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贵州省遵义四中2013-2014学年高一数学上学期期末考试新人教A版


遵义四中 2013~2014 学年度第一学期期末考试 高一数学
本试卷分为第 I 卷和第 II 卷两部分,共 150 分. 考试时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:每小题 5 分,满分 60 分,每小题给出的四个选项中只有一项是正确的. (请把所选 答案填在答题卡上的相应表格内) 1.若 ? 为钝角,则 (A)第一象限 (C)第三象限 2.若 cos165 ? a ,则 tan195 ? (
0 0

? 的终边在( 2

) (B)第二象限 (D)第一象限或第三象限 )

(A) 1 ? a

2

1 ? a2 (B) ? a

1 ? a2 (C) a

1 ? a2 (D) a

3.下列图象中可以表示以 M ? {x | 0 ? x ? 1} 为定义域,以 N ? { y | 0 ? y ? 1} 为值域的函数的 图象是( )

4.在下列给出的函数中,以 ? 为周期且在 (0, (A) y ? sin

?
2

) 内是增函数的是(



x 2

(B) y ? cos 2 x

(C) y ? sin(2 x ?

?
4

)

(D) y ? tan( x ? )

?
4

)

5.在下列四组函数中,表示同一函数的是( (A) y ? 1 , y ? x
0

(B) y ?

x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1

(C) y ? x, y ? 5 x 5 6. 函数 y ? sin x 是(
2

(D) y ?| x |, y ? ( x ) 2 )
1

(A)周期为 2? 的偶函数 (C)周期为 ? 的偶函数

(B)周期为 2? 的奇函数 (D)周期为 ? 的奇函数

7 . 下 列 四 类 函 数 中 , 具 有 性 质 “ 对 任 意 的 实 数 x ? 0 , y ? 0 , 函 数 f ( x) 满 足

f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ”的是(
(A)幂函数

) (D)余弦函数 ) (A)

(B)对数函数 (C)指数函数

8 .下列函数中,图象的一部分如右图所示的是(

y ? sin( x ?

?
6

)

(B) y ? sin(2 x ?

?
6

)

(C) y ? cos(4 x ?

?
3

)

(D) y ? cos(2 x ?

?
6

)


9. 已知函数 f ( x ) ? ( ) ? sin x ,则 f ( x ) 在 [0,2? ] 上的零点个数为(
x

1 2

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

4 10.已知 x ? (? ,0), cos x ? , 则 tan 2 x ? ( ) 2 5 7 7 24 (A) (B)- (C) 24 24 7

?

(D)-

24 7


11.已知点 P(sin ? ? cos ? , tan ? ) 在第一象限,则在 [0, 2? ) 内 ? 的取值范围是(

5? ) 2 4 4 ? 3? 5? 3? ) ( , ) (C) ( , 2 4 4 2
(A) (

? 3?
,

) (? ,

(B) (

5? , ) (? , ) 4 2 4 ? ? 3? ,? ) (D) ( , ) ( 4 2 4


? ?

12.给出下列命题,其中正确的有( ①存在实数 x ,使得 sin x ? cos x ?

②若 cos ? ? 0 ,则 ? 是第一象限角或第四象限角; ③函数 y ? sin( x ?

3 ; 2

3 4

?

2

) 是偶函数;

④若 ? 是第二象限角,且 P( x, y) 是 ? 终边上异于坐标原点的一点,则 cos ? ? (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

?x x2 ? y 2



第 II 卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题:每小题 5 分,满分 20 分. (请把答案填在答题卡内的相应横线上)

2

13. 将分针拨快 10 分钟,则分针转过的弧度数是 14. 2 log5 10 ? log5 0.25 ? w_w_w.k 15. tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 ?
0 0 0 0



. . . (写出所有正

16.函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ? 确结论的编号). ①图象 C 关于直线 x ? ③函数 f ( x)在区间 (? 可以得到图象 C.

?
3

) 的图象为 C,则以下结论中正确的是
2? ,0) 对称; 3

?
12

对称;

②图象 C 关于点 (

? 5?
12 12 ,

)内是增函数; ④由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移

? 个单位长度 3

三、 解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分 (其中 17 小题满分 10 分, 其余各题满分均为 12 分) . (解 答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (满分 10 分)化简下列各式:

cos(? ? ) 2 ? sin(? ? 2? ) ? cos(? ? ? ) ; ① 5? sin( ? ? ) 2

?



