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楚水实验学校2015届下学期高三数学周测卷二


楚水实验学校 2015 届下学期高三数学周测卷二(4.11)
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解答过程,请把答案 直接填写在答题卡相应位置 上. ....... 1.复数

0 1 2} ,则 A 2.已知集合 A ? {x x ? 0} , B ? {?1,,,

a ? 2i ( i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i
B 等于

▲ ▲ .



3.某射击运动员在四次射击中分别打出了 10,x,10,8 环的成绩,已知这组数据的平均 数为 9,则这组数据的标准差是
2





x2 y2 ? 1(a ? 0) 的右焦点,则双曲 4.已知抛物线 y ? 8 x 的焦点是双曲线 2 ? a 3
线的渐近线方程为 ▲ . ▲ .

5.如图所示的流程图,输出的 n ?

6.已知体积相等的正方体和球的表面积分别为 S 1 , S 2 ,则 ( 是
m]

S1 3 ) 的值 S2





7.“大润发”超市通过投掷飞镖的方式对购物顾客进行奖励,小明的妈妈随机地往半径为 10 的圆盘上投掷飞镖,若飞镖落点离圆心的距离大于 5,则中得一袋榨菜;若飞镖落点离 圆心的距离小于 1,则中得一桶色拉油;否则就是一瓶酱油.那么小明的妈妈中得一瓶酱油 的概率是 ▲ .

8. 已知数列 ?an ? 为等比数列, 且 a3 ? a7 ? 2a5 , 设等差数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n , 若 b5 ? a5 , 则 S9 ? ▲ .

9 .已知函数 f ( x ) ? lg ? a ? 1 x ? ? a ? 1? x ? 1? 的值域为 R ,则实数 a 的取值集合为
2 2

??

?

?



?x ? y ? 4 ? 0 ? 10.已知实数 x, y 满足 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 4 x ? 3 y ? 1 的取值范围是 ?x ? 4 y ? 4 ? 0 ?





1

11.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 f ( x) ? sin x ? 3a cos x ( a 为常数)在点 ( 处的切线与直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,则 a 的值为 ▲ .

?

, f ( )) 3 3

?

12.已知过点 P(1,1) 且互相垂直的两条直线分别与圆 O : x2 ? y 2 ? 4 相交于点 A,C,B,D,

若四边形 ABCD 面积为

2 209 ,则这两条直线的斜率之和为 5





13.若函数 f ( x) ? ( x ? 2)2 x ? a 在区间 [2, 4] 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

14. 在 ?ABC 中, AB ? 4, AC ? 6 , D 为边 AC 上一点,且满足 AD ? 2DC, 若线段 BD 上一点 M ,满足 MA ? MB ? MC ,则 cos ?ACB ? ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 设平面向量 a = (cos x,sin x) , b ? (cos x ? 2 3,sin x) , c ? (sin ? ,cos ? ) , x ? R . (1)若 a ? c ,求 cos(2 x ? 2? ) 的值; (2)若 ? ? 0 ,求函数 f ( x) ? a ? (b ? 2c) 的最大值,并求出相应的 x 值.

16.(本小题满分 14 分) 如图,已知三棱锥 A—BPC 中,AP⊥ PC, AC⊥ BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中点, 且△ PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥ 平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥ 平面 APC; (3)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D—BCM 的体积.

A

M
P D B
(第 16 题)

C

2

17.(本小题满分 14 分) 在距 A 地 45 千米的 B 地发现金矿, 过 A 有一直线铁路 AD. 现欲运物资于 A, B 两地, 因 A、 B 之间不可连通, 拟在铁路线 AD 间的某一点 C 处筑一公路到 B.现测得 BD ? 27 2 千米, ?BDA ? 45 (如图).已知公路运费是铁路运费的 2 倍,设铁路运费为每千米 1 个单位,总运费为 y .为了求总运费 y 的最小值,现提供两种方案:方案一:设 AC ? x 千 米;方案二设 ?BCD ? ? . (1)试将 y 分别表示为 x 、 ? 的函数关系式 y ? f ( x) 、 y ? g (? ) ; (2)请选择一种方案,求出总运费 y 的最小值,并求出此时 AC 长.
B C A

