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八年级数学第7届“希望杯”第1试试题


山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第7届“希望杯”第1试 试题
选择题: 1.下列各式中与分式

?a 的值相等的是[ ] a?b ?a a a ?a A. ; B. ; C. ; D. . ?a ? b a?b b?a b?a
[ ] A.58° B.59°. C.60° D.61°

2.一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3°,那么这个角等于

3.如图23,AB∥CD,AC∥DB,AD与BC交于O,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,那么图中全等的 三角形有[ 4.设a= ] A.5对. B.6对. C.7对. D.8对.

19961995 19951996 19951996 ,b= ,c= , 1995 1996 1995 19961995 d= ,则下列不等关系中成立的是[ 1996

]

A.a>b>c>d. B.c>a>d>b . C.a>d>c>b. D.a>c >d>b 5.如图24,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于D点,∠ADC=130°, 那么∠CAB的大小是[ A.80° ] D.20°

B.50°. C.40°

6.已知一个三角形中两条边的长分别为a,b,且a>b,那么这个三角形的周 长l的取值 范围是[ ]

A. 3a>l>3b. B.2(a+b)>l>2a. C.2a+b>l>2b+a . D.3a-b>l>a+2b 7.若

1 1 1 : : =2:3:4,则a:b:c等于[ a b c
B.6:4:3.

]

A.4:3:2.

C.3:4:2 . D.3:4:6

8.如图25,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=9厘米, BC=8厘米,CD=7厘米,M是AD的中点,从M作AD的垂线交BC于N, 则BN的长等于 [ ] C.2厘米. D.2.5厘米

A.1厘米. B.1.5厘米.

9.在一家三口人中,每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60, 那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是[ A.28 B.27 C.26 D.25 ]

10.已知x,y,a,b都是正数,且a<b,

x a ? 如果x+y=c,则x与y中较大的一个是[ y b

]

A.

ab ab ac bc ; B. ; C. ; D. . a?b a?b a?b b?c
1

二、A组填空题 1.因式公解:9a -4b +4bc-c =______. 2.化简分式:
2 2 2

b c a ? ? =_______. (a ? b)(b ? c) (b ? c)(c ? a) (c ? a)(a ? b)

3.已知多项式3x3+ax2+3x+1能被x2+1整除,且商式是3x+1,那么a的值是______. 4.关于x的方程( 2-3a)x=1的根为负数,则a的取值范围是______. 5. 如图26, 凸四边形ABCD的四边AB、 BC、 CD、 和DA的长分别是3, 4, 12, 和13, ∠ABC=90°, 则四边形ABCD的面积S=______. 6.如图27,AOB是一条直线,∠AOC=60°,OD,OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线,则图中 互为补角关系的角共有______ 对.

7.如果a+b=6,a +b =72,那么a +b 的值是______. 8.如果a2-3a+1=0,那么

3

3

2

2

a3 的值是___________. a6 ? 1

9.如图28,△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,则∠B:∠C的值是______. 10.如图29,已知DO平分∠ADC,BO平分∠ABC,且∠A=27°,∠O=33°,则∠C的大小 是______. 一、 1.若
2

B组填空题:

4x a b ? ? ,则a2+b2的值是_________. x ?4 x?2 x?2

2 .已知a≥b>0且3a+2b-6=ac+4b-8=0,则c的取值范围是______. 3.一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角,这样的多边形的边数最多是______. 4.如图30,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点,AB=10厘米,则MD的长 为______. 5.已知三个质数m,n,p的乘积等于这三个质数的和的5倍,则m2+n2+p 2=______.

2

答案·提示

一、选择题 提示: ∴选C.

2.设该角为x°.

3.在图23中有△ABC≌△DCB,△ACD≌△DBC, △AOB≌△DOC,△A OC≌△DOB,△AOE ≌△DOF,△AEC≌△DFB,△AEB≌△DFC,共有7对三角形全等,选C.

∴a>c>d>b,选D . 5.解法1:如图31,连接BD, 则BD也是∠ABC的角平分线. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∠ADB=∠ADC=130°. ∴∠BDC=360°-2×130°=100°. ∴∠DCB=∠DBC=40°. ∴∠ABC=∠ACB=80°. ∴∠CAB=180°-2×8 0°=20°,选D. 解法2:设∠CAB=x°,则∠B=∠ACB

∴∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC.

