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2015-2016学年高中数学 3.1.1两角差的余弦公式课件 新人教A版必修4


第三章
三角恒等变换

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.1 预习篇

两角差的余弦公式 提高篇

课堂篇

巩固篇

课时作业

学习目标
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.掌握两角差的余弦公式及其应用.

重点难点
重点:两角差的余弦公式的掌握及灵活应用; 难点:两角差的余弦公式的推导.

预习篇01
新知导学

运用向量的数量积推导公式

在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边 作角α,β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B, → → 则OA=(cosα,sinα),OB=
(cosβ,sinβ).

→ → 由向量数量积的坐标表示,有OA· OB=

cosαcosβ+sinαsinβ .
→ → → → → → 设OA与 OB的夹角为θ,则OA· OB=|OA|· |OB|cosθ=cosθ = cosαcosβ+sinαsinβ .

1.如图,在直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于 P0,以Ox为始边分别作出角α ,β,α-β,其终边分别和单 → → 位圆交于P1,P2,P3.由| P0P3|=| P2P1|,你能推导出两角差的 余弦公式吗?

答:易知P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ),P3(cos(α- → β),sin(α-β)),则P0P3=(cos(α-β)-1,sin(α-β)), → P2P1=(cosα-cosβ,sinα-sinβ), → → → 2 → 2 又|P0P3|=|P2P1|,即|P0P3| =|P2P1| , 所以[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β) =(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2, 化简得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

两角差的余弦公式

1.公式:cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ 2.简记符号: C(α-β). 3.使用条件:α,β都是
任意角.

.

2.两角差的余弦公式有无巧记的方法呢? 答:公式巧记为:两角差的余弦等于两角的同名三角 函数值乘积的和,即余· 余+正· 正. 3.两角差的余弦公式能不能按照分配律展开呢? 答:两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ,不能按照分配律cos(α-β)=cosα-cosβ展开.

对公式C(α-β)的两点理解 (1)公式的结构特点:公式的左边是差角的余弦,右边 的式子是含有同名函数之积的和式,可用口诀“余余正正 号相反”记忆公式.

(2)公式的适用条件: 公式中的α,β不仅可以是任意具体的角,也可以是一 α+β α-β α+β 个“团体”,如cos( - )中的“ ”相当于公式 2 2 2 α-β 中的角α,“ 2 ”相当于公式中的角β.

(3)公式的灵活应用: 公式的应用要讲究一个“活”字,即正用,逆用,变 形应用,还要创造条件应用公式.如构造角:β=(α+β)- α+β α-β α,β= 2 - 2 等等.

课堂篇02
合作探究

两角差的余弦公式的简单应用

【例1】 ( ) 1 A.2 3 C. 2

(1)cos50° cos20° +sin50° sin20° 的值为 1 B.3 3 D. 3

(2)cos(-15° )的值为( 2- 6 A. 4 6+ 2 C. 4

)

6- 2 B. 4 6+ 2 D.- 4

(3)化简cos(α+45° )cosα+sin(α+45° )sinα=________.

【解析】

(1)cos50° cos20° +sin50° sin20°

=cos(50° -20° ) 3 =cos30° = ,故选C. 2 (2)cos(-15° )=cos15° =cos(60° -45° ) =cos60° cos45° +sin60° sin45° 1 2 3 2 = × + × 2 2 2 2

2+ 6 = 4 ,故选C. (3)cos(α+45° )cosα+sin(α+45° )sinα 2 =cos(α+45° -α)= . 2 2 故填 2 .
【答案】 (1)C (2)C 2 (3) 2

通法提炼 应用两角差的余弦公式的三个注意点 (1)在差角的余弦公式中,α,β既可以是单角,也可以 是复角. (2)要注意诱导公式的应用. (3)公式的应用具有灵活性,解题时要注意正向、逆向 和变式形式的选择.

不查表计算下列各式的值; (1)cos80° cos20° +sin80° sin20° ; 1 3 (2)2cos15° + 2 sin15° .

解:(1)cos80° cos20° +sin80° sin20° 1 =cos(80° -20° )=cos60° =2. 1 3 (2) cos15° + sin15° =cos60° cos15° +sin60° sin15° 2 2 2 =cos(60° -15° )=cos45° =2.

给值求值问题

【例2】 值. 【分析】

? π? 4 π 3π 已知sin ?α+4? = 5 ,且4 <α< 4 ,求cosα的 ? ?

先根据sin

? π? ?α+ ? 4? ?

? π? 4 = 5 求出cos ?α+5? 的 ? ?

? π? π 值,再根据α= ?α+4? - 构造两角差的余弦,求出cosα 4 ? ?

的值.

【解】

? π? 4 π 3π ? ? ∵sin α+4 = ,且 <α< , 4 4 ? ? 5

π π ∴ <α+ <π. 2 4
? π? ∴cos?α+4?=- ? ? ?4? 3 2 1-?5? =-5. ? ?