D

18.(本小题满分 16 分)
2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左顶点为 A ,右焦点 a b

为 F (c ,0) . P( x0 ,y0 ) 为椭圆上一点,且 PA ? PF . (1)若 a ? 3 , b ? 5 ,求 x0 的值; (2)若 x0 ? 0 ,求椭圆的离心率; (3)求证:以 F 为圆心, FP 为半径的圆与椭圆的 右准线 x ? a 相切. c
2

y P

A

O

F

x

(第 18 题)

3

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ) , x1 , x2 , x3 ? R ,且 x1 ? x2 ? x3 . (1)当 x1 ? 0,x2 ? 1,x3 ? 2 时,求函数 f ( x) 的减区间; (2)求证:方程 f ?( x) ? 0 有两个不相等的实数根; (3)若方程 f ?( x) ? 0 的两个实数根是 ?,? (? ? ? ) ,试比较 与 ?,? 的大小,并说明理由.
x ? x3 x1 ? x2 , 2 2 2

20.(本小 题满分 16 分) 已知数列 {an } 、 {bn } 满足 b1 =an , bk ?1bk ? ak ?1ak ? 0 ,其中 k ? 2,3, 为 {an } 的“伴随数列”. (1)若数列 a1,a2,a3,a4,a5 的“伴随数列”是 1, 2,3, 4,5 ,求 a1 ; (2)若 n 为偶数,且 {an } 的“伴随数列”是 {bn } ,证明:{bn } 的“伴随数列”是 {an } ; (3)若 n 为奇数,且 {an } 的“伴随数列”是 {bn } , {bn } 的“伴随数列”是 {cn } ,?, 依次将数列 {an } ,{bn } ,{cn } ,?的第 i (i ? 1, 2, 探究:数列 ?i 是否为等比数列,并说明理由.

, n ,则称 {bn }

, n) 项取出,构成数列 ?i : ai , bi , ci ,



4

楚水实验学校 2015 届下学期高三周测二数学参考答案
一、填空题 1.4; 6. 2. ?1, 2? ; 7. 3.1 ; 8.18 ; 4. y ? ? 3x ; 9. [ ? , ?1] ; 5.4; 10. [2,15] ;

6 ; ? 2 ; 3

6 ; 25
3 ; 2

5 3

11. ?

12. ?

13. (??, 2] [5, ??) ;

14.

10 4

二、解答题 15.解:(1)若 a ? c ,则 a ? c ? 0 , 即 cos x sin ? ? sin x cos ? ? 0,sin ? x ? ? ? ? 0 所以 cos ? 2x ? 2? ? ? 1 ? 2sin 2 ? x ? ? ? ? 1. ( ???2 分 ???4 分 ???6 分

16.证明:(1)因为 M、D 分别是 AB、PB 的中点,所以 MD∥AP , 又 MD ? 平面APC , AP ? 平面APC ,
∥平面 A P ; C 所以 M D

??????????????????????4 分

注: MD∥AP , MD ? 平面APC , AP ? 平面APC 缺一全扣. (2)因为△ PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点, 所以 MD ? PB ,所以 AP ? PB . 又因为 AP ? PC , PB ? PC ? P , PC,PB ? 平面PBC , 所以 AP ? 平面PBC . ??????????????????????6 分

因为 BC ? 平面PBC ,所以 AP ? BC . 又因为 BC ? AC , AC ? AP ? A , AP,AC ? 平面APC , 所以 BC ? 平面APC , ??????????????????????8 分

5

因为 BC ? 平面ABC ,所以平面 ABC⊥ 平面 APC;???????????10 分 (3)由题意可知, MD ? 平面PBC , 所以 MD 是三棱锥 D—BCM 的高,

1 所以 VM ? DBC ? Sh ? 10 7 . ????????????????????14 分 3

17.解:(1)方案一:在 ?ABD 中,由正弦定理得: sin A ?

