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2019年高考数学一轮复习学案北师大版理科第7章立体几何第3节平行关系学案理

第三节

平行关系

[考纲传真] (教师用书独具)1.以立体几何的定义、 公理和定理为出发点, 认识和理解空间 中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间 图形的平行关系的简单命题.

(对应学生用书第 111 页) [基础知识填充] 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线 l 与平面 α 没有公共点,则称直线 l 与平面 α 平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 判 定 定 理 性 质 定 理 若平面外一条直线与此平面 内的一条直线平行,则该直线 平行于此平面 图形表示 符号表示

l? / 平面 α ,b l∥b? l∥α

l,

一条直线和一个平面平行,则 过这条直线的任一平面与此 平面的交线与该直线平行

l∥α ,l

平面 β ,

α ∩β =b? l∥b

2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 判 定 定 理 性 质 定 一个平面内的两条相 交直线与另一个平面 平行,则这两个平面 平行 两个平面平行,则其 中一个平面内的直线 平行于另一个平面 图形表示 符号表示

a

α , b

α , a∩b

=P,a∥β , b∥β ? α ∥β α ∥β ,a α ?

a∥β



如果两个平行平面同 时和第三个平面相 交,那么它们的交线 平行 α ∥β ,α ∩γ =a, β ∩γ =b? a∥l

3.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α ,b⊥α ? a∥b. (2)a⊥α ,a⊥β ? α ∥β . [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.( (2)若直线 a∥平面 α ,P∈α ,则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条.( (3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.( (4)若两个平面平行,则一个平面内的直线与另一个平面平行.( ) ) ) ) )

(5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.下列命题中,正确的是( ) (5)√

A.若 a∥b,b α ,则 a∥α B.若 a∥α ,b α ,则 a∥b C.若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b D.若 a∥b,b∥α ,a? / α ,则 a∥α D [A 中还有可能 a α , B 中还有可能 a 与 b 异面, C 中还有可能 a 与 b 相交或异

面,只有选项 D 正确.] 3.设 α ,β 是两个不同的平面,m 是直线且 m α ,“m∥β ”是“α ∥β ”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 B [当 m∥β 时, 过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能相交, 因而 m∥β ? /α ∥β ; )

当 α ∥β 时, α 内任一直线与 β 平行, 因为 m α , 所以 m∥β .综上知, “m∥β ” 是“α ∥β ”的必要而不充分条件.] 4.三棱柱 ABC?A1B1C1 中,过棱 A1C1,B1C1,BC,AC 的中点 E,F,G,H 的平面与平面________ 平行.

A1B1BA [

如图所示,连接各中点后,易知平面 EFGH 与平面 A1B1BA 平行.] 5.(教材改编)在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点,则 BD1 与平面 ACE 的位置关系是 ________. 平行 [如图所示,连接 BD 交 AC 于 F,连接 EF,则 EF 是△BDD1 的中位线,

∴EF∥BD1, 又 EF 平面 ACE, 平面 ACE,

BD1

∴BD1∥平面 ACE.]

(对应学生用书第 112 页)

与线面平行相关命题的真假判断

(1)已知 m, n 是两条不同直线, α , β 是两个不同平面, 则下列命题正确的是( A.若 α ,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α ,β 不平行 ,则在 α 内不存在 与 β 平行的直线 ... ... D.若 m,n 不平行 ,则 m 与 n 不可能 垂直于同一平面 ... ...

)

(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,

N,Q 为所在棱的中点, 则在这四个正方体中, 直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是(

)

(1)D

(2)A

[(1)A 项,α ,β 可能相交,故错误;

B 项,直线 m,n 的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误; C 项,若 m α ,α ∩β =n,m∥n,则 m∥β ,故错误;

D 项,假设 m,n 垂直于同一平面,则必有 m∥n,∴原命题正确,故 D 项正确. (2)A 项,作如图(1)所示的辅助线,其中 D 为 BC 的中点,则 QD∥AB. ∵QD∩平面 MNQ=Q,∴QD 与平面 MNQ 相交, ∴直线 AB 与平面 MNQ 相交. B 项,作如图(2)所示的辅助线,则 AB∥CD,CD∥MQ, ∴AB∥MQ. 又 AB? / 平面 MNQ,MQ 平面 MNQ,∴AB∥平面 MNQ.

C 项,作如图(3)所示的辅助线,则 AB∥CD,CD∥MQ, ∴AB∥MQ. 又 AB? / 平面 MNQ,MQ 平面 MNQ,∴AB∥平面 MNQ.

D 项,作如图(4)所示的辅助线,则 AB∥CD,CD∥NQ,

∴AB∥NQ. 又 AB? / 平面 MNQ,NQ 平面 MNQ,∴AB∥平面 MNQ.故选 A.]

[规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定 理, 无论是单项选择还是含选择项的填空题, 都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先 确定或排除,再逐步判断其余选项. 结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. 特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情形,通过举反例否定结论或 用反证法推断命题是否正确. [跟踪训练] (2017·唐山模拟)若 m,n 表示不同的直线,α ,β 表示不同的平面,则下列 结论中正确的是( ) 【导学号:79140229】 A.若 m∥α ,m∥n,则 n∥α B.若 m α ,n β ,m∥β ,n∥α ,则 α ∥β

C.若 α ⊥β ,m∥α ,n∥β ,则 m∥n D.若 α ∥β ,m∥α ,n∥m,n? / β ,则 n∥β D [在 A 中, 若 m∥α , m∥n, 则 n∥α 或 n α , 故 A 错误. 在 B 中, 若m α ,

n

β ,m∥β ,n∥α ,则 α 与 β 相交或平行,故 B 错误.在 C 中,若 α ⊥β ,

m∥α , n∥β , 则 m 与 n 相交、 平行或异面, 故 C 错误. 在 D 中, 若 α ∥β , m∥α , n∥m,n? / β ,则由线面平行的判定定理得 n∥β ,故 D 正确.]

