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高中数学公式及知识点总结大全(精华版)


高中文科数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性 (1)设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数. (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减
函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 是偶函数; 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 3、函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方 程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .

b 4ac ? b2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ); , ) *二次函数: (1)顶点坐标为 (? (2)焦点的坐标为 (? 2a 4a 2a 4a
4、几种常见函数的导数
' ① C ? 0 ;② ( x n ) ' ? nxn?1 ;

③ (sin x) ' ? cos x ;④ (cosx) ' ? ? sin x ;
x

⑤ (a ) ? a ln a ;⑥ (e ) ? e ;
x ' x x '

⑦ (log a x) ?
'

1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? x ln a x

5、导数的运算法则 (1) (u ? v) ? u ? v .
' ' '

(2) (uv) ? u v ? uv .
' ' '

(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值. 指数函数、对数函数 分数指数幂 (1) a n ? (2) a
? m n
m n

a m ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

根式的性质 (1)当 n 为奇数时, a ? a ;
n n

当 n 为偶数时, a n ?| a |? ?
n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

有理指数幂的运算性质
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ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . (3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
(1) 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数 指数幂都适用. .指数式与对数式的互化式: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . .对数的换底公式 : log a N ? 对数恒等式: a
n 推论 log a m b ?
log a N
p

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a

? N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ).

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). m

常见的函数图象
y
y
y
y

y

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

2 -1
o1

1 y=x+ x
x

y=ax
0<a<1 1
o x

y=logax
0<a<1

a>1
o

a>0

y=kx+b

-2

1 a>1

x

y=ax2+bx+c

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? =

sin ? . cos ?

9、正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) k? ? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的同名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号;

k? ?

?

2

? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的余名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号。

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

10、和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;
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tan(? ? ? ) ?
11、二倍角公式

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 2 cos2 ? ? 1 ? cos 2? , cos2 ? ? ; 2 公式变形: 1 ? cos 2? 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ; 2 12、 函数 y ? sin(? x ? ? ) 的图象变换
①的图象上所有点向左 (右) 平移 ? 个单位长度, 得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;

再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数

y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象.
②数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函数 ?

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍
(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 13. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

值域

??1,1?


??1,1?
? k ???
当 x ? 2k?

R
既无最大值也无最小值

最值

x ? 2k? ?

?
2

? k ??? 时,

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ymax ? 1





ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2k? ?

?
2

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?
偶函数

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周期性 奇偶性

2?
奇函数

?
奇函数



? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?


? k ??? 上是增函数;在
单调性

?2k? ? ? , 2k? ?? k ??? 上是增 ?2k? ,2k? ? ? ?

在 ? k?

函数;在

? ?

?

?
2

, k? ?

??
? 2?

3? ? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? ? 2 2? ? ?

?

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对称中心 对称性 对称轴 x

? k? ,0?? k ???
? k? ?

?
2

对称中心 ? k? 对称轴 x ? k?

?k ? ??

? ?

?

?

? , 0 ? ?k ? ?? 2 ?

对称中心 ? 无对称轴

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

? k ???
b a

14、辅助角公式

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) 其中 tan ? ?
15.正弦定理 :

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C

16.余弦定理

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
17.面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2
(1) S ? 18、三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

19、 a 与 b 的数量积(或内积)

a ? b ?| a | ? | b | cos?
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20、平面向量的坐标运算

(1)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 ? y1 y 2 . (3)设 a = ( x, y ) ,则 a ? 21、两向量的夹角公式

??? ? ??? ? ??? ?

x2 ? y2

? ? a ?b cos ? ? ? ? ? | a |?|b |
?

设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

( a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ).

?

?

22、向量的平行与垂直

设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0

?

?

?

a // b ? b ? ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

a ? b(a ? 0) ? a ? b ? 0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
*平面向量的坐标运算

? ? ? ? ? ? (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .
(1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a = ( x, y ), ? ? R ,则 ? a = (? x, ? y ) .

?

?

??? ? ??? ? ??? ?
?

?
?

?

(5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a · b = x1 x2 ? y1 y2 .

?

?

