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2012山东省各地高三一模理科数学分类汇编:三角函数

2012 山东省各地高三一模数学理分类汇编:三角函数
【2012 山东济宁一模理】5.在 ?ABC 中, AB = 3 , AC = 1, B = 30 则 ?ABC 的面积等于
o

A.

3 2

B.

3 4

C.

3 3 或 2 4

D.

3 或 3 2

【答案】C 【 2012 潍 坊 一 模 理 】 5 . 将 函 数 y=cos2x 的 图 象 向 右 平 移 π /4 个 单 位 , 得 到 函 数

y = f ( x) ? sin x 的图象,则 f(x)的表达式可以是

【答案】B 【2012 临沂一模理】8.在 ?ABC 中, a = 4 , b = 小为 (A)

5 , 5 cos( B + C ) + 3 = 0 ,则角 B 的大 2 5π 6

π
6

(B)

π
4

(C)

π
3

(D)

【答案】A 【解析】由 5 cos( B + C ) + 3 = 0 得 5 cos A = 3, cos A =

4 3 ,所以 sin A = ,因为 a > b ,所 5 5 5 4 × a b b sin A 2 5 1 以 A > B ,即 B 为锐角,由正弦定理知 = ,所以 sin B = = = , sin A sin B a 4 2

所以 B =

π

6

,选 A.

【2012 临沂一模理】10.若函数 y =

3 sin x ? cos x 的图象向右平移 m(m > 0) 个单位长度

后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 (A)

π
6

(B)

π
4

(C)

π
3

(D)

2π 3

【答案】C 【解析】 y =

3 sin x ? cos x = 2 sin( x ?

π
6

) ,函数图象向右平移 m(m > 0) 个单位长度,

得 到 的 函 数 解 析 式 为 y = 2 sin( x ? m ?

π

m+

π
6

=

π
2

+ kπ , k ∈ Z ,即 m =

π
3

6

) ,要使所得到的图象关于 y 轴对称,则有

+ kπ , k ∈ Z ,所以当 k = 0 时, m =

π
3

,选 C.

【2012 枣庄市高三一模理】 函数 y = sin(2 x + 5. 的变换得到 ( )

π
3

) 的图象可由 y = cos 2 x 的图像经过怎样

A.向左平移 C.向左平移 【答案】D

π π
6

个单位 个单位

B.向右平移 D.向右平移

π
6

个单位 个单位

π

12

12

【2012 德州高三一模理】6.已知函数 y = A sin( ω x + ? ) + m 的最大值为 4,最小值为 0, 两个对称轴间的最短距离为 ( ) A. y = 4 sin( 2 x + C. y = ?2 sin( x + 【答案】B 【2012 泰安市高三一模理】15.函数 f ( x ) = A sin (ωx + ? )( A, ω , ? 为常数,A>0,ω >0)

π
2

,直线 x =

π
6

是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式是

π π
6 3

) )+ 2

B. y = ?2 sin( 2 x + D. y = 2 sin( x +

π
6

)+ 2

π
3

)+ 2

的部分图象如图所示,则 f ?

?π ? ? 的值是 ?6?



.

【答案】 【2012 烟台一模理】4.若 α ∈ (0, A. 1 【答案】A 【2012 济南高三一模理】 函数 y = cos( x ? 8 坐标不变),再向左平移 A. x = B.

π

π 1 ) ,且 cos 2 α + sin( + 2α ) = ,则 tan α = 2 2 2
3 6
D. 3

3 3

C.

π
3

) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵

π
6

个单位,所得函数图象的一条对称轴是 C. x = π D. x =

π
9

B. x =

π
8

π
2

【答案】D 【 山 东 省 实 验 中 学

2012

届 高 三 第 四 次 诊 断 考 试 理 】

7.函数f ( x ) = A sin(ω x + ? )(其中A > 0,| ? |<

π
2

)的图象如图所示, 为了得到g ( x ) = sin ω x的图像, 可以将

f(x)的图像( ) π A.向右平移 个单位长度 6

B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向左平移

π

3
π
6

个单位长度 个单位长度 个单位长度

π

3

【答案】A 【山东省实验中学 2012 届高三第四次诊断考试理】17.(本小题满分 12 分)已知向量 1 m = (cos x ,?1),向量 n = ( 3 sin x, ? ), 函数f ( x ) = ( m + n ) ? m. 2 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期 T; ( Ⅱ ) 已 知 a , b , c 分 别 为 △ ABC 内 角 A , B , C 的 对 边 , A 为 锐 角 ,
a = 1, c = 3, 且f ( A)恰是f ( x )在[0, ] 2

π

上的最大值,求 A,b 和△ABC 的面积.
【答案】17.解:(Ⅰ) f ( x ) = ( m + n ) ? m = cos 2 x + 3 sin x cos x + …………2 分

3 2

=

1 + cos 2 x 3 3 1 3 π + sin 2 x + = cos 2 x + sin 2 x + 2 = sin(2 x + ) + 2 2 2 2 2 2 6 2π = π. 2

………5 分.

