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数学:第三章《导数及其应用》测试(5)(新人教A版选修1-1)


导数及其应用 单元测试
一、选择题 1
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若函数 y ? f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内可导,且 x 0 ? ( a , b ) 则 lim ) A
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f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ? h ) h

h? 0

的值为


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f ( x0 )

'

B

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2 f (x 0 )
2

'

C

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? 2 f (x 0 )
'

D

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0

2 一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末 的瞬时速度是( )
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A 3
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7 米/秒
3

B

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6 米/秒

C ) C
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5 米/秒

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8 米/秒

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函数 y = x + x 的递增区间是( A
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( 0 , ?? )
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B

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( ?? ,1)
'

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( ?? , ?? )

D )
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(1, ?? )

4

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f ( x ) ? a x ? 3 x ? 2 ,若 f ( ? 1) ? 4 ,则 a 的值等于(
19
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A 5
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B

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C

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3
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3

3

3

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函数 y ? f ( x ) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x ) 在这点取极值的( A C
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充分条件 充要条件
4

B D

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必要条件 必要非充分条件 ) D
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6

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函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ? 2, 3 ? 上的最小值为(
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A 72 二、填空题
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B

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12

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0

1

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若 f ( x ) ? x , f ( x 0 ) ? 3 ,则 x 0 的值为_________________;
3 '

2

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曲线 y ? x ? 4 x 在点 (1, ? 3) 处的切线倾斜角为__________;
3

3

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函数 y ?

s in x x

的导数为_________________;

4 5

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曲线 y ? ln x 在点 M ( e ,1) 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________; 函数 y ? x ? x ? 5 x ? 5 的单调递增区间是___________________________
3 2

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三、解答题 1
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求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x ? 3 x ? 5 相切的直线方程
3 2

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2

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求函数 y ? ( x ? a )( x ? b )( x ? c ) 的导数

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求 函 数 f ( x ) ? x ? 5 x ? 5 x ? 1 在 区 间 ?? 1, 4 ? 上 的 最 大 值 与 最 小 值
5 4 3

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已知函数 y ? ax ? bx ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ;
3 2

(1)求 a , b 的值; (2)求函数 y 的极小值

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参考答案
一、选择题 1
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B

lim

f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ? h ) h

h? 0

? lim 2[
h? 0

f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ? h ) 2h
'

]

? 2 lim

f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ? h ) 2h
'

h? 0

? 2 f ( x0 )

2 3 4 5 6

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C C D

s ( t ) ? 2 t ? 1, s (3) ? 2 ? 3 ? 1 ? 5
'

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y = 3 x + 1 > 0 对于任何实数都恒成立
f ( x ) ? 3 a x ? 6 x , f ( ? 1) ? 3 a ? 6 ? 4 , a ?
' 2 '
3 ' 2 '

'

2

10 3

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D 对于 f ( x ) ? x , f ( x ) ? 3 x , f (0 ) ? 0, 不能推出 f ( x ) 在 x ? 0 取极值,反之成立 D
y ? 4 x ? 4, 令 y ? 0, 4 x ? 4 ? 0, x ? 1, 当 x ? 1时 , y ? 0; 当 x ? 1时 , y ? 0
' 3 ' 3 ' '

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得 y 极 小 值 ? y | x ? 1 ? 0, 而端点的函数值 y | x ? ? 2 ? 2 7 , y | x ? 3 ? 7 2 ,得 y m in ? 0 二、填空题 1 2
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?1

f ( x 0 ) ? 3 x 0 ? 3, x 0 ? ? 1
' 2

3
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?

4

y ? 3 x ? 4 , k ? yx ?|1
' 2 '

3 ? ? 1 , ? a n ? ? 1 , ?? t ? 4
'

3

x c o sx?
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s in x

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x

2

y ?
'

(s in x ) x ? s in x ? ( x )
'

x

2

?

x c o s x ? s in x x
2

4 5

1
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, x ? ey ? 0

y ?
'

1 x

e
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, k ? y |x ? e ?
'

1 e

, y ?1 ?

1 e

( x ? e ), y ?

1 e

x

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5 5 ' 2 ( ? ? , ? ) , ( 1?, ? 令 y ? 3 x ? 2 x ? 5 ? 0 , 得 x ? ? , 或 x ? 1 ) 3 3

三、解答题 1
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解:设切点为 P ( a , b ) ,函数 y ? x ? 3 x ? 5 的导数为 y ? 3 x ? 6 x
3 2 ' 2

切线的斜率 k ? y | x ? a ? 3 a ? 6 a ? ? 3 ,得 a ? ? 1 ,代入到 y ? x ? 3 x ? 5
' 2
3 2

得 b ? ? 3 ,即 P ( ? 1, ? 3) , y ? 3 ? ? 3( x ? 1), 3 x ? y ? 6 ? 0 2
' ' '
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解: y ? ( x ? a ) ( x ? b )( x ? c ) ? ( x ? a )( x ? b ) ( x ? c ) ? ( x ? a )( x ? b )( x ? c )
-3-

'

? ( x ? b )( x ? c ) ? ( x ? a )( x ? c ) ? ( x ? a )( x ? b )

3

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4 3 2 2 解: f ? ( x ) ? 5 x ? 20 x ? 15 x ? 5 x ( x ? 3 )( x ? 1) ,

当 f ? ( x ) ? 0 得 x ? 0 ,或 x ? ? 1 ,或 x ? ? 3 , ∵ 0 ? [ ? 1, 4 ] , ? 1 ? [ ? 1, 4 ] , ? 3 ? [ ? 1, 4] 列表:
x
'

?1
0 0

( ? 1, 0 )

0
0

(0, 4 )

f (x)
f ( x)

+ ↗

+ ↗

1

又 f (0 ) ? 0, f ( ? 1) ? 0 ;右端点处 f ( 4 ) ? 2 6 2 5 ; ∴函数 y ? x ? 5 x ? 5 x ? 1 在区间 [ ? 1, 4 ] 上的最大值为 2 6 2 5 ,最小值为 0
5 4 3
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解: (1) y ? 3 a x ? 2 b x , 当 x ? 1 时, y | x ? 1 ? 3 a ? 2 b ? 0, y | x ? 1 ? a ? b ? 3 ,
' 2

'

即?

?3a ? 2b ? 0 ?a ? b ? 3
3

, a ? ?6, b ? 9

(2) y ? ? 6 x ? 9 x , y ? ? 1 8 x ? 1 8 x ,令 y ? 0 ,得 x ? 0, 或 x ? 1
2 ' 2

'

? y极 小 值 ? y |x ? 0 ? 0

-4-


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