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椭圆复习课


致远中学高二数学期末复习学案( 8 ) 椭 圆 班级: 一选择题 x2 y2 1. 2<m<6 是方程 + =1 表示椭圆的( m-2 6-m A.充分不必要条件 C.充要条件
2 2

姓名:

)

B.必要不充分条件 D.既不充分与不必要条件

x y 2.椭圆 + =1 的左焦点为 F1,点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上,则|PF1| 25 9 41 A. 5 9 B. 5 C.6 D.7

x2 y2 3a 3.设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 a b 2 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 A. 2 2 B. 3 3 C. 4 4 D. 5 )

x2 4.已知椭圆 +y2=1 的两焦点为 F1,F2,点 M 在椭圆上,MF1― →,· MF2― →,=0,则 M 到 4 y 轴的距离为( 2 3 A. 3 C. 3 3 ) 2 6 B. 3 D. 3

x2 y2 5.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且左焦点为 F,△FAB 是以角 a b B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为( A. 3-1 2 B. 5-1 2 1+ 5 C. 4 D. ) 3+1 4 3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,

6.一个椭圆中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2, |PF2|成等差数列,则椭圆方程为( x y A. + =1 8 6 二填空题
2 2

) x2 y2 C. + =1 8 4 x2 y2 D. + =1 16 4

x y B. + =1 16 6

2

2

7.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,且椭圆上一点到椭圆的两 2

个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________________. 1? x2 y2 2 2 8.若椭圆 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上,过点? ?1,2?作圆 x +y =1 的切线,切点分别为 A,B, a b 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.
1

x2 y2 9.设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左,右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4), 25 16 则|PM|+|PF1|的最大值为________. 三解答题 x2 y2 6 10.已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0).斜率为 1 的直线 l a b 3 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.

x2 y2 6 11.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F 为椭圆的右焦 a b 3 点,M,N 两点在椭圆 C 上,且 MF ,=λ FN ,(λ>0),定点 A(-4,0). (1)求证:当 λ=1 时, MN ,⊥ AF ,;

AN ,= (2)若当 λ=1 时,有 AM ,·

106 ,求椭圆 C 的方程. 3

2

x2 12.已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4 (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点, 点 A, B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB =2 OA , 求直线 AB 的方程.

选做题

1. 以 O 为中心, F 1, F2 为两个焦点的椭圆上存在一点 M, 满足| MF1 ,|=2| MO ,|=2| MF2 ,|, 则该椭圆的离心率为( A. 3 3 ) 2 B. 3 C. 6 3 2 5 D. 5

x2 y2 2.椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B.当△FAB 的周长最大时, 4 3 △FAB 的面积是________.

3

3.如图,设 P 是圆 x2+y2=2 上的动点,PD⊥x 轴,垂足为 D,M 为线段 PD 上一点,且|PD| = 2|MD|,点 A、F1 的坐标分别为(0, 2),(-1,0).

(1)求点 M 的轨迹方程; (2)求|MA|+|MF1|的最大值,并求此时点 M 的坐标.

4

致远中学高二数学期末复习学案( )椭 圆 答 案 m-2>0, ? ? x2 y2 1.选 B 若 + =1 表示椭圆,则有?6-m>0, m-2 6-m ? ?m-2≠6-m, x2 y2 ∴2<m<6 且 m≠4,故 2<m<6 是 + =1 表示椭圆的必要不充分条件. m-2 6-m 2.A 由 c2=25-9=16,则 c=4,所以左焦点为 F1(-4,0),因为 PF1 的中点在 y 轴上,所 16 m2 9 以 P 点的横坐标为 4,设点 P 的坐标为(4,m),代入椭圆方程,得 + =1,∴m=± , 25 9 5 9 即点 P 的坐标为(4,± ),所以|PF1|= 5 81 41 64+ = . 25 5

3 3 ? 3.选 C 由题意可得|PF2|=|F1F2|,∴2? ?2a-c?=2c,∴3a=4c,∴e=4. 4.选 B 由条件知,点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,该圆的方程是 x2+y2=3,即 y2=3 x2 8 2 6 2 6 -x2,代入椭圆方程得 +3-x2=1,解得 x2= ,则|x|= ,即点 M 到 y 轴的距离为 . 4 3 3 3 -1± 5 5. 选 B 由题意得 a2+b2+a2=(a+c)2, 即 c2+ac-a2=0, 即 e2+e-1=0, 解得 e= . 2 又 e>0,故所求的椭圆的离心率为 6.选 A 5-1 . 2 4 3 3)在椭圆上知 2+ 2 =1.又 a b

x2 y2 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0).由点(2, a b

c 1 |PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即 2a=2· 2c, = ,又 c2=a2-b2, a 2 联立得 a2=8,b2=6. x2 y2 c 7.解析:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),根据椭圆定义知 2a=12,即 a=6,由 = a b a 3 x2 y2 x2 y2 ,得 c=3 3,b2=a2-c2=36-27=9,故所求椭圆方程为 + =1. 答案: + =1 2 36 9 36 9 1? 1 1 8.解析:由题意知一个切点为(1,0),故切线长为 ,以? ?1,2?为圆心,2为半径的圆的 2 1?2 1 2 2 2 2 方程为(x-1)2+? ?y-2? =4,即 x +y -2x-y+1=0,与 x +y =1 相减得 AB 的方程为 2x +y-2=0.令 y=0 得右焦点为(1,0),令 x=0 得上顶点为(0,2),∴a2=b2+c2=5,故得所求 x2 y2 x2 y2 椭圆方程为 + =1. 答案: + =1 5 4 5 4 9.解析:∵P 在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=2a=10, ∴|PM|+|PF1|=|PM|+10-|PF2|=10+|PM|-|PF2|≤10+|MF2|=10+5=15, 当 P,M,F2 三点共线时取等号.答案:15
5

c 6 10.解:(1)由已知得 c=2 2, = .解得 a=2 3,又 b2=a2-c2=4. a 3 x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 y=x+m, ? ? 2 2 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m. 由? x y ? ?12+ 4 =1 得 4x2+6mx+3m2-12=0.① 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), x1+x2 3m m 则 x0= =- ,y0=x0+m= .因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB. 2 4 4 m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2. 此时方程①为 4x2+12x=0. 解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1=-1,y2=2. |-3-2+2| 3 2 所以|AB|=3 2.此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|· d= . 2 2 11.解:(1)证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2),F(c,0),则 MF ,=(c-x1,-y1),