直线与平面平行的判定与性质

◎角度 1 直线与平面平行的判定 (2016·全国卷Ⅲ)如图 7?3?1,四棱锥 P?ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB=

AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点.

图 7?3?1 (1)证明:MN∥平面 PAB; (2)求四面体 N?BCM 的体积.

2 [解] (1)证明:由已知得 AM= AD=2. 3 如图,取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 中点知 TN∥BC,

TN= BC=2.
又 AD∥BC,故 TN∥ ═AM, 所以四边形 AMNT 为平行四边形, 于是 MN∥AT. 因为 AT 平面 PAB,MN? / 平面 PAB,

1 2

所以 MN∥平面 PAB. (2)因为 PA⊥平面 ABCD,N 为 PC 的中点, 1 所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA. 2 如图,取 BC 的中点 E,连接 AE. 由 AB=AC=3 得 AE⊥BC,AE= AB -BE = 5. 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5, 1 故 S△BCM= ×4× 5=2 5. 2 1 PA 4 5 所以四面体 N?BCM 的体积 VN?BCM= ×S△BCM× = . 3 2 3 ◎角度 2 线面平行性质定理的应用 如图 7?3?2 所示,CD,AB 均与平面 EFGH 平行,E,F,G,H 分别在 BD,BC,AC,
2 2

AD 上,且 CD⊥AB.求证:四边形 EFGH 是矩形.

图 7?3?2 [证明] ∵CD∥平面 EFGH, 而平面 EFGH∩平面 BCD=EF, ∴CD∥EF.

同理 HG∥CD,∴EF∥HG. 同理 HE∥GF, ∴四边形 EFGH 为平行四边形, ∴CD∥EF,HE∥AB, ∴∠HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的角. 又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF. ∴平行四边形 EFGH 为矩形. [规律方法] 1.证明线面平行的常用方法 利用线面平行的定义 无公共点 利用线面平行的判定定理 a? / α ,b α ,a∥b? a∥α 利用面面平行的性质定理 α ∥β ,a α ? a∥β 利用面面平行的性质 α ∥β ,a? / β ,a∥α ? a∥β 2.利用判定定理判定线面平行, 注意三条件缺一不可, 关键是找平面内与已知直线平行的直 线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面找其交线. [跟踪训练] 如图 7?3?3 所示,斜三棱柱 ABC?A1B1C1 中,点 D,D1 分别为 AC,A1C1 的中点.

图 7?3?3 (1)证明:AD1∥平面 BDC1; (2)证明:BD∥平面 AB1D1. [证明] (1)∵D1,D 分别为 A1C1,AC 的中点,四边形 ACC1A1 为平行四边形, ∥DA,∴四边形 ADC1D1 为平行四边形,∴AD1∥C1D,又 AD1? ∴C1D1═ / 平面 BDC1,C1D 面 BDC1,∴AD1∥平面 BDC1. 平

(2)连接 D1D, ∵BB1∥平面 ACC1A1,BB1 平面 BB1D1D,平面 ACC1A1∩平面 BB1D1D=D1D,

∴BB1∥D1D, 又∵D1,D 分别为 A1C1,AC 的中点, ∴BB1=DD1, 故四边形 BDD1B1 为平行四边形,∴BD∥B1D1,又 BD? / 平面 AB1D1,B1D1 ∴BD∥平面 AB1D1. 平面 AB1D1,

平面与平面平行的判定与性质

如图 7?3?4 所示,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求证:

图 7?3?4 (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. [证明] (1)∵G,H 分别是 A1B1,A1C1 的中点, ∴GH 是△A1B1C1 的中位线,GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC, ∴GH∥BC, ∴B,C,H,G 四点共面. (2)在△ABC 中,E,F 分别为 AB,AC 的中点, ∴EF∥BC. ∵EF? / 平面 BCHG,BC ∴EF∥平面 BCHG. ∥EB, ∵A1G═ ∴四边形 A1EBG 是平行四边形,则 A1E∥GB. ∵A1E? / 平面 BCHG,GB ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E, ∴平面 EFA1∥平面 BCHG. 平面 BCHG, 平面 BCHG,

在本例条件下,若点 D 为 BC1 的中点,求证:HD∥平面 A1B1BA. [证明] 如图所示,连接 HD,A1B,

∵D 为 BC1 的中点,H 为 A1C1 的中点, ∴HD∥A1B. 又 HD? / 平面 A1B1BA,

A1B

平面 A1B1BA,

∴HD∥平面 A1B1BA. [规律方法] 证明面面平行的常用方法 利用面面平行的定义. 利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那 么这两个平面平行. 利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”. 利用“如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行”. 利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化. [跟踪训练] 在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1 的中点.求证:平 面 MNP∥平面 A1BD. 【导学号:79140230】 [证明] 如图,连接 B1D1、B1C.

∵P、N 分别是 D1C1、B1C1 的中点,∴PN∥B1D1. 又 B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又 PN? / 平面 A1BD,∴PN∥平面 A1BD. 同理,MN∥平面 A1BD,又 PN∩MN=N, ∴平面 PMN∥平面 A1BD.


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