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【优化方案】2014届高考数学9.1 空间直线与平面(A、B) 课时闯关(含答案解析)

一、选择题 1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点” 的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 解析:选 A.“两条直线为异面直线”?“两条直线无公共点”.“两直线无公共点” ?“两直线异面或平行”.故选 A. 2.若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点,则( ) A.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面 解析:选 B.A 不正确,这样的直线不存在;B 正确;C 中过点 P 与 l、m 都相交的直线 不止一条;D 中过 P 有无数条直线与 l、m 都异面. 3. △A′B′C′是斜二测画法画出的正△ABC 的直观图, 记△A′B′C′的面积为 S′, S′ △ABC 的面积为 S,则 的值为( ) S 2 1 A. B. 2 2 2 2 C. D. 8 4 解析: D.不妨设△ABC 的 AB 边在 x 轴上, AB 边上的高 h 在 y 轴上或与 y 轴平行, 选 则 2 根据斜二测画法知,△A′B′C′中 A′B′边上的高 h′为 h. 4

4.过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都 相等,这样的直线 l 可以作( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析:选 D.如图所示.

AC1,AC2,AC3,AC4 即为所求. 5.已知 AB=BC=CD,且线段 BC 是 AB 与 CD 的公垂线段,若 AB 与 CD 成 60° 角, 则异面直线 BC 与 AD 所成的角为( ) A.45° B.60° C.90° D.45° 60° 或

解析:选 D.如图所示:

作 AD′ BC, 连结 DD′,由 AB 与 CD 成 60° 角,得∠DCD′=60° 120° 或 ,记 AB=a,则 DD′=a 或 3a,而 AD′=a,则∠D′AD 为 BC 与 AD 所成的角,即为 45° 60° 或 ,故选 D. 二、填空题 6.(2012· 高考大纲全国卷)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、CC1 的 中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为________.

解析:连接 DF,则 AE∥DF, ∴∠D1FD 即为异面直线 AE 与 D1F 所成的角. 设正方体棱长为 a, 5 5 则 D1D=a,DF= a,D1F= a, 2 2 ? 5a?2+? 5a?2-a2 ?2 ? ?2 ? 3 ∴cos∠D1FD= = . 5 5 5 2· a· a 2 2 3 答案: 5 7.(2013· 河北衡水中学调研)设 EF 是两条异面直线 AB、CD 的公垂线,当直线 AB 绕着 直线 EF 在空间旋转并与 EF 保持垂直时,下列三个命题正确的是________. ①直线 AB 与直线 CD 所成角的大小不变 ②直线 AB 与直线 CD 的距离不变 ③以 A、B、C、D 为顶点的四面体的体积不变

解析: 如图所示, 当直线 AB 绕着直线 EF 在空间旋转并与 EF 保持垂直时, 显然∠B1FD 变化,故①错;无论如何转,EF 始终为两异面直线的公垂线,故②正确;若 A′B′∥CD 时,此时四面体 ABCD 的体积为零,故四面体的体积是变化的,③错. 答案:②

8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点,有以下四 个结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为________.(注:把你认为正确的结论的序号都填上)

解析:AM 与 CC1 是异面直线,①不正确; AM 在平面 ABC1D1 内,B∈平面 ABC1D1,N?平面 ABC1D1,∴AM 与 BC 异面,②不正 确; BN 与 B1C1 相交,B1M 在平面 A1B1C1D1 内, 而 B?平面 A1B1C1D1,∴BN 与 B1M 异面,③正确; DD1?平面 DCC1D1,M∈平面 DCC1D1,A?平面 DCC1D1, ∴AM 与 DD1 是异面直线,④正确. 答案:③④ 三、解答题 9.(2013· 重庆模拟)如图所示,a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a、b、c、 l 共面.

证明:法一:先由 a∥b 确定一个平面,然后证 l,c 都在这个平面内,∵a∥b,∴a、b 确定平面 α. 又∵l∩a=A,l∩b=B, ∴l 上有两点 A、B 在 α 内,即直线 l?α.于是 a、b、l 共面. 换句话说,若 a、l 确定平面 α,过 l 上一点 B,作 b∥a, 则 b?α,同理,过 l 上一点 C 作 c∥a, 则 c 也在 a、l 确定的平面内,故 a、b、c、l 共面. 法二:∵a∥b,∴a、b 确定平面 α,又 A∈a,B∈b. ∴AB?α,即 l?α. 又∵b∥c,∴b、c 确定平面 β,而 B∈b,C∈c,∴BC?β. 即 l?β,于是 b、l?α,b、l?β 而 b∩l=B. ∴故 α 与 β 重合,∴a、b、c、l 共面. 法三:∵a∥b,∴a、b 确定平面 α, 又∵A∈a,B∈b,∴AB?α, 即 l?α,设 c?α.过 C 在平面 α 内作 c′∥b、c′∩c=C, 又 b∥c,∴c∥c′与 c′∩c=C 矛盾,∴c?α,故 a、b、c、l 共面. 10.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,问:

(1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. 解:(1)不是异面直线.理由如下: ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,∴MN∥A1C1.

又∵A1A

D1D,而 D1D

C1C,

∴A1A C1C,A1ACC1 为平行四边形,∴A1C1∥AC,得到 MN∥AC, ∴A,M,N,C 在同一个平面内, 故 AM 和 CN 不是异面直线.

(2)是异面直线.理由如下: 假设 D1B 与 CC1 在同一个平面 D1CC1 内,则 B∈平面 CC1D1,C∈平面 CC1D1,∴BC ?平面 CC1D1,这与 BC 是正方体的棱相矛盾,∴假设不成立,故 D1B 与 CC1 是异面直线. 11.(探究选做) 如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=B1B=a,∠ABC= 90° ,D、E 分别为 BB1、AC1 的中点.

(1)求异面直线 BB1 与 AC1 所成的角的正切值; (2)证明:DE 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线; (3)求异面直线 BB1 与 AC1 的距离. 解:(1)由于直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1∥BB1, 所以∠A1AC1 就是异面直线 BB1 与 AC1 所成的角. 又 AB=BC=B1B=a,∠ABC=90° , 所以 A1C1= 2a,tan∠A1AC1= 2, 即异面直线 BB1 与 AC1 所成的角的正切值为 2.

(2)证明:如图所示,在矩形 ACC1A1 中,过点 E 作 AA1 的平行线 MM1 分别交 AC、A1C1 于点 M、M1,连结 BM,B1M1,则 BB1∥MM1 且 BB1=MM1. 又 D、E 分别是 BB1、MM1 的中点,可得 DE∥BM 且 DE=BM. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 由条件 AB=BC 得 BM⊥AC,所以 BM⊥平面 ACC1A1,故 DE⊥平面 ACC1A1, 所以 DE⊥AC1,DE⊥BB1, 即 DE 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线. (3)由(2)知线段 DE 的长就是异面直线 BB1 与 AC1 的距离,由于 AB=BC=a,∠ABC= 2 90° ,所以 DE= a. 2


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