FN ,=(x2-c,y2).当 λ=1 时, MF ,= FN ,,∴-y1=y2,x1+x2=2c.
y2 y2 1? 2? 2? 2 2? ∵M,N 两点在椭圆 C 上,∴x2 1=a 1-b2 ,x2=a 1-b2 ? ? ? ?
2 ∴x1 =x2 2.若 x1=-x2,则 x1+x2=0≠2c(舍去),∴x1=x2,

AF ,=0,∴ MN ,⊥ AF ,. ∴ MN ,=(0,2y2), AF ,=(c+4,0),∴ MN ,·
b2 b2 c, ?,N?c,- ? (2)当 λ=1 时,由(1)知 x1=x2=c,∴M? a? ? a? ?
4 b2 b2 106 2 b c+4, ?, AN ,=?c+4,- ?,∴ AM ,· AN ∴ AM ,=? , = ( c + 4) - = .(*) a? a? ? ? a2 3

c 6 3 c2 5 106 ∵ = ,∴a2= c2,b2= ,代入(*)式得 c2+8c+16= , a 3 2 2 6 3 58 x2 y2 ∴c=2 或 c=- (舍去).∴a2=6,b2=2,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 5 6 2 y2 x2 12.解:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2), a 4 其离心率为 a2-4 3 3 y2 x2 ,故 = ,解得 a=4,故椭圆 C2 的方程为 + =1. 2 a 2 16 4

(2)法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 OB =2 OA 及(1)知,O,A,
6

B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 4 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4,所以 x2 . A= 4 1+4k2 y2 x2 16 将 y=kx 代入 + =1 中,得(4+k2)x2=16,所以 x2 . B= 16 4 4+k2
2 又由 OB =2 OA ,得 x2 B=4xA,即

16 16 = , 4+k2 1+4k2

解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), 由 OB =2 OA 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, x2 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4,所以 4 4 16 16k2 2 2 x2 . 2.由 OB =2 OA ,得 xB= 2,yB= A= 1+4k 1+4k 1+4k2 4+k2 y2 x2 2 将 x2 + =1 中,得 =1,即 4+k2=1+4k2, B,yB代入 16 4 1+4k2 解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 选做题 1.选 C 不妨设 F1 为椭圆的左焦点,F2 为椭圆的右焦点.过点 M 作 x 轴的垂线,交 x 轴 c ? 于 N 点,则 N 点坐标为? ?2,0?,并设| MF1 |=2| MO |=2| MF2 |=2t,根据勾股定理可知, | MF1 |2-| NF1 |2=| MF2 |2-| NF2 |2,得到 c= 6 3t c 6 t,而 a= ,则 e= = . 2 2 a 3

2. 解析: 法一: 依题意得知, 点 F(-1,0), 不妨设点 A(2cos θ, 3sin θ)(sin θ>0), 则有 B(2cos θ,- 3sin θ),|FA|=|FB|= ?2cos θ+1?2+3sin2θ=2+cos θ,|AB|=2 3sin θ,|FA|+|FB|+ π? π π π |AB|=4+2cos θ+2 3sin θ=4+4sin? ?θ+6?,当 θ+6=2kπ+2,k∈Z,即 θ=2kπ+3,k∈Z, 3 1 2cos θ=1, 3sin θ= 时,△FAB 的周长最大,此时△FAB 的面积等于 ×(1+1)×3=3. 2 2 法二:椭圆右焦点为 F′(1,0).

由椭圆定义|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a. 则△FAB 的周长 l=|AF|+|BF|+|AB| =4a-(|F′A|+|F′B|)+|AB| =4a-||F′A|+|F′B|-|AB||≤4a,
7

∴△FAB 周长最大时,直线 x=m 经过 F′(1,0)这时|AB|=3, 1 此时 S△FAB= ×2×3=3. 2 答案:3 3.解:(1)设点 M 的坐标是(x,y),P 的坐标是(xP,yP) ∵PD⊥x 轴,垂足为 D,|PD|= 2|MD|,∴xP=x,且 yP= 2y. ∵点 P 在圆 x2+y2=2 上. ∴x2+( 2y)2=2. x2 整理得 +y2=1. 2 (2)由(1)知:M 的轨迹方程是椭圆,F1 是左焦点,设右焦点为 F2,坐标为(1,0), ∴|MA|+|MF1|=2 2+|MA|-|MF2|≤2 2+|AF2|=2 2+ 3.

当 A,F2,M 三点共线,且 M 在 AF2 延长线上时取等号. 直线 AF2 的方程为 x+ y =1. 2

x2 代入 +y2=1(其中 1<x< 2) 2 4+ 6 ? ?x= 5 解得? 2-2 ?y= 5 ?

3

.

即所求的最大值为 2 2+ 3,此时 M 的坐标是?

?4+ 6 2-2 3?. ? ? 5 , 5 ?

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