3 4 , cos A ? (舍负) 5 5

在 ?ABC 中 BC2 ? x 2 ? 452 ? 2x ? 45cos A ? x 2 ? 452 ? 72x ? ( x ? 36)2 ? 272

? f ( x) ? AC ? 2 BC ? x ? 2 ( x ? 36) 2 ? 27 2 ???5 分
方案二:在 ?BCD 中, BC ?

27 2 27 , sin 45? ? sin ? sin?

CD ?

27 2 27(sin? ? cos? ) , sin(? ? 45? ) ? sin ? sin ?
2 sin ? ? cos ? 2 ? cos ? ? ) ? 36 ? 27 sin ? sin ? sin ?
???9 分

g (? ) ? AC ?1 ? BC ? 2 ? AD ? CD ? 2 BC ? 63 ? 27 (

(2)若用方案一,则

y ? x ? 2 x 2 ? 72x ? 452 ? ( y ? x) 2 ? 4( x 2 ? 72x ? 452 ) ? 3x 2 ? 2( y ? 144) x ? y 2 ? 8100? 0
???11 分

由 ? ? 0 得 ( y ?144 )2 ? 3( y 2 ? 8100 ) ? 0 ? y 2 ? 72y ? 891? 0 ? y ? 36 ? 27 3 ???14 分

? ymin ? 36 ? 27 3 ,这时 x ?

144 ? y ? 36 ? 9 3 ,AC= (36 ? 9 3) 千米 3
???16 分

若用方案二,则 y? ? 27

sin 2 ? (2 ? cos? ) cos? 1 ? 2 cos? ? 27 2 sin ? sin 2 ?
[来源:Zxxk.Com]

???11 分

g (? ) 在 (0, ) ? ,在 ( , ? ) ? 3 3 1 2? 2 ? 36 ? 27 3 ? ymin ? 36 ? 27 3 2
这时 ? ?

?

?

???14 分

?

3

,AC= (36 ? 9 3) 千米

???16 分

6

18.解:(1)因为 a ? 3 , b ? 5 ,所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ,即 c ? 2 , 由 PA ? PF 得, 又

y0 y 2 2 ? ? x0 ? x0 ? 6 , ? 0 ? ?1 ,即 y0 x0 ? 3 x0 ? 2

?? 3 分

2 x0 y2 ? 0 ?1, 9 5

2 ? 9 x0 ? 9 ? 0 ,解得 x0 ? 3 或 x0 ? ?3 (舍去) . 所以 4 x0 4

?? 5 分

(注

未舍负值扣一分)

(2)当 x0 ? 0 时, y0 2 ? b2 , 由 PA ? PF 得,

y0 y0 ? ? ?1 ,即 b 2 ? ac ,故 a 2 ? c 2 ? ac , a ?c

?? 8 分 ?? 10 分

所以 e 2 ? e ? 1 ? 0 ,解得 e ? 5 ? 1 (负值已舍). 2 (注 未舍负值扣一分)

2 2 x2 y2 (3)依题意,椭圆右焦点到直线 x ? a 的距离为 a ? c ,且 02 ? 02 ? 1 ,① c c a b

由 P A? P F 得,

y0 y 2 2 ? ? x0 ? (c ? a) x0 ? ca , ? 0 ? ?1,即 y0 x0 ? a x0 ? c



? a ? b 2 ? ac ? ? ? ? ? 0, 由①②得, ( x0 ? a) x0 ? c2 ? ? ? ?

解得 x0 ? ? 所以 PF ?

a ? a 2 ? ac ? c 2 ? c2

或 x0 ? ?a (舍去).

?? 13 分

? x0 ? c ?

2

2 ? y0 ?

? x0 ? c ?

2

2 ? x0 ? (c ? a) x0 ? ca ? a ? c x0 a

a ? a 2 ? ac ? c 2 ? a 2 ? ? c, ?a? c? a c c2

所以以 F 为圆心, FP 为半径的圆与右准线 x ? a 相切 c

2

?? 16 分

2 2 (注:第(2)小问中,得到椭圆右焦点到直线 x ? a 的距离为 a ? c ,得 1 分;直接 c c

使用焦半径公式扣 1 分.)
3 3 ,1 ? ) ;????????????????4 分 3 3

19.解:(1) f ( x) 减区间 (1 ?