三、数列
23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). an ? ? ?sn ? sn?1 , n ? 2
24、等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
25、等差数列其前 n 项和公式为

sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? ( a1 ? d ) n . 2 2 2 2

26、等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

27、等比数列前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1 四、不等式 x? y ? xy 。必须满足一正( x, y 都是正数) 28、 、二定( xy 是定值或者 x ? y 是定值) 、三相等( x ? y 2
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时等号成立)才可以使用该不等式) (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值

1 2 s . 4

五、解析几何
29、直线的五种方程 k (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 30、两条直线的平行和垂直 若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . 31、平面两点间的距离公式

d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
32、点到直线的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).
2 2 2

33、 圆的三种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?
2 2 2

* 点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种 若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.

34、直线与圆的位置关系
2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . 弦长= 2 r 2 ? d 2 Aa ? Bb ? C 其中 d ? . A2 ? B 2
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 椭圆:

? x ? a cos? x2 y 2 c b2 2 2 2 ? ? 1( a ? b ? 0) a ? c ? b , , 离心率 <1, 参数方程是 ? . e ? ? 1 ? 2 2 2 a b a a ? y ? b sin ?
c x2 y2 b ? 2 ? 1 (a>0,b>0), c 2 ? a 2 ? b 2 ,离心率 e ? ? 1 ,渐近线方程是 y ? ? x . 2 a a a b
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双曲线:

抛物线: y 2 ? 2 px ,焦点 (

p p ,0) ,准线 x ? ? 。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离. 2 2

36、双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x. 渐近线方程: ? 2 2 2 a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 x y x2 y2 (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 , a b a b

焦点在 y 轴上). 37、抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式

p .(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。 ) 2 p p 38、过抛物线焦点的弦长 AB ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2
抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 | PF |? x 0 ?

六、立体几何
39.证明直线与直线的平行的思考途径 42.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (1)转化为相交垂直; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线面平行; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线面垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. (5)转化为面面平行. 43.证明直线与平面垂直的思考途径 40.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (2)转化为线线平行; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (3)转化为面面平行. (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 41.证明平面与平面平行的思考途径 44.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面平行; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线面垂直. 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积= 2?rl ,表面积= 2?rl 圆椎侧面积= ?rl ,表面积=

? 2?r 2

?rl ? ?r 2

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3 4 3 2 球的半径是 R ,则其体积 V ? ? R ,其表面积 S ? 4? R . 3 ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 2 46、若点 A ( x1 , y1 , z1 ) ,点 B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法) 48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。 正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
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七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算

x1 ? x 2 ? ? x n 1 2 2 2 2 方差: s ? [( x1 ? x) ? ( x 2 ? x) ? ? ( x n ? x) ] n n 1 标准差: s ? [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ?( xn ? x) 2 ] n
平均数: x ? 50、回归直线方程 (了解即可)
n n ? x ? x y ? y xi yi ? nx y ? ?? ? ? ? i i ? i ?1 i ?1 ?b ? ? n n ? 2 .经过( x y ? a ? bx ,其中 ? xi ? x ? xi 2 ? nx 2 ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx n(ac ? bd) 2 2 51、独立性检验 K ? (了解即可) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )



y )点。

52、古典概型的计算(必须要用列举法 、列表法 、树状图 的方法把所有基本事件表示出来,不重复、不遗 ... ... ... 漏)

八、复数
53、复数的除法运算

a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? ? . c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2
54、复数 z ? a ? bi 的模 | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 55、复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 56、复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 57、复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i (c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

58、复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 .

九、参数方程、极坐标化成直角坐标 ?? 2 ? x 2 ? y 2 ? cos ? ? x ? ? 55、 ? ? y ?? sin ? ? y ?tan? ? ( x ? 0) x ? 十、命题、充要条件
充要条件(记 p 表示条件, q 表示结论)

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(1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 56.真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假
原命题 若 p则 q 互 否 否命题 若 ┐p则 ┐q 互 逆 互 为 为 互 否 逆命题 若 q则 p 互 否 逆否命题 若 ┐q则 ┐p



逆 否

互 逆

十一、直线与平面的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直 线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈ (0, 2 ) ; ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点

直线、平面平行的判定及其性质
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直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 直线、平面垂直的判定及其性质 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L⊥α , 直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂 足。 2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 β

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