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高等数学B微分方程与差分方程二阶常系数线性差分方程_图文

一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 对于二阶常系数齐次线性差分方程

y x ? 2 ? a y x ? 1 ? b y x ? 0 ( b ? 0)

(2)

根据通解的结构定理,为了求出其通解,只需求出 它的两个线性无关的特解,然后作它们的线性组合, 即得通解 . 显然 , 原方程 (2) 可以改写成

?2 y x ? ( 2 ? a)? y x ? (1 ? a ? b) y x ? 0 (b ? 0)

(3)

由此我们可以看出 , 可用指数函数 y ? ?x 来尝试求 , x 看是否可以找到适当的常数 ? , 使 y ? ? 满足方程 (2) .

令 y x ? ? x , 代人方程 (2) , 得

?x (?2 ? a? ? b) ? 0
又因 ? x ? 0 , 即得

?2 ? a? ? b ? 0

(4)

称它为齐次方程的特征方程 , 特征方程的根简称为特 征根 , 由此可见 , y x ? ? x为齐次方程(2)的特解的充要 条件为? 是特征方程(4)的根 . 和二阶常系数齐次线性微分方程一样 , 根据特征根 的三种不同情况 , 可分别确定出齐次方程(2)的通解 .
1. 若特征方程(4)有两个不相等的实根 ? 1 与 ? 2 , 此 x x 时?1 与?2 ; 是齐次方程(2)的两个特解 , 且线性无关 . 于是齐次差分方程(2)的通解为

x x y x ? C1? 1 ? C 2? 2

( C1 , C 2 为任意常数 )

2. 若特征方程 (4) 有两个相等的实根 ? ? ?1 ? ? 2 , 此时得齐次差分方程 (2) 的一个特解

y

(1) x

?? .
x

为求出另一个与 y (x1)线性无关的特解 , 不妨令

y (x2 ) ? ux ? ? x , ( u x 不为常数) , 将它代人齐次差分方程 (2) 得 ux ? 2? x ? 2 ? a ux ?1? x ?1 ? bux ? x ? 0
由于 ? x ? 0 , 故

ux ? 2? ? a ux ?1? ? bux ? 0
2

将之改写为

( ux ? 2?ux ? ? ux ) ? ? ? a? ( ux ? ?ux ) ? bux ? 0
2 2



?2?2ux ? ? ( 2? ? a )?ux ? (?2 ? a? ? b)ux ? 0

由于? 是特征方程 (4) 的二重根 , 因此 ?2 ? a? ? b ? 0 且 2? ? a ? 0 , 于是得出
?2 ux ? 0

显然 ux ? x 是可选取的函数中的最简单的一个 , 于是 可得差分方程 (2) 的另一个解为
y (x2 ) ? x ? ? x

从而差分方程 (2) 的通解为

y x ? (C1 ? C2 x )? x ( C1 , C 2 为任意常数 )

3. 若特征方程 (4) 有一对共轭复根

?1 ? ? ? ? i , ? 2 ? ? ? ? i
这时 , 可以验证差分方程 (2) 有两个线性无关的解 :

y (x1) ? r x cos? x , y (x2 ) ? r x sin? x ? 2 2 其中 r ? ? ? ? , tan ? ? (0 ? ? ? ? , ? ? 0) , 从而差 ? 分方程(2)的通解为 y x ? r (C1 cos? x ? C2 sin? x )
x

( C1 , C 2 为任意常数 )

从上面的讨论看出,求解二阶常系数齐次线性差分 方程的步骤和求解二阶常系数齐次线性微分方程的步 骤完全类似,我们将它总结如下: 第一步 写出差分方程 (2) 的特征方程

? ? a? ? b ? 0 (b ? 0) 第二步 求特征方程 (4) 的二个根 ?1 , ? 2 .
2

(4)

第三步 根据特征方程 (4) 的两个根的不同情形,写 出差分方程 (2) 的通解. (可见教材 P441 的表)

例1 求差分方程 y x ? 2 ? y x ?1 ? 6 y x ? 0 的通解 .
解 特征方程

?2 ? ? ? 6 ? 0
有两个不相等的实根 ?1 ? 3 , ? 2 ? ? 2 , 从而原方程的通 解为

y x ? C1 3 x ? C2 ( ? 2) x . ( C1 , C 2 为任意常数 )

例2 求差分方程 ?2 y x ? ? y x ? 3 y x ?1 ? 4 y x ? 0的通解 .
解 原方程可改写成如下形式

y x ? 2 ? 4 y x ?1 ? 4 y x ? 0
其特征方程为

?2 ? 4? ? 4 ? 0
它有两个相等的实根 ?1 ? ? 2 ? 2 , 所以原方程的通解 为

y x ? (C1 ? C2 x ) ? 2 x . ( C1 , C 2 为任意常数 )

例3 求差分方程 y x ? 2 ? 4 y x ?1 ? 16 y x ? 0的满足初始条
件 y0 ? 1, y1 ? 2 ? 2 3 的特解 .