因为ω = 2, 所以T =

…………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( A) = sin(2 A +

π

当2 x +

π
6

=

π
2

π π π 7π ) + 2, x ∈ [0, ]时, ≤ 2 x + ≤ , 6 2 6 6 6 π
6 =

时, f ( x )取得最大值3,∴ 2 x +

π

2

,A=

π

6

.

………8 分

由余弦定理, a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A,∴1 = b 2 + 3 ? 2 × 3 × b × cos
∴ b = 1或b = 2,

π
6

,
………10 分

从而S =

1 π 3 1 π 3 × 3 × 1 × sin = 或S = × 3 × 2 × sin = . 2 6 4 2 6 2
π
3

………12 分

青岛高三一模理】 【2012 青岛高三一模理】 将函数 y = sin( x ? 8. 倍(纵坐标不变) ,再将所得图象向左平移

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2

π
3

个单位,则所得函数图象对应的解析式为

1 π A. y = sin( x ? ) 2 3 答案】 【答案】D

B. y = sin(2 x ?

π
6

)

C. y = sin

1 2

x

1 π D. y = sin( x ? ) 2 6

青岛高三一模理】 【2012 青岛高三一模理】17. (本小题满分 12 分)已知锐角 ?ABC 中内角 A 、 B 、 C 的

对边分别为 a 、 b 、 c , a + b = 6ab cos C ,且 sin C = 2 sin A sin B .
2 2 2

(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)设函数 f ( x ) = sin(ω x ? 为 π ,求 f ( A) 的取值范围. 【答案】17. (本小题满分 12 分) 答案】
2 2 2 2 2 解: (Ⅰ)因为 a + b = 6 ab cos C ,由余弦定理知 a + b = c + 2ab cos C

π
6

) ? cos ω x(ω > 0) ,且f ( x) 图象上相邻两最高点间的距离

所以 cos C =

c2 …………………………………………………………2 分 4ab

又因为 sin 2 C = 2 sin A sin B ,则由正弦定理得: c 2 = 2ab ……………4 分

c2 2ab 1 所以 cos C = = = 4ab 4ab 2
所以 C =

π
3

…………………………………………………………………6 分

(Ⅱ) f ( x ) = sin(ω x ? 由已知

π
6

) ? cos ω x =

3 3 π sin ω x ? cos ω x = 3 sin(ω x ? ) 2 2 3

= π , ω = 2 ,则 f ( A) = 3 sin(2 A ? ), …………………8 分 ω 3 π 2π π π π π 因为 C = , B = ? A ,由于 0 < A < , 0 < B < ,所以 < A < 3 3 2 2 6 2
…………………………………………………10 分 所以 0 < 2 A ?



π

π
3

<

2π 3
3 …………………………………12 分

根据正弦函数图象,所以 0 < f ( A) ≤

【2012 淄博市高三一模理】10.在△ ABC 中,已知 b ? cos C + c ? cos B = 3a ? cos B ,其中 a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边.则 cos B 值为
2 2 1 1 B. ? C. 3 3 3 【答案】A 【2012 淄博市高三一模理】17. (本题满分 12 分)

A.

D. ?

2 2 3

已知函数

f ( x ) = 2 cos

2

x ? 3 sin x. 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域;

π 1 cos 2α f (α ? ) = 3 3 ,求 1 + cos 2α ? sin 2α 的值. (Ⅱ)若 α 为第二象限角,且

【 【答案】17.解: (Ⅰ)∵ f ( x ) = 1 + cos x ? 3 sin x ……………………1 分
π = 1 + 2 cos( x + ), ………………………2 分 3
∴ 函数 f ( x ) 的周期为 2π ,…………………………3 分

π 又∵ ?1 ≤ cos( x + ) ≤ 1 3

故函数 f ( x ) 的值域为 [ ?1,3] ………………………………5 分
π 1 1 1 (Ⅱ)∵ f (α ? ) = ,∴1 + 2 cos α = , 即 cos α = . ……………6 分 3 3 3 3



cos 2α cos2 α ? sin 2 α = ……………………8 分 1 + cos 2α ? sin 2α 2 cos2 α ? 2sin α cos α
(cos α + sin α )(cos α ? sin α ) cos α + sin α = , …………………………9 分 2 cos α (cos α ? sin α ) 2 cos α
1 3

=

又 ∵ α 为第二象限角,且 cos α = ?
∴sin α =

2 2 . …………………………………10 分 3
1 2 2 ? + 3 3 = 1 ? 2 2 . …………………12 分 2 2 ? 3

cos α + sin α ∴ 原式 = = 2cos α

【2012 威海市高三一模理】3.已知 α ∈ ? π,

? ?