1 ? sin ? 1 ? sin ? ,其中 ? 为第二象限角. ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

18. (满分 12 分)如图 A 、 B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限. 点 C 是圆 O 与 x 轴正半 轴的交点,点 A 的坐标为 ( , ) ,若△ AOB 为正三角形. (Ⅰ)求 sin ?COA ; (Ⅱ)求 cos ?COB . 19. (满分 12 分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? B O

3 4 5 5

y

A( , ) C

3 4 5 5

x

?
6

) ? 1( A ? 0, ? ? 0 )的最大

值为 3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数 f ( x) 的解析式;

? , 2

3

(2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

20. (满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x , x ? R .求: (I) 函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值时的自变量 x 的取值集合;

(II) 函数 f ( x ) 的单调递减区间.

21. (满分 12 分)某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元该厂为 鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价 就降低 0.02 元根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 500 件. (I)设一次订购量为 x 件,服装的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P ? f ( x) 的表达式; (II)当销售商一次订购了 450 件服装时,该服装厂获得的利润是多少元? (服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本)

22. (满分 12 分)是否存在两个锐角 ? 和 ? 使得两个条件: ①? ? ? ?

2? ? ? ; ② tan tan ? 2 ? 3 . 3 2 2

同时成立?若存在,求出 ? 和 ? 的值;若不存在,请说明理由. 遵义四中 2013~2014 学年度第一学期期末考试 高一数学(参考答案) 本试卷分为第 I 卷和第 II 卷两部分,共 150 分. 考试时间 120 分钟

一、选择题:每小题 5 分,满分 60 分,每小题给出的四个选项中只有一项是正确的. (请把所选 答案填在答题卡上的相应表格内)

4

题号 答案

1 A

2 B

3 C

4 D

5 C

6 C

7 C

8 D

9 B

10 D

11 B

12 A

二、填空题:每小题 5 分,满分 20 分. (请把答案填在答题卡内的相应横线上) 13. ?

?
3

14. w _w_w.k 2 15.

3

16. ②③

三、 解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分 (其中 17 小题满分 10 分, 其余各题满分均为 12 分) . (解 答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (满分 12 分)化简下列各式:

cos(? ? ) 2 ? sin(? ? 2? ) ? cos(? ? ? ) ;② 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? ,其中 ? 为第三象限角。 ① 5? 1 ? sin ? 1 ? sin ? sin( ? ? ) 2 cos(? ? ) 2 ? sin(? ? 2? ) ? cos(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ? (? cos ? ) ? ? sin 2 ? . 解:① 5? cos ? sin( ? ? ) 2
②因为 ? 为第三象限角,所以 ? 1 ? sin ? ? 0 , ? 1 ? cos ? ? 0 , 1 ? sin ? ? 0 , 1 ? sin ? ? 0 。 则

?

?

1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 ? ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) (1 ? sin ? )(1 ? sin ? )
(1 ? sin ? ) ? (1 ? sin ? ) 2sin ? ? ? ?2 tan ? 。 | cos ? | ? cos ?

?

18. (满分 12 分)如图 A、B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限. C 是圆与 x 轴正半轴的交 点,A 点的坐标为 ( , ) ,△AOB 为正三角形. (Ⅰ)求 sin ?COA ; (Ⅱ)求 cos ?COB . 解: (1)因为 A 点的坐标为 ? , B O

3 4 5 5

y

A( , ) C

3 4 5 5

x

?3 4? ? ,根据三角函数定义可知 ?5 5?

sin ?COA ?

4 -----------------4 分 5
5

(2)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ?AOB ? 60 ,
0

sin ?COA ?

4 3 , cos ?COA ? , 5 5

-----------------------------6 分

所以 cos ?COB = cos(?COA ? 600 )

? cos ?COA cos 600 ? sin ?COA sin 600

-------------------------10 分

= ?