解 先求所给二阶常系数齐次线性差分方程的通解,
特征方程为

?2 ? 4? ? 16 ? 0 特征方程的根为 ? 1, 2 ? 2 ? 2 3 i , ? ? 2 , ? ? 2 3 , 于是 ? ? 2 2 r ? ? ? ? ? 4 , tan ? ? ? 3 ? ? ? . ? 3 故原方程的通解为 ? ? x y x ? 4 (C1 cos x ? C 2 sin x ) . ( C1 , C 2 为任意常数 ) 3 3

由初始条件 y0 ? 1, y1 ? 2 ? 2 3得 C1 ? 1 , C 2 ? 1 . 故所求特解为
y x ? 4 (cos
x

?

x ? sin x ) . 3 3

?

二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解
对于二阶常系数非齐次线性差分方程

y x ? 2 ? a y x ?1 ? b y x ? f ( x ) (a , b为常数 , 且 b ? 0) (1) 根据通解的结构定理 , 求差分方程(1)的通解 , 归结为 求对应的齐次方程 y x ? 2 ? a y x ?1 ? b y x ? 0
的通解和非齐次方程(1)本身的一个特解 . 由于二阶常 系数齐次线性差分方程通解的求法前面已得到解决 , 所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性差分方程 * y 的一个特解 x 的方法 .

在实际经济应用中 , 方程 (1) 的右端 f ( x ) 的常见类型 是

f ( x ) ? Pn ( x )
( Pn ( x )表示 n 次多项式)及

f ( x ) ? ? x Pn ( x )
( ? 为常数 , ? ? 0 且 ? ? 1 )两种类型. 下面我们介绍用待定系数法求 f ( x ) 为上述两种情形 时 y* x 的求法.

1. f ( x ) ? Pn ( x ) ( Pn ( x ) 为 n 次多项式 )
此时 , 方程 (1) 为

y x ? 2 ? a y x ?1 ? b y x ? Pn ( x ) (b ? 0)
可改写为

? y x ? ( 2 ? a ) ? y x ? (1 ? a ? b) y x ? Pn ( x )
2

设 y* x 是它的解 , 代人上式 , 即得
* * ?2 y* ? ( 2 ? a ) ? y ? ( 1 ? a ? b ) y x x x ? Pn ( x )
* 由于 Pn ( x ) 是一个已知的多项式 , 因此 y x 应该也是一个 多项式 . 由于齐次方程 (2) 的特征方程为

?2 ? a? ? b ? 0

因此 (1) 若 1 不是特征方程的根 , 即 1 + a + b ? 0 , 那么说 * 明 y x 应是一个 n 次多项式 , 于是令
n n?1 y* ? Q ( x ) ? b x ? b x ? ? ? bn?1 x ? bn (b0 ? 0) x n 0 1

把它代入方程 , 比较两边同次幂的系数 , 便可求出

bi ( i ? 0 , 1 , 2 , ?, n)
从而求得 y * x .
(2) 若 1 是特征方程的单根 , 即 1 + a + b ? 0 , 且 2 + a * y ? 0 , 那么 ? y * 是一个 n 次多项式 , 即说明 x x 应是一个 n + 1 次多项式 , 于是令
n n?1 y* ? x Q ( x ) ? x ( b x ? b x ? ? ? bn?1 x ? bn ) x n 0 1

将之代人方程 , 比较两边同次幂的系数 , 便可确定出

bi ( i ? 0 , 1 , 2 , ?, n)
从而求得 y * x .

(3) 如果 1 是特征方程的二重根 , 即有 1 + a + b = 0 , * 且 2 + a = 0 , 那么 ? y * 应是一个 n 次多项式 , 即说明 y x x 应是一个 n + 2 次多项式 , 于是令
2 2 n n?1 y* ? x Q ( x ) ? x ( b x ? b x ? ? ? bn?1 x ? bn ) x n 0 1

把它代人方程 , 比较两边同次幂的系数 , 便可确定

bi ( i ? 0 , 1 , 2 , ?, n)
从而可求得 y * x . 综上所述 , 可得如下结论 :

如果 f ( x ) ? Pn ( x ) , 则二阶常系数非齐次线性差分方 程 (1) 具有形如
k y* ? x Qn ( x ) x

的特解 , 其中 Qn ( x )是与Pn ( x )同次( n 次)的待定多项式 , 而 k 的取值如下确定 :
(1) 若 1 不是特征方程的根 , 是 k = 0 ; (2) 若 1 是特征方程的单根 , 是 k = 1 ; (3) 若 1 是特征方程的二重根 , 是 k = 2 .

