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【学案】必修4三角函数模型的简单应用


沂南二中 2011—2012 学年度下学期导学案

必修 4
编制人:蒋会

1.6 三角函数模型的简单应用
使用时间: 2012-05-11 学科主任:

审核人:张乾明

【学习目标】熟练掌握三角函数的性质,会用三角代换解决代数、几何、函数等综合 问题. 【重点难点】三角函数的性质在实际生活中应用. 【教学过程】 一.课前预习(预习课本第 60-62 页) 1.三角函数图像的周期性变化在数学、物理及其他领域具有重要作用,如:单摆、 弹簧振子、匀速圆周运动等周期性现象. 2.解决数学应用题的基本步骤是:(1)阅读理解,审清题意.读题要做到逐字逐句, 读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什 么,求什么,从中提炼出相应的数学问题; (2)根据所给模型,列出函数关系式. 根据已知条件和数量关系,建立函数关系式,在此基础上将实际问题转化为一个 函数问题.(3)利用数学的方法将得到的常规函数问题予以解答,求得结果 .(4)再 将所得结论转译成具体问题的解答. 二.互动探究 例 1. 单摆从某点开始左右摆动,它离开平衡位置的位移 s(厘米)和时间 t(秒)的

? 函数关系是 S ? 6sin(? t ? ) .(1)求单摆开始摆动(t=0)时离开平衡位置的位移;(2) 6
单摆开始平衡位置的最大位移;(3) 单摆来回摆动一次所需要的时间.

例 2.某港口水的深度 y(米)是时间 t ? 0 ? t ? 24,单位:时? 的函数,记作 y ? f ? t ? , 下面是某日水深的数据: t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24

y/米 10.3 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察, y ? f ? t ? 的曲线可以近似地看成函数 y ? A sin ?t ? b 的图像. (1)试根据以上数据,求出函数 y ? f ? t ? 的近似表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全 的 (船舶停靠时,船底只需不碰海底即可 ).某船吃水深度 (船底离水面的距离 ) 为 6.5 米.如果该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时 间(忽略进出港所需的时间)?

-2-

【巩固提升】 1.将单摆的摆球拉至平衡位置左侧无初速释放,并同时开始计时,取平衡位置为 坐标原点,且向右为正,则下列振动图象中正确的是(
y y

).

A

B

C

D

2. 如图为一半径为 3m 的水轮, 水轮圆心 O 距离水面 2m, 已知水轮自点 B 开始 1min 旋 转 4 圈 , 水 轮 上 的 点 p 到 水 面 距 离 y(m) 与 时 间 x(s) 满 足 函 数 关 系 y =Asin(wx+ ? )+2,则有(
2? ,A?3 15 2? ,A?5 C. ? ? 15

).
15 ,A?3 2? 15 ,A?5 D. ? ? 2?

A. ? ?

B. ? ?

3.设 y= f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 3 6 9 12 15 18 21 24

12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1

经长期观察,函数 y=f(t)的图象可近似地看成函数 y =k +Asin(wt+ ? )的图象, 下面的函数中,最能近似表示数据间对应关系的函数是( A. y ? 12 ? 3sin C. y ? 12 ? 3sin ).

?

t , t ? ? 0, 24? 12 ?x , x ? R ,则 f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? ?? f ? 2002? =_________. 4.设 f ? x ? ? sin 6

?

6

t , t ? ? 0, 24?

? B. y ? 12 ? 3sin( t ? ? ), t ? ? 0, 24? 6 ? ? D. y ? 12 ? 3sin( t ? ), t ? ? 0, 24? 12 2

5. 在半径为 30m 的圆形广场中央上空设置一个照明光源, 射向地面的光呈圆锥形, 且其轴截面顶角为 120 度, 若要光线恰好照亮整个广场, 则灯高应为________米(精 确到 0. 1m). 6.已知函数 y= 2cosx(0≤x≤1000 ? )的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形 这个封闭图形的面积是______________.

-3-

7.如图,弹簧挂着的小球作上下振动,时间 t(s)与小球对于平衡位置(即静止时 状态)的高度 h( cm)之间的关系式是 h =2sin(t+

? ),t∈[o,+∞),画出这个函数 4

在长度为一个周期的闭区间上的简图,回答下列问题. (1)小球开始振动的位置在哪里? (2)小球最高、最低点与平衡位置的距离分别为多少? (3)经过多长时间小球往复振动一次(即周期是多少)? (4)小球每 Is 能往复振动多少次?

8.已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t( 0 ? t ? 24 ,单位小时)的函数, 记作 y=f(t),下表是某日各时的浪高数据: t/时 O 3 6 9 12 15 l 18 21 24

y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5

O.5 0.99 1.5

经长期观测 y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y ? A cos ?t ? b . (1)根据以上数据,求函数 y ? A cos ?t ? b 的最小正周期 T、振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 l 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论, 判断一天内的上午 8:00 时至晚上 20: 00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行运 动?

-4-


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