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16全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线(练习题)整理

§18 直线和圆,圆锥曲线 课后练习 1.已知点 A 为双曲线 x2 y2 1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右支上, 边三角形,则 ABC 的面积是 ABC 是等 ( A) 3 3 33 ( B) 2 ( C) 3 3 ( D) 6 3 2.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 5 yx 3 4 的距离中的最小值是 5 34 34 1 ( A) ( B) ( C) 1 ( D) 170 85 20 30 3.若实数 x, y 满足 (x + 5)2+(y –12)2=142,则 x2+y2 的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 x 4.直线 y 1 椭圆 x 2 y 2 1 相交于 A,B 两点, 该圆上点 P,使得⊿ PAB面积等于 3, 43 16 9 这样的点 P 共有 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 5.设 a, b∈ R,ab≠0,那么直线 ax-y+ b= 0 和曲线 bx2+ ay2= ab 的图形是 y y y y x x x x A B C D 6.过抛物线 y2= 8(x+ 2)的焦点 F 作倾斜角为 60o 的直线, 若此直线与抛物线交于 弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF的长等于 A、B 两点, 16 A. 3 8 B. 3 x2 y2 7.方程 sin 2 sin 3 cos 2 cos 3 16 3 C. 3 1 表示的曲线是 D. 8 3 A. 焦点在 x 轴上的椭圆 B. 焦点在 x 轴上的双曲线 C. 焦点在 y 轴上的椭圆 D. 焦点在 y 轴上的双曲线 x2 y2 8.在椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B。 若该椭圆的离心率是 5 1 ,则 ABF = 。 2 9.设 F1,F2 是椭圆 x2 9 y 2 1 的两个焦点, P 是椭圆上的点,且 | PF1| : | PF2| =2 : 1,则 4 三角形 PF1F2 的面积等于 ______________. 10.在平面直角坐标系 XOY中,给定两点 M (- 1, 2)和 N( 1, 4),点 P 在 X 轴上移动, 当 MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为 ___________________。 11.若正方形 ABCD的一条边在直线 y 2x 17 上, 另外两个顶点在抛物线 y x2 上 .则该 正方形面积的最小值为 . 12.已知 C0 : x2 y2 x2 1 和 C1: a 2 y2 b2 1( a b 0) 。试问:当且仅当 a,b 满足什么 条件时,对 C1任意一点 P,均存在以 P 为顶点、与 C0 外切、与 C1 内接的平行四边形?并证 明你的结论。 x2 13. 设曲线 C1: 2 y2 1 (a 为正常数 )与 2 C2:y =2(x+m)在 x 轴上方公有一个公共点 P。 a (1)实数 m 的取值范围(用 a 表示); (2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 (用 a 表示)。 A,当 0<a< 1 时,试求⊿ OAP 的面积的最大值 2 14.已知点 A(0,2) 和抛物线 y2 值范围. x 4 上两点 B,C 使得 AB BC ,求点 C 的纵坐标的取 15.一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A,且 OA= a. 拆叠纸片,使圆周上某一点 A/ 刚好与 A 点重合,这样的每一种拆法,都留下一条直线折痕,当 A/ 取遍圆周上所有点时, 求所有折痕所在直线上点的集合. 16.( 04, 14)在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A(0, 4), B( 1,0),C(1,0) ,点 P 到直线 3 BC 的距离是该点到直线 AB, AC距离的等比中项。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 经过 ABC 的内心(设为 D),且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的 斜率 k 的取值范围。 17.过抛物线 y x 2 上的一点 A( 1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D,交 y 轴于 B.点 C 在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足 AE EC BF 1;点 F 在线段 BC 上,满足 FC 2 ,且 1 2 1 ,线段 CD 与 EF交于点 P.当点 C在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程 . 课后练习答案 1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 23 8.90 o 9. 3 10.设椭圆的长轴、 短轴的长及焦矩分别为 2a、2b、2c,则由其方程知 a= 3,b= 2,c= 5 , 故,| PF1| + | PF2| = 2a= 6,又已知 [ PF1| :| PF2 | = 2:1,故可得 | PFl| = 4,| PF2| = 2.在△ PFlF2 中,三边之长分别为 2, 4, 2 5 ,而 22+ 42= (2 5 )2,可见△ PFlF2是直角三角形,且两直 角边的长为 2 和 4,故△ PFlF2 的面积= 4. 11. 解:经过 M 、 N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3- x 上,设圆心为 S( a, 3- a),则圆 S 的方程为: ( x a )2 ( y 3 a)2 2(1 a 2) 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以,当 MPN 取最大值时,经过 M,N,P 三点的圆 S必与 X 轴相切于点 P,即圆 S 的方程中的 a 值必须满足 2(1 a 2) (a 3)2 , 解得 a=1 或 a=- 7。 即对应的切点分别为 N, P 的圆的半径,所以 为