?? π? π? ?? ∴cosα=cos? α+4?-4? ? ? ?? ? ? ? π? π π? π =cos?α+4?cos4+sin?α+4?sin4 ? ? ? ?

3 2 4 2 2 =- × + × = . 5 2 5 2 10

通法提炼 ?1?利用差角的余弦公式求值时, 不能机械地从表面去套 公式,而要变通地从本质上使用公式.即把所求的角分解成 某两个角的差,并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或 可求的,再代入公式即可求解.

2 3π 3 π (1)已知 sinα=-3,α∈(π, 2 )且 cosβ=4,β∈(0,2), 则 cos(α-β)的值为________. 2 5 3 (2)若 α, β 均为锐角,sinα= , sin(α+β)= , 则 cosβ 5 5 等于( ) 2 5 B. 25 2 5 D.- 25

2 5 A. 5 2 5 2 5 C. 25 或 5

2 3π 5 解析:(1)sinα=-3,α∈(π, 2 ),得 cosα=- 3 . 3 π 7 又 cosβ=4,β∈(0,2),得 sinβ= 4 , 3 5+2 7 所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=- . 12

2 5 3 (2)因为 α,β 均为锐角,且 sinα= 5 >sin(α+β)=5,所 3 4 以 α+β 为钝角, 又由 sin(α+β)=5得 cos(α+β)=-5, 由 sinα 2 5 5 = 得 cosα = ,所以 cosβ = cos[(α + β) - α] = cos(α + 5 5 2 5 β)cosα+sin(α+β)sinα= . 25

3 5+2 7 答案:(1)- (2)B 12

利用三角函数值求角

【例3】

5 已知α,β均为锐角,且sinα= 5 ,cosβ

10 = ,求α-β的值. 10 【分析】 可先求cos(α-β)的值,再求角α-β.

【解】

∵α,β均为锐角.

5 10 且sinα= 5 ,cosβ= 10 , 2 5 3 10 ∴cosα= 5 ,sinβ= 10 . ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 2 5 10 5 3 10 2 = 5 × 10 + 5 × 10 = 2 . π π π π 又∵0<α< ,0<β< .∴- <α-β< . 2 2 2 2

又∵sinα<sinβ,∴α<β,即α-β<0. π π ∴-2<α-β<0.∴α-β=-4.

通法提炼 解这类问题一般分三步:第一步,求角的某一三角函 数值;第二步,确定角所在的范围;第三步,根据角的范 围写出所求角.

11 已知α、β均为锐角,tanα=4 3 ,cos(α+β)=- ,求 14 β.

π 4 3 1 解:∵0<α<2,tanα=4 3,∴sinα= 7 ,cosα=7. π π ∵0<α<2,0<β<2,∴0<α+β<π. 11 5 3 又cos(α+β)=- ,∴sin(α+β)= . 14 14 ∴cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα

11 1 5 3 4 3 1 =-14×7+ 14 × 7 =2. π π ∵0<β<2,∴β=3.

提高篇03
自我超越

——易错警示系列—— 忽略角的范围而产生增根 在有范围限制的情况下求三角函数值或角的题目中, 常因为没有考虑题中对角的要求,忽略角的范围而产生增 根.

【例】 【错解】

3 5 在△ABC中,sinA=5,cosB=13,求cosC. 3 4 ∵sinA=5,且0<A<π,∴cosA=± 5.

5 12 ∵cosB=13,且0<B<π,∴sinB=13. 又cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B) =-cosAcosB+sinAsinB, 16 56 ∴cosC=65或cosC=65.

【错因分析】 而产生增根.

以上错解没有正确考虑角A的范围,从

【正解】

5 2 ∵cosB=13< 2 ,

π π 12 ∴B∈(4,2),则sinB=13. 3 2 π 3π ∵sinA= < ,∴A∈(0, )∪( ,π). 5 2 4 4 3π π π 若A∈( ,π),B∈( , ), 4 4 2 3π 则A+B∈(π, 2 ),与A+B+C=π矛盾,

3π π 4 ∴A?( 4 ,π),∴A∈(0,4),且cosA=5. ∴cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B) 4 5 3 12 16 =-(5×13-5×13)=65.

4 2 已知△ABC中,sin(A+B)=5,cosB=-3,求cosA.

2 π 解:在△ABC中,由cosB=-3知2<B<π, ∴sinB= 1-cos B= π π ∵ <B<π,∴ <A+B<π. 2 2
2

22 5 1-?-3? = 3 .

4 由sin(A+B)=5,可得 3 cos(A+B)=- 1-sin ?A+B?=-5.
2

∴cosA=cos[(A+B)-B] =cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB 3 2 4 5 =(-5)×(-3)+5× 3 6+ 4 5 = . 15


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