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高一数学人教版A版必修二课件:第二章 点、直线、平面之间的位置关系_图文

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
章末复习课

学习目标
1.整合知识结构,梳理各知识网络,进一步巩固、深化所学知识; 2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力,在空间实现平行关系、 垂直关系、垂直与平行关系之间的转化.

要点归纳

题型探究

达标检测

要点归纳

主干梳理 点点落实

1.四个公理

公理1:如果一条直线上的_两__点___在一个平面内,那么这条直线上所有

的点都在这个平面内.

公理2:过__不__在__同__一__条__直__线__上__的三点,有且只有一个平面.

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 _一__条__过__该__点__的__公__共__直__线__.

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相_平__行__.

2.直线与直线的位置关系

共面直线

— 平—行 相—交—

异面直线:不同在_任__何__一个平面内,没有公共点

答案

3.平行的判定与性质

(1)直线与平面平行的判定与性质

判定

定义

定理

性质

图形

条件 结论

__a_?_α_,_b_?_α_,___ _a_∩__α_=__?__
__a_∥__b__

__a_∥__α_

_a_∥__α_,_a_?_β_,___ _α_∩__β_=__b_

a∥α

b∥α

a∩α=?

a∥b
答案

(2)面面平行的判定与性质

判定

定义

定理

性质

图形

条件 结论

__α_∩__β_=__?_

_a_?__β_,b_?__β_, ___ ___α_∥_,_β_____ _a_∩__b_=__P_,_ __α_∩,_γ_=__a____
_a_∥__α_,b_∥__α___ β∩_γ=b

α∥β,a?β

α∥β

α∥β

a∥b

a∥α
答案

(3)空间中的平行关系的内在联系

4.垂直的判定与性质 (1)直线与平面垂直
图形
判定

条件

结论

a⊥b,b?α (b为α内的_任__意___直线)

a⊥α

a⊥m,a⊥n,m、 n?α,m__∩__n_=__O____

a⊥α
答案

判定 性质

a∥b,__a_⊥__α_

b⊥α

a⊥α,__b_?__α_

a⊥b

a⊥α,b⊥α

_a_∥__b__
答案

(2)平面与平面垂直的判定与性质定理

文字语言

图形语言

如果一个平面经过另一个 判定
平面的一条_垂__线__,那么这 定理
两个平面互相垂直

如果两个平面互相垂直, 性质 那么在一个平面内垂直于 定理 它们交线的直线垂直于另
一个平面

符号语言

l?β ? l⊥α??

?α⊥β

α⊥β, α∩β=a,
?l⊥α l?β, l⊥a
答案

(3)空间中的垂直关系的内在联系.
5.空间角 (1)异面直线所成的角 ①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b, 把a′与b′所成的__________锐__角_叫(或做直异角面) 直线a,b所成的角(或夹角). ②范围:设两异面直线所成角为θ,则0°<θ≤90°.
答案

(2)直线和平面所成的角

①平面的一条斜线与它在_平__面__内__的__射__影___所成的锐角叫做这条直线与这

个平面所成的角.

②当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的

角分别为____9_0_°__和__0.°

(3)二面角的有关概念

①二面角:从一条直线和由这条直线出发的__两__个__半__平__面___所组成的图形

叫做二面角.

②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分

别作___垂__直__于__棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

答案

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题型探究

重点难点 个个击破

类型一 几何中共点、共线、共面问题
例1 如图所示,空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别 在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2. 求证:(1)E、F、G、H四点共面; 证明 ∵BG∶GC=DH∶HC,∴GH∥BD, 又EF∥BD,∴EF∥GH, ∴E、F、G、H四点共面.