3

解得x=20°,∴选D. 6.三角形中两边长为a,b,且a>b,则第三边为C,满足条件a-b<c<a+b, ∴a+b+(a-b)<a+b+c<a+b+(a+b).即 2a<a+b+c<2(a+b),∴选B

8.如图32,连接AN,DN. ∵M为AD中点 ,MN⊥AD, ∴AN=DN 设BN=x,则CN=8-x, ∵CD2+CN2=AB2+BN2. ∴7 +(8-x) =9 +x . 解得x=2,∴选C. 9.设三个人年龄分别是x,y,z.
2 2 2 2

①+②+③得2(x+y+z)=168.

∴38-10=28,选A. 10.∵x,y,a,b均为正数 ,且a<b, ∴x,y中较大的数是y. 得x<y.

二、A组填空题

4

提示: 1.因式分解 9a -4b +4bc-c =9a -(4b -4bc+c )=9a -(2b-c) =(3a+2b-c) (3a-2b+c)
2 2 2 2 2 2 2 2

3.由已知3x3+ax2+3 x+1=(x2+1)(3x+1),∴3x3+ax2+3x+1=3x3+x2+3x+1,∴ a=1 4.关于x的方程(2-3a)x=1的根为负数,

5.连接AC,△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,根据勾股定理得AC=5.在△ACD中, AC=5,CD=12,AD=13. ∵132=122+52 ∴△ACD是直角三角形.∠ACD=90°. ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD 6.∵∠AOC=60°, ∴∠BOC=120°, 又OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线, ∴∠AOD=∠COD,∠BOE=∠COE=60°. 有∠AOD+∠DOB=180°,∠AOC+∠COB=180°,∠AOE+∠BOE=180°,∠COD+∠ DOB=180°,∠AOC+∠AOE=180°,∠COE+∠AOE=180°,∠BOE+∠BOC=180°,∠COE +∠BOC=180°,共有8组角互为补角. 7.∵a+b=6 ①,a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=72. ∴a2-ab+b2=12 ② ①2-② 3ab=24

∴ab=8 ③ 把③代入②得a2+b2=20. 8.∵a2-3a+1=0, ∴a +1=3a.
2

5

∵a≠0,

=3(7-1)=18.

9.如图33,在AC上取AE=AB.连接DE, 在△ABD和△AED中,AB=AE,∠BAD=∠EAD,AD=AD ∴△ABD≌△AED. ∴BD =DE, ∠B=∠AED. 又AC=AB+BD,AE=AB, ∴EC=BD=DE. ∴∠EDC=∠C, ∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C. 10.由已知,∠ABO=∠CBO,∠ADO=∠CDO.比较△ABG和△OGD的角的关系得∠A+∠ABG= ∠O+∠ODG,① 同理比较△OBH和△CDH得∠C+∠CDH=∠O+∠OBH.② ①+②得 ∠A+∠C=2∠O. ∴∠C=2×33°-27°=39°. 三、B组填空题 提示:

∴a2+b2=8.

6

①×2-②得(6-c)a=4.

∵a≥b>c. ∴6-c>0,c<6 且4≥12-3c>0

3.设这个凸多边形的边数为n,其中4个内角为钝角,n-4个内角为直角或锐角. ∴(n-2)·180°<4·180°+(n-4)·90° ∴n<8,取n=7. 当n=7时,可以作4个170°的内角,其余3个内角分别为80°,80°,60°. 4.如图34,取AB中点N,连接DN,MN.在Rt△ADB中,N是斜边AB上的中点, ∠NDB=∠B,在△ABC中,M,N分别是BC,AB的中点. ∴MN∥AC,∠NMB=∠C. 又∠NDB是△NDM的外角, ∴∠NDB=∠NMD+∠DNM. 即∠B=∠NMD+∠DNM=∠C+∠DNM. 又∠B=2∠C, ∴∠DNM=∠C=∠NMD.

又AB=10(厘米), ∴DM=5(厘米). 5.由已知,mnp=5(m+n+p). 由于m,n,p均为质数,5(m+n+p)中含有因数5. ∴m,n,p中一定有一个是5. 不妨设m=5.则5np=5(5+n+p).即np=5+n+p. ∴np-n-p+1=6即(n-1)(p-1)=6 又n,p均为质数.

7

8


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