(2)法 1: f ( x) ? x3 ? ( x1 ? x2 ? x3 ) x2 ? ( x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ) x ? x1x2 x3 ,???6 分
7

f ?( x) ? 3x2 ? 2( x1 ? x2 ? x3 ) x ? ( x1x2 ? x2 x3 ? x3 x1 )
? ? 2[( x1 ? x2 )2 ? ( x2 ? x3 )2 ? ( x3 ? x1 )2 ] ? 0 , x1 ? x2 ? x3 ,????????8 分

所以,方程 f ?( x) ? 0 有两个不相等的实数根;????????????10 分 法 2: f ?( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( x ? x2 )( x ? x3 ) ? ( x ? x3 )( x ? x1 ) , ?????6 分
f ?( x2 ) ? ( x2 ? x3 )( x2 ? x1 ) ? 0 , ???????????????????8 分
f ( x) 是开口向上的二次函数,

所以,方程 f ?( x) ? 0 有两个不相等的实数根;????????????10 分 (3)因为 f ?(
f ?( x1 ? x2 ( x ? x )2 ) ? ? 2 1 ? 0 ,???????????????12 分 2 4

x2 ? x3 ( x ? x3 ) 2 )?? 2 ?0, 2 4

???????????????14 分

又 f ( x) 在 (??, ? ) 和 ( ? , ??) 增, f ( x) 在 (? , ? ) 减, 所以 ? ?

x1 ? x2 x2 ? x3 ? ? ? . ??????????????????16 分 2 2

20.(1)解: b1 ? a5 ? 1 , 同理,a3 ?

a4a5 ? 4 ? 5 ? a4 ? 20
???4 分 (写对一个 ai 得 1 分, 总分 4 分)

3 1 , a2 ? 10, a1 ? . 5 5

(2)证明: b1 ? an

b1b2 ? a1a2 b2b3 ? a2 a3 bn ?1bn ? an ?1an
∵ n 为偶数,将上述 n 个等式中第 2,4,6,?, n 这 个式子相乘得: b1 ? ∴ bn ? a1 因为 a1 ? bn , ak ?1ak ? bk ?1bk (k ? 2,3, ???7 分

n 个式子两边取倒数,再将这 n 2
1 an?1an

1 1 ? b2b3 ? ? b4b5 b1b2 b3b4

1 1 1 ? an ? ? a2 a3 ? ? a4 a5 bn?1bn a1a2 a3a4

???9 分

, n)

所以根据“伴随数列”的定义,数列 {an } 是数列 {bn } 的“伴随数列”. ???10 分

8

(3)证明:因为

bi ?

ai ?1ai (i ? 2,3, bi ?1
, n)

, n)



bi 1 ? (i ? 2,3, a 所以 ai i ?1 bi ?1

.

所以欲证 ?i 成等差数列,只需证明 ?1 成等差数 列即可. 对于数列 {an } 及 其“伴随数列” {bn }

???12 分

b1 ? bn
b1b2 ? a1a2 b2b3 ? a2 a3 bn ?1bn ? an ?1an
∵ n 为奇数,将上述 n 个等式中第 2,4,6,?, n ? 1 这 将这 n 个式子相乘得:
[来源:学*科*网 Z* X*X*K]

n ?1 个式子两边取倒数,再 2
1 ? an?1an an?2 an?1

b1 ?

1 1 ? b2b3 ? ? b4b5 b1b2 b3b4

1 1 1 ? bn?1bn ? an ? ? a2 a3 ? ? a4 a5 bn?2bn?1 a1a2 a3a4

2 an b a b ∴ bn ? ? n ? n ? 1 a1 an a1 a1

因为 a1 ? bn , ak ?1ak ? bk ?1bk (k ? 2,3,

, n)
2 an ? b12 ? a1c1 a1

数列 {bn } 的“伴随数列”为 {cn } ,因为 b1 ? cn , c1 ? bn ? 所以 a1 , b1 , c1 成对比数列. 同理可证, b1 , c1 , d1; c1 , d1 , e1 , 所以 ?i 成等差数列.

也成等比数列. 即 ?1 是等比数列. ???16 分

9


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