3π ? 5 , tan 2α = ?,cos α = ? 2 ? 5

A.

4 3

B. ?

4 3

C. ? 2

D.2

【答案】B 【2012 泰安市高三一模理】18.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,且满足 2a cos B = b cos C + c cos B. (I)求角 B 的大小; (II)求函数 f ( A) = 2 sin 2 ? A +

? ?

π?

π? ? ? ? cos? 2 A + ? 的最大值及取得最大值时的 A 值. 4? 6? ?

【答案】

【2012 德州高三一模理】17.(本小题满分 12 分)

1 3 sin x cos x ? cos 2 x + ( x ∈ R ) 2 π (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 [0, ] 上的值域; 2
已知函数 f ( x ) = (Ⅱ)在 ? ABC 中, A、 C 所对的边分别是 a、 c, f ( 角 B、 b、 又 的面积等于 3,求边长 a 的值. 【答案】

A π 4 + ) = ,b = 2 , ?ABC 2 3 5

【 2012 济 南高 三一 模 理】 18 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 函 数 f ( x) = a ? b , 其中 向 量 (

a = (2 cos x,1), b = (cos x, 3 sin 2 x) .
(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和在 [ 0, π ] 上的单调递增区间; (2) ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边为 a , b, c ,且 a 2 + b 2 ? c 2 ≥ ab ,求 f (C ) 的取值范围. 【答案】18. 解:(1)∵ f ( x) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = 2 sin(2 x +

π
6

) + 1,

…………2 分

2π =π 2 π 2π 在[0,π]上单调递增区间为 [0, ], [ ,π ]. 6 3 1 (2) a 2 + b 2 ? c 2 ≥ ab , cos C ≥ 2 ∴ 函数f ( x )的最小正周期 T = ∴0 < C ≤

…………………………………4 分 …………6 分 ……………………8 分

π

3

………………………………………9 分

由f (C ) = 2sin(2C + 当C =
当 C=

π
6

) + 1,
……………………………10 分 ………………………………11 分 …………………………12 分

π
6

时,f (C ) max = 3

π
3

时, f (C ) min = 2

∴ f (C ) ∈ [2,3]

【2012 烟台一模理】17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中, a , b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

2asin A = (2b + c ) sin B + (2c + b) sin C .
(1)求角 A 的大小;

(2)求 sin B + sin C 的最大值. 【答案】解: (1)由已知,根据正弦定理得 2a = ( 2b + c ) b + ( 2c + b ) c
2

即 a 2 = b 2 + c 2 + bc , 由余弦定理得 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A

……………… 3 分

1 cos A = ? , A = 120 2

……………… 6 分

(2)由(1)得: sin B + sin C = sin B + sin(60 ? B )

=

3 1 cos B + sin B = sin(60 + B ),∵ 0 < B < 60 …………9 分 2 2

故当 B = 30 时, sin B + sin C 取得最大值 1 . ……………… 12 分 【 2012 日 照 市 高 三 一 模 理 】 17 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 f ( x ) = m ? n, 其 中

m = (sin ωx + cos ωx, 3 cos ωx ), n = (cos ωx ? sin ωx,2 sin ωx ) (ω > 0) ,若 f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于 π 。
(I)求 ω 的取值范围 (II)在 ?ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, a = 取最大值时,f(A)=1,求 b,c 的值。 【答案】解: (I) f ( x ) = m.n = cos 2ωx + 3 sin 2ωx = 2 sin( 2ωx + ∵ f (x ) 图像中相邻的对称轴间的距离不下于 π ∴

7 , S?ABC =

3 。当 ω 2

π
6

) …………3 分

T π 1 ≥ π ,∴ ≥ π ,∴ 0?ω ≤ …………………5 分 2 2ω 2

1 π π 当ω = 时,f ( x) = 2 sin( x + ),∴ f ( A)2 sin( A + ) = 1, 2 6 6 (Ⅱ) π 1 π π 7π 2π ∴ sin( A + ) = .∵ 0? A?π ,∴ ? A + ? , A = 6 2 6 6 6 3
由S?ABC =
2

…………8 分

1 3 bc sin A = ,得bc = 2. ……………① 2 2

又a 2 = b + c 2 ? 2bc cos A,∴ b 2 + c 2 + bc = 7 ……………②
由①②,得 b=1,c=2;或 b=2;c=1.…………………………12 分


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