解析答案

(2)GE与HF的交点在直线AC上. 证明 ∵G、H不是BC、CD的中点,∴EF≠GH. 又EF∥GH,∴EG与FH不平行, 则必相交,设交点为M. EHGF??面 面AABCCD??????M∈面 ABC 且 M∈面 ACD ?M在面ABC与面ACD的交线上, 又面ABC∩面ACD=AC?M∈AC. ∴GE与HF的交点在直线AC上.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1 如图,O是正方体ABCD-A1B1C1D1上底面ABCD的中心,M 是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点.求证:O、M、A1三点共线. 证明 ∵O∈AC,AC?平面ACC1A1,∴O∈平面ACC1A1. ∵M∈AC1,AC1?平面ACC1A1,∴M∈平面ACC1A1. 又已知A1∈平面ACC1A1, 即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上, 又O、M、A1三点都在平面A1BD上, 所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上, 所以O、M、A1三点共线.
解析答案

类型二 空间中的平行关系

例2 如图,E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、
C1D1、AA1的中点, 求证:(1)GE∥平面BB1D1D;
证明 如图,取B1D1中点O,连接GO,OB, 易证 OG 綊12B1C1,BE 綊21B1C1, ∴OG綊BE,四边形BEGO为平行四边形.

∴OB∥GE.

∵OB?平面BDD1B1,GE?平面BDD1B1, ∴GE∥平面BDD1B1.

解析答案

(2)平面BDF∥平面B1D1H. 证明 由正方体性质得B1D1∥BD, ∵B1D1?平面BDF,BD?平面BDF, ∴B1D1∥平面BDF. 连接HB,D1F,易证HBFD1是平行四边形,得HD1∥BF. ∵HD1?平面BDF,BF?平面BDF, ∴HD1∥平面BDF. ∵B1D1∩HD1=D1, ∴平面BDF∥平面B1D1H.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2 如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,CE =CA=2BD,M是EA的中点,N是EC的中点,求证:平面DMN∥平面ABC. 证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点,∴MN∥AC, 又∵AC?平面ABC,MN?平面ABC,∴MN∥平面ABC, ∵DB⊥平面ABC,EC⊥平面ABC,∴BD∥EC, ∵N为EC中点,EC=2BD,∴NC綊BD, ∴四边形BCND为矩形,∴DN∥BC, 又∵DN?平面ABC,BC?平面ABC, ∴DN∥平面ABC, 又∵MN∩DN=N,∴平面DMN∥平面ABC.
解析答案

类型三 空间中的垂直关系 例 3 如 图 所 示 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , PA⊥ 底 面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点. 证明:(1)CD⊥AE; 证明 在四棱锥P-ABCD中, ∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. 而AE?平面PAC,∴CD⊥AE.
解析答案

(2)PD⊥平面ABE. 证明 由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA. ∵E是PC的中点,∴AE⊥PC. 由(1),知AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD=A, ∴AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD, ∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练3 如图,A,B,C,D为空间四点.在△ABC中,AB=2, AC=BC= 2,等边△ADB 以 AB 为轴运动. (1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD; 解 如图,取AB的中点E,连接DE,CE, 因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB, 所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE, 由已知可得 DE= 3,EC=1, 在 Rt△DEC 中,CD= DE2+EC2=2.

解析答案

(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论. 解 当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD. 证明如下:①当D在平面ABC内时, 因为AC=BC,AD=BD, 所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时, 由(1)知AB⊥DE.又因AC=BC,所以AB⊥CE. 又DE,CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE, 由CD?平面CDE,得AB⊥CD. 综上所述,总有AB⊥CD.

解析答案

类型四 空间角问题

例4

如 图 , 在 四 棱 锥 P—ABCD 中 , PA⊥ 底 面

ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.

(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;

解 在四棱锥P—ABCD中,

因为PA⊥底面ABCD,AB?平面ABCD,

故PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,

从而AB⊥平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA,

从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.

在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.

所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.

解析答案

(2)证明:AE⊥平面PCD; 证明 在四棱锥P—ABCD中, 因为PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD, 故CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC=A, 所以CD⊥平面PAC. 又AE?平面PAC,所以AE⊥CD. 由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA. 因为E是PC的中点,所以AE⊥PC. 又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.

解析答案

(3)求二面角A—PD—C的正弦值.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练4 如图,正方体的棱长为1,B′C∩BC′=O,求: (1)AO与A′C′所成角的度数; 解 ∵A′C′∥AC, ∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC. ∵AB⊥平面BC′,OC?平面BC′, ∴OC⊥AB,又OC⊥BO,AB∩BO=B. ∴OC⊥平面ABO. 又OA?平面ABO,∴OC⊥OA. 在 Rt△AOC 中,OC= 22,AC= 2,sin∠OAC=OACC=21, ∴∠OAC=30°.即 AO 与 A′C′所成角的度数为 30°.

解析答案

(2)AO与平面ABCD所成角的正切值;

解 如图,作OE⊥BC于E,连接AE.

∵平面BC′⊥平面ABCD,

∴OE⊥平面ABCD,

∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.

在 Rt△OAE 中,OE=21,AE= 12+?12?2= 25,

∴tan∠OAE=OAEE=

5 5.



AO

与平面

ABCD

所成角的正切值为

5 5.

解析答案

(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数. 解 ∵OC⊥OA,OC⊥OB,OA∩OB=O, ∴OC⊥平面AOB. 又∵OC?平面AOC, ∴平面AOB⊥平面AOC. 即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.

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达标检测

1 234

1.下列四个结论:

(1)两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行.

(2)两条直线没有公共点,则这两条直线平行.

(3)两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行.

(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平

面平行.

其中正确的个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析答案

1 234

2.设有不同的直线m、n和不同的平面α、β,下列四个命题中,正确的是

( D) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β C.若α⊥β,m?α,则m⊥β D.若α⊥β,m⊥β,m?α,则m∥α

解析 选项A中当m∥α,n∥α时,m与n可以平行、相交、异面;

选项B中满足条件的α与β可以平行,也可以相交; 选项C中,当α⊥β,m?α时,m与β可以垂直,也可以平行等.

故选项A、B、C均不正确.

解析答案

1 234

3.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD对角线的交点. 求证:(1)C1O∥面AB1D1; 证明 如图,连接A1C1,设A1C1∩B1D1=O1,连接AO1, ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴A1ACC1是平行四边形, ∴A1C1∥AC且A1C1=AC, 又O1,O分别是A1C1,AC的中点, ∴O1C1∥AO且O1C1=AO, ∴四边形AOC1O1是平行四边形, ∴C1O∥AO1,AO1?面AB1D1,C1O?面AB1D1, ∴C1O∥面AB1D1.

解析答案

(2)A1C⊥面AB1D1. 证明 ∵CC1⊥面A1B1C1D1, ∴CC1⊥B1D1, 又∵A1C1⊥B1D1, ∴B1D1⊥面A1C1CA, 即A1C⊥B1D1,同理可证A1C⊥AB1, 又B1D1∩AB1=B1,∴A1C⊥面AB1D1.

1 234
解析答案

1 234

4.如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B

的一动点.

(1)证明:△PBC是直角三角形.

解 因为AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A,

B的一动点,

所以BC⊥AC,

因为PA⊥平面ABC,所以BC⊥PA,

又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,

所以BC⊥PC,

所以△PBC是直角三角形.

解析答案

1 234
(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角正切值为 2 时,求直线 AB与平面PBC所成角的正弦值.
解析答案

一、平行关系 1.平行问题的转化关系

规律与方法

2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质.

3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论; (4)a⊥α,a⊥β?α∥β. 二、垂直关系 1.空间中垂直关系的相互转化

2.判定线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理. (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”. (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个也垂直”. (4)利用面面垂直的性质. 3.判定线线垂直的方法 (1)平面几何中证明线线垂直的方法. (2)线面垂直的性质:a⊥α,b?α?a⊥b. (3)线面垂直的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b.

4.判断面面垂直的方法 (1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角. (2)判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β. 三、空间角的求法 1.找异面直线所成角的三种方法 (1)利用图中已有的平行线平移. (2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移. (3)补形平移. 2.线面角:求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影,即确 定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜 线在平面内的射影所组成的直角三角形.
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