3 1 4 3 3?4 3 . ? ? ? 5 2 5 2 10

--------------------------------------12 分

19. ( (满分 12 分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? 两条对称轴之间的距离为

?
6

) ? 1( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻

? , 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

20. (满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x , x ? R .求:
2 2

(I) 函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (II) 函数 f ( x ) 的单调递减区间. 【解析】(I) 解法一:

f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) 2 2 4

?当 2 x ?

?

4

? 2 k? ?

?

2

,即 x ? k? ?

?

8

(k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 2 .

6

函数 f ( x ) 的取得最大值的自变量 x 的集合为 {x | x ? k? ? 解法二:

?
8

(k ? Z )} .

f ( x) ? (sin 2 x ? cos2 x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? 2sin x cos x ?1 ? 2cos2 x ? sin 2x ? cos 2x ? 2
? 2 ? 2 sin(2 x ?

?
4

)

?当 2 x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,即 x ? k? ?

?
8

(k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 2 .

函数 f ( x ) 的取得最大值的自变量 x 的集合为 {x / x ? R, x ? k? ? (II)解: f ( x) ? 2 ? 2 sin(2 x ?

?
8

(k ? Z )} . ? 2 k? ?

3? (k ? Z ) 4 2 4 2 ? 5? ? 5? ](k ? Z ) 。 即: k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 因此函数 f ( x ) 的单调增区间为 [k? ? , k? ? 8 8 8 8

?

) 由题意得: 2k? ?

?

? 2x ?

?

21. (满分 12 分)某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元该厂为 鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价 就降低 0.02 元根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 500 件 (I)设一次订购量为 x 件,服装的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P ? f ( x) 的表达式; (II)当销售商一次订购了 450 件服装时,该服装厂获得的利润是多少元? (服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本) 解: (I)当 0 ? x ? 100 时, P ? 60 当 100 ? x ? 500 时, P ? 60 ? 0.02( x ? 100) ? 62 ?

x 50

0 ? x ? 100 ?60 ? (x ? N ) 所以 P ? f ( x ) ? ? x 62 ? 100 ? x ? 500 ? 50 ?
(II)设销售商的一次订购量为 x 件时,工厂获得的利润为 L 元,则

0 ? x ? 100 ?20 x ? L ? ( P ? 40) x ? ? x2 22 x ? 100 ? x ? 500( x ? N ) ? 50 ?
当 x ? 450 时, L ? 5850 元。 答: (略)

7

22 . ( 满 分 12 分 ) 是 否 存 在 两 个 锐 角 ? 和 ? 使 得 两 个 条 件 : ① ? ? ? ?

tan

?

tan ? ? 2 2 2

?

2? ;② 3

3 同时成立?若存在,求出 ? 和 ? 的值;若不存在,请说明理由.

解:假设存在两个锐角 ? 和 ? ,使得两个条件:① ? ? ? ?

2? ? ? ;② tan tan ? 2 ? 3 同时 3 2 2

成立, 则

?
2

?

?
2

?

?
3

a n ( , 即t

?

? ) ?3 2 2

?

, 则

2 ? 3 且 tan ? tan ? ? 2 ? 3 , ? ? 2 2 1 ? tan tan 2 2 2

ta n

?

? ta n

?

tan


? ? t a n? 1 ? 2 2 2 ? 3 , 所 以 tan ? ? tan ? ? 3 ? 3 。 解 得 ? ? 2 2 1 ? (2 ? 3) ?t a ? n? ? 2 ? ? 2

?

? tan

?



3

? ? ?? ?? 0 tan ? 2 ? 3 ? 45 ? 150 ? ? ? ?? ? 900 ? ?? ? 300 ? ? ? ? 2 2 2 。则 或 ,即 或 。这与 ? 和 ? 都是锐 ? ? ? ? ? 0 0 ? ? ? ? ? 30 ? ? 90 0 0 ? ? ? ? ? tan ? 1 ? ? 15 ? ? 45 ? ? ? ? 2 ?2 ?2
角矛盾。所以不存在两个锐角 ? 和 ? 使得两个条件:① ? ? ? ? 同时成立。

2? ? ? ;② tan tan ? 2 ? 3 3 2 2

8


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