例4 求差分方程 y x ? 2 ? 5 y x ?1 ? 4 y x ? x的通解 .
解 (1) 先求对应的齐次方程

y x ? 2 ? 5 y x ?1 ? 4 y x ? 0
的通解 y x . 特征方程为

?2 ? 5? ? 4 ? 0 ,
特征方程的根为 ?1 ? ? 1, ? 2 ? ? 4 , 于是

Yx ? C1 ( ?1) x ? C2 ( ?4) x .
(2) 再求原方程的一个特解 y * x . 由于 1 不是特征方程的根 , 于是令

y ? b0 x ? b1 ,
* x

代人原方程得

b0 ( x ? 2) ? b1 ? 5[b0 ( x ? 1) ? b1 ] ? 4(b0 x ? b1 ) ? x
1 7 解得 b0 ? , b1 ? ? . 于是 10 100 1 7 * yx ? x? . 10 100

(3) 原方程的通解为
1 7 y x ? Yx ? y ? C1 ( ?1) ? C 2 ( ?4) ? x? . 10 100
* x x x

( C1 , C 2 为任意常数 )

例6 求差分方程 y x ? 2 ? 2 y x ?1 ? y x ? 8的一个特解 . 解 所给差分方程对应的齐次方程的特征方程为

?2 ? 2? ? 1 ? 0 由于 1 是特征方程的二重根 , 于是令特解为
2 y* ? a ? x , x

代人原方程得

a( x ? 2)2 ? 2a( x ? 1)2 ? a x 2 ? 8 ,
解出 a = 4 . 于是

y ? 4x .
* x 2

2. f ( x ) ? ? x Pn ( x ) ( ? 为常数且 ? ? 0 , ? ? 1 )
此时 , 方程 (1) 成为

y x ? 2 ? a y x ?1 ? b y x ? ? x Pn ( x ) (b ? 0)
引入变换 , 令 y x ? ? x z x , 则原方程化为

? x ? 2 z x ? 2 ? a? x ?1 z x ?1 ? b? x z x ? ? x Pn ( x )


? 2 z x ? 2 ? a? z x ?1 ? b z x ? Pn ( x )
按前面所讨论的方法 , 即可求出 z * x 从而

这是右端为一个 n 次多项式的情况 .

y ?? z .
* x x * x

例6 求差分方程 y x ? 2 ? y x ?1 ? 6 y x ? 3 x ( 2 x ? 1) 的通解 .
解 (1) 先求对应的齐次方程

y x ? 2 ? y x ?1 ? 6 y x ? 0
的通解 Yx . 其特征方程为?2 ?? ? 6 ? 0 , 特征方程的根
为 ?1 ? ? 2 , ? 2 ? 3 . 故

Yx ? C1 ? 3 ? C2 ? ( ?2) ;
x x
x , (2) 再求原方程的一个特解 y * 由于 f ( x ) ? 3 (2 x ? 1) , x 故令 y x ? 3 x z x , 代人原方程得

9 z x ? 2 ? 3z x ?1 ? 6z x ? 2 x ? 1 ,

* 下面先求这个方程的一个特解 z x .

由于该方程所对应的齐次方程的特征方程为
9?2 ? 3? ? 6 ? 0 2 其根为 ? 1 ? 1 , ? 2 ? ? . 因为 1 是特征方程的单根 , 于 3 是令 * 2 z x ? x(b0 x ? b1 ) ? b0 x ? b1 x ,

将它代人方程 9 z x ? 2 ? 3z x ?1 ? 6z x ? 2 x ? 1并比较同次幂
1 2 的系数 , 得 b0 ? , b1 ? ? . 于是 15 25 1 2 2 * zx ? x ? x, 15 25

因此

?1 2 2 ? y ? 3 ? x ? x? . 25 ? ? 15
* x x

(3) 原方程的通解为

?1 2 2 ? y x ? C1 ? 3 ? C2 ? ( ?2) ? 3 ? x ? x ? . 25 ? ? 15
x x x

( C1 , C 2 为任意常数 )