根) . 于是 y x ? a x 是齐次方 程的一个解 , 从而 y x ? Ca x ( C 为任意常数 ) (4)

是齐次方程的通解 .

例 1 求 2 y x ?1 ? y x ? 0 的通解 .
解 特征方程为 2? ? 1 ? 0 1 特征方程的根为 ? ? ? . 于是原方程的通解为 2 1 x y x ? C ( ? ) . ( C 为任意常数 ) 2

例 2 求方程 3 y x ? y x ?1 ? 0 满足初始条件 y0 ? 2的解 .
解 原方程可以改写为

3 y x ?1 ? y x ? 0 ,
特征方程为
3? ? 1 ? 0 ,

1 其根为? ? . 于是原方程的通解为 3 1 x yx ? C ( ) 3 把初始条件 y0 ? 2 代入 , 定出 C = 2 , 因此所求特解为 1 x yx ? 2( ) . 3

二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 由上节定理 3 可知 , 一阶常系数非齐次线性差分方程 (1) 的通解由该方程的一个特解 y* x与相应的齐次方程的 通解之和构成 . 由于相应的齐次方程的通解的求法已经解决 . 因此 , 我们只需要讨论非齐次方程特解 y* x 的求法 . 当右端 f ( x ) 是某些特殊形式的函数时 , 采用待定系 数法求其特解 y* x 较为方便 .

1. f ( x ) ? Pn ( x )型

Pn ( x )表示 x 的 n 次多项式 , 此时方程 (1) 为
y x ?1 ? a y x ? Pn ( x ) (a ? 0)

由? y x ? y x ?1 ? y x , 上式可改写成为

? y x ? (1 ? a ) y x ? Pn ( x ) (a ? 0)
* y 设 x 是它的解 , 代人上式得

? y ? (1 ? a ) y ? Pn ( x ) * 由于 Pn ( x ) 是多项式 , 因此 y x 也应该是多项式 (因为 * * y ? y 当 x 是 x 次多项式时 , x 是 ( x – 1) 次多项式) .
* x * x

如果 1 不是齐次方程的特征方程的根 , 即1 – a ? 0 , * y 那么 x 也是一个 n 次多项式 , 于是令

y ? Qn ( x ) ? b0 x ? b1 x
* x n

n?1

? ? ? bn?1 x ? bn

把它代人方程 , 比较两端同次幂的系数 , 便可得 Qn ( x ) .

如果 1 是齐次方程的特征方程的根 , 即1 – a = 0 , 这 * * 时 y* 满足 因此应取 y ? y ? P ( x ) , x x 为一个 n + 1 次多 x n 项式 , 于是令

y ? xQn ( x ) ? x(b0 x ? b1 x
* x n

n?1

? ? ? bn?1 x ? bn )

将它代人方程 , 比较同次幂的系数 , 即可确定各系数

bi ( i ? 0 , 1 , 2 , ?, n) . 综上所述 , 我们有如下结论 :
结论 若 f ( x ) ? Pn ( x ) , 则一阶常系数非齐次线性差 分方程 (1) 具有形如

y ? x Qn ( x )
* x k

的特解 , 其中 Qn ( x )是与Pn ( x )同次的待定多项式 , 而 k

的取值如下确定 : (1) 若 1 不是特征方程的根 , k = 0 ; (2) 若 1 是特征方程的根 , k = 1 .

例 3 求差分方程 y x ?1 ? 3 y ? ?2 的通解 .
解 (1) 先求对应的齐次方程 y x ?1 ? 3 y ? 0 的通解 Yx . 由于齐次方程的特征方程为 ? – 3 = 0 , ? = 3 是特征 方程的根 . 故 Yx ? C 3 x 是齐次方程的通解 . (2) 再求非齐次方程的一个特解 y * x . 由于 1 不是特征方程的根 , 于是令 y* x ? a 代人原方

程为

a ? 3a ? ? 2

即 a = 1 . 从而 y * x ?1. (3) 原方程的通解为
x y x ? Yx ? y * ? C 3 ? 1 . ( C 为任意常数 ) x

例4 求差分方程 y x ?1 ? 2 y x ? 3 x 2 的通解 . 解 (1)先求对应的齐次方程 y x ?1 ? 2 y x ? 0 的通解 Yx .

由于特征方程为? ? 2 = 0 , 得其根为? = 2 , 于是

Yx ? C ? 2 ; * y (2) 再求非齐次方程的一个特解 x .
x

由于 1 不是特征根 , 于是令

2 y* ? b x ? b1 x ? b2 x 0

代人原方程 , 得 b0 ( x ? 1)2 ? b1 ( x ? 1) ? b2 ? 2(b0 x 2 ? b1 x ? b2 ) ? 3 x 2

比较两边同次幂的系数 , 得

b0 ? ? 3 , b1 ? ? 6 , b2 ? ? 9 ,
于是

y ? ? 3x ? 6x ? 9 ;
* x 2

(3) 原方程的通解为

yx ? C ? 2 ? 3 x ? 6 x ? 9 .
x 2

例5 求差分方程 yt ?1 ? yt ? t ? 1 满足 y0 ? 1 的特解 .
解 (1) 对应的齐次方程 yt ?1 ? yt ? 0的通解为 Yt ? C ;
* (2) 再求原方程的一个特解为 yt .

由于 1 是特征方程 ? ? 1 = 0 的根 , 于是令

yt* ? t (b0t ? b1 ) ? b0t 2 ? b1t
代人原方程 , 比较两端同次幂的系数 , 得
1 1 b0 ? , b1 ? , 2 2

于是
1 2 1 y ? t ? t. 2 2
* t

(3) 原方程的通解为
1 2 1 yt ? C ? t ? t . 2 2



(4) 由 y0 ? 1得 C = 1 , 故原方程满足初始条件的特解
1 2 1 yt ? 1 ? t ? t . 2 2

2. f ( x ) ? ? x Pn ( x )型 这里 ? 为常数 , ? ? 0 且 ? ? 1 , Pn ( x )表示 x 的 n 次 多项式 , 此时 , 只须作变换 yx ? ? x ? zx 将它代入原方程 y x ?1 ? a y x ? ? x Pn ( x )得

? x ?1 z x ?1 ? a? x z x ? ? x Pn ( x )
消去 ? x , 即得

? z x ?1 ? a z x ? Pn ( x )
y ? ? ?z .
* x x * x

对此方程 , 我们已经会求出它的一个解 z * x , 于是

例6 求 y x ?1 ? y x ? 2 x ? x 的通解 .
解 (1)先求对应的齐次方程 y x ?1 ? y x ? 0的通解 Yx , 由于特征方程为 ? + 1 = 0 , 其根为 ? = – 1 , 于是有

Yx ? C ( ?1) x ; ( C 为任意常数 )
(2) 再求原方程的一个特解 y * x .
令 y x ? 2 x ? z x , 原方程化为

2 z x ?1 ? z x ? x ,
不难求得它的一个特解为 1 2 * zx ? x ? , 3 9 于是

2? ?1 y ?2 ? x? ?, 9? ?3 (3) 原方程的通解为
* x x

y x ? Yx ? y * x
2? ?1 ? C ( ?1) ? 2 ? x ? ? . 